Ek küçük soru;
Sav:
∞∑n=−∞f(n)=∞∑n=0f(n)+0∑n=−∞f(n)=∞∑n=0(f(n)+f(−n))
∞∑n=−∞f(n)={f(n)çift fonksiyonsa,2∞∑n=0f(n)f(n)tek fonksiyonsa,0=∞∑n=0f(n)+∞∑n=0f(−n)
Zamanında @Ozgürle bu durumu tartışmıştık sitede, ama formal bir yöntemi olup olmadığını merak ediyorum.
Metod 1(sezgisel):
Elimde bir toplam var ve bu toplam sayı doğrusunun en solundan geliyor ama en sol derken en solun en ötelerinden yani −∞ ve nereye gidiyor, tabiki de en sağa doğru en sağın en ötesine , +∞'a gidiyor.Yani sayı doğrusunu baştan sona tur atıyorsam , ve sayıların indisini belirleyen sayı doğrum 0 a göre simetrikse şöyle diyebilirim, 0'dan sağa ve sola doğru giderken sağa dogru giderkenkileri zaten 0dan +sonsuza tanımlıyorum, 0 dan -sonsuz içinse ,toplamı 0dan sonsuza tanımlayıp içindeki indisi -1 ile çarparım dolayısıyla sağa dogru gıderken aslında sola dogru gıtmış olurum, özel olarak, fonskiyın çiftse f(n)=f(−n) ve fonkisyon tek ise f(n)=−f(n) özelliklerini de kullanarak savımı ispatlarım;
Elimde toplamlarla ilgili şu teorem var;
Genel kuralın spesifik hali;
(−b),a∈R− için;
b∑n=af(n)=0∑n=af(n)+b∑n=0f(n)=b∑n=0f(n)+a∑n=0f(−n)
Limite uygularsak ve bu linkten ∞'e uygulayabileceğim hakkımı alırsam; (http://matkafasi.com/100637)
lim(a→−∞b→∞)b∑n=af(n)=∞∑n=0f(−n)+∞∑n=0f(n)=∞∑n=0(f(n)+f(−n)) , ◻
Daha genel bir durum sunabilir misiniz? Daha formal ispatlayabilir miyiz?