Ek küçük soru;
Sav:
$\boxed{\boxed{\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty f(n)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty f(n)+\displaystyle\sum_{n=-\infty}^0 f(n)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty(f(n)+f(-n))}}$
$\boxed{\boxed{\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty f(n)=\begin{cases}f(n)\;\;\text{çift fonksiyonsa},\quad 2\displaystyle\sum_{n=0}^\infty f(n)\\ f(n)\;\;\text{tek fonksiyonsa},\quad 0=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty f(n)+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty f(-n) \end{cases}\displaystyle}}$
Zamanında @Ozgürle bu durumu tartışmıştık sitede, ama formal bir yöntemi olup olmadığını merak ediyorum.
Metod 1(sezgisel):
Elimde bir toplam var ve bu toplam sayı doğrusunun en solundan geliyor ama en sol derken en solun en ötelerinden yani $-\infty$ ve nereye gidiyor, tabiki de en sağa doğru en sağın en ötesine , $+\infty$'a gidiyor.Yani sayı doğrusunu baştan sona tur atıyorsam , ve sayıların indisini belirleyen sayı doğrum $0$ a göre simetrikse şöyle diyebilirim, 0'dan sağa ve sola doğru giderken sağa dogru giderkenkileri zaten 0dan +sonsuza tanımlıyorum, 0 dan -sonsuz içinse ,toplamı 0dan sonsuza tanımlayıp içindeki indisi -1 ile çarparım dolayısıyla sağa dogru gıderken aslında sola dogru gıtmış olurum, özel olarak, fonskiyın çiftse $f(n)=f(-n)$ ve fonkisyon tek ise $f(n)=-f(n)$ özelliklerini de kullanarak savımı ispatlarım;
Elimde toplamlarla ilgili şu teorem var;
Genel kuralın spesifik hali;
$(-b),a\;\in\mathbb R^-$ için;
$\displaystyle\sum_{n=a}^b f(n)=\displaystyle\sum_{n=a}^0 f(n)+\displaystyle\sum_{n=0}^b f(n)=\displaystyle\sum_{n=0}^b f(n)+\displaystyle\sum_{n=0}^a f(-n)$
Limite uygularsak ve bu linkten $\infty$'e uygulayabileceğim hakkımı alırsam; (http://matkafasi.com/100637)
$\lim\limits_{\left(\begin{matrix}a\to-\infty\\ b\to\infty \end{matrix}\right)}\displaystyle\sum_{n=a}^b f(n)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty f(-n)+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty f(n)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\left( f(n)+f(-n)\right)$ , $\Box$
Daha genel bir durum sunabilir misiniz? Daha formal ispatlayabilir miyiz?