Matematik Kafası - Orta Öğretim Matematik için yeni soru ve cevaplar

Cevaplandı: $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ sürekli ve integrallenebilen bir fonksiyondur ve $f(x)+f(-x)=1$ eşitliği doğru olduğuna göre $\int^4_{-4}f(x)dx=$?

Fri, 15 May 2026 07:39:13 +0000

Sercan hocamın dediği yöntemi uygularsak;

$K=\int^{4}_{-4} f(x)dx= \underbrace{\int^{0}_{-4} f(x)dx}_{A \quad olsun} + \int^{4}_{0} f(x)dx$

A integralini düzenleyelim;

$x=-x$ değişken değiştirme yöntemini kullanırsak;

$dx=-dx$ ve sınırlar $x=0$ için $-x=0$ ve $x=-4$ için $-x=4$ olur. Bu ifadeleri A integralinde yerine yazacak olursak;

$A=\int^{0}_{-4} f(x)dx=-\int^{4}_{0} f(-x)dx$ olur.

Bulduğumuz $A$ değerini $K$ integralinde yerine yazalım;

$K=\int^{4}_{-4} f(x)dx= \int^{4}_{0} f(x)dx- \int^{4}_{0} f(x)dx$.

Sınırlar ve diferansiyaller aynıysa tek bir integral altında gösterebiliriz;

$K=\int^{4}_{-4} f(x)dx=\int^{4}_{0} f(x)-f(-x)dx$

$f(x)+f(-x)=1$ ise $f(x)-1=-f(-x)$ olduğunu biliyoruz! O halde:

$K=\int^{4}_{-4} f(x)dx=\int^{4}_{0} f(x)-f(-x)dx=\int^{4}_{0} f(x)-(f(x)-1)=dx\int^{4}_{0} dx=x+c\big|^{4}_{0}=(4+c)-(0+c)=4$ olur.

Cevaplandı: Çocukların yaşlarını bulunuz

Tue, 17 Mar 2026 20:22:18 +0000

Çocukların yaşlarını

$$x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le x_5$$

şeklinde ifade ederek başlayalım. Bu sayede küçükten büyüğe doğru da sıralanmış oldu.

$$\frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5}{5} = x_3$$ olmalı.

$x_3$ aynı zamanda moda da eşit olmalı. Bu durumda $x_2$ ya da $x_4$'den en az biri kesinlikle $x_3$'e eşit olmalı.

Çocuklardan birinin yaşı $1$ arttığında mod değiştiğine göre, yaşı artan çocuğun yaşı $x_3$ olmalı. Mod da aynı kalacağı için:

$$x_1 , x_3 , x_3 , x_3 + 1, x_5$$ olmalı ki 3. çocuk bir yaş aldığında

$$x_1 , x_3 , x_3 + 1, x_3 + 1, x_5$$ olsun ve mod yine ortancaya eşit olsun, ama ikisi de değişmiş olsun.

Aynı zamanda $x_3 = x_5 - x_1$ olmalı. Yani $x_5 = x_1 + x_3$ olmalı.

Buna göre baştaki aritmetik ortalamayı yeniden hesapladığımızda

$$4x_3 + 2x_1 + 1 = 5x_3$$ olacaktır.

Bu denklemi düzenlersek $x_1$ ve $x_3$ arasında şöyle bir ilişki buluruz:
$$2x_1 + 1 = x_3$$

Yaşlar da artık

$x_1, x_3, x_3, x_3 +1, x_1 + x_3$

şeklindedir. (Çocuklardan biri bir yaş büyümeden önceki hali.)

$x_1$ en küçük çocuğun yaşıdır, $0$'dan büyüktür ve tam sayıdır. Bu sebeple en küçük $1$ olabilir.

$x_1 = 1$ için çocukların yaşları $1,3,3,4,4$ şeklinde olur ve bu durum modun tek grup olması koşulunu sağlamaz.

$x_1 = 2$ için çocukların yaşları $2,5,5,6,7$ olur. Bu yaşlar gerekli koşulları sağlamaktadır.

$x_1 = 3$ için çocukların yaşları $3,7,7,8,10$ olur. Ancak çocukların yaşları 0-9 arasında olarak belirtilmiş, en büyük çocuğun yaşı bu koşulu sağlamıyor.

$x_1$ için $3$'den büyük vereceğimiz her değer için üst yaş sınırı aşılır.

Bu sebeple istediğimiz koşulları sağlayan yaşlar $2,5,5,6,7$ (yaş artımı öncesi) ve $2,5,6,6,7$ (yaş artımı sonrası) şeklindedir.

$1/x$ fonksiyonu üzerinde tam sayılar toplamını bulunuz

Wed, 11 Mar 2026 11:51:39 +0000

$f:\mathbb{R}-\{0\} \to \mathbb{R}-\{0\} $
$f(x) =\dfrac{1}{x}$ şeklinde tanımlı $f$ fonksiyonunda $x\in [-1/6,3]-\{0\}$ olmak üzere fonksiyonun bu aralıkta alabileceği tam sayı değerleri toplamını bulunuz. Yanıt $- 21$

Kaynak :MEB 10.sınıf matematik kitabı syf 248

Benzer bir soruya yapılan çözüm (31.dk)

https://youtu.be/PYazLsnE4vc?si=xAtUELQCgsrASRb3

Cevaplandı: ($0
Thu, 22 Jan 2026 14:44:40 +0000
(Bu soru, 1978 de, Romanya da yapılan (Türk takımının ilk kez katıldığı) IMO da sorulmuş.)
$0<n<m$ ve $1978^n$ ile $1978^m$ nin son 3 basamağı aynı olsun.
    Bu, $1000\mid (1978^m-1978^n)$ olması ve $1000\mid (1978^n(1978^{m-n}-1))$ olması demektir.
    $1000=2^3\cdot5^3$ olduğundan, $2^3\mid 1978^n$ ve $5^3\mid (1978^{m-n}-1) $ olmalıdır.
    İlki için, $n\geq3$ olması gerekli ve yeterlidir.
    İkinci kısım için:
    $5^3\mid (1978^{m-n}-1) $ olması $1978^{m-n}\equiv 1\ (\!\!\!\mod{125}) $ olmasına eşdeğerdir.
    $1978\equiv3\mod{5}$.
$3$ ün mod $5$ kuvvetleri:    $\overline{3},\overline{9},\bar{2},\bar{1}$
    Buradan, $4\mid m-n$ olması gerekdiği sonucuna varılır.
    $1978\equiv3\ (\!\!\!\mod{25})$, $3$ ün mod $25$ kuvvetleri:
        $\bar{3},\bar{9},\bar{2},\bar{6},\overline{18},\bar{4},\overline{12},\overline{11},\bar{8},\overline{-1},\overline{-3},\overline{-9},\overline{-2},\overline{-6},\overline{-18},\overline{-4},\overline{-12},\overline{-11},\overline{-8},\bar{1}$
    ($3$ ün $4k$ şeklindeki üslerini incelemek de yeterli olurdu.)
    Buradan, $20\mid m-n$ olması gerekdiği (ve $1978^{20}\equiv1\ (\!\!\!\mod25)$ olduğu) sonucuna varılır.
    Şimdi de $1978^{20}\equiv 1\ (\!\!\!\mod{125}) $ olup olmadığını kontrol edelim.
    ($1978\equiv -22\ (\!\!\!\mod 125)$) $(-22)^{20}= 22^{20}=2^{20}\cdot11^{20}$
    $2^{10}=1024\equiv 24\ (\!\!\!\mod125)\quad 2^{20}\equiv 24^2\equiv576\equiv 76\ (\!\!\!\mod125)$
    $11^{20}=121^{10}\equiv(-4)^{10}\equiv2^{20}\equiv76\ (\!\!\!\mod125)$
    $76^2=75^2+150+1\equiv 26\ (\!\!\!\mod125)$

$1978^{20}\equiv 26\ (\!\!\!\mod 125)$.   $1978^{20} $ mod $125$, $1$ e denk değil.
    Fakat $1978$ in bir kuvveti, mod $125$, $1$ e denk olmak zorunda
    ve $20$ nin katı şeklinde olup, bu üslerin en küçüğü ($125$ ile aralarında asal olan, $125$ den küçük doğal sayıların sayısı olan) $\phi(125)=5^3-5^2=100$ ü bölmelidir.

(Veya $100$ ü geçemeyeceği için, $1978^{40}$, $1978^{60}$,$1978^{80}$, mod $125$ hesaplanıp, $1$ e denk olmadıkları görülür.)
    Bu nedenle $m-n$ nin en küçük değeri $100$, $m+n$ nin en küçük değeri ise $106$ dir.

Cevaplandı: $\forall n\in\mathbb{N}\ (n>2)$ için, her terimi bir doğal sayının (birden büyük bir doğal sayı) üssü olacak şekilde $n$ terimli aritmetik dizi var mıdır?

Mon, 29 Dec 2025 07:06:10 +0000

$k$ uzunluğunda bir aritmetik dizimiz olsun: $a_{1}^{n_{1}},\ldots,a_{k}^{n_{k}}.$ Aradaki farka $d$ diyelim ve $N=\operatorname{ekok}(n_{1},\ldots,n_{k})$ olarak tanımlayalım. Bu durumda $(a_{k}^{n_{k}}+d)^{N}a_{1}^{n_{1}},\ldots,(a_{k}^{n_{k}}+d)^{N}a_{k}^{n_{k}},(a_{k}^{n_{k}}+d)^{N+1}$ dizisi $k+1$ uzunluğunda istenen şartları sağlar.

Örnek: $2^2$, $3^3$ ile başlarsak $50^6\cdot 2^2, 50^6\cdot 3^3, 50^7$ yani $(50^3\cdot 2)^2, (50^2\cdot 3)^3,50^7$ dizisi $d=23\cdot 50^6$ olacak şekilde bir aritmetik dizi verir.

Cevaplandı: Şekildeki çemberin yarıçapını bulunuz

Sun, 09 Nov 2025 14:01:26 +0000

Çözüm I:

$CP$ nin uzantısı çemberi $D$ noktasında kessin.

$PA \times PB = PC \times PD$ (P noktasına göre kuvvet uygulayalım.)

$6 \times 8 = 24 \times PD$

$PD = 2$

$AB$ nin orta noktası $E$ olsun ve $E$ den çizilen orta dikme $CD$ yi F ve çemberi $G$ de kessin.

Bu takdırde $EP = 1$ ve $PF = 2$ olur.($\triangle FEP \space\space 30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}$ üçgeni)

Çemberin merkezi $O$, $EG$ üzerınde olur.(kirişten çizilen orta dikme merkezden geçer.)

$OH \perp CD$ çizelim. Bu takdirde $DH = CH =13$ ve $FH=9$ olur.

$OH = 3\sqrt3$ ($\triangle OHC \space\space 30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}$ üçgeni)

$R^2 = OC^2 = OH^2 + CH^2$

$R^2 = (3\sqrt3)^2 + 13^2=196$

$R=14$

Çözüm II:

$\triangle ABC$ çizelim.

$AC^2 = 6^2 + 24^2 -2\times 6 \times 24 \times \cos 120^{\circ}$

$AC=6\sqrt 21$

$BC^2 = 8^2 + 24^2 -2\times 6 \times 24 \times \cos 60^{\circ}$

$BC=8\sqrt7$

$A(\triangle ABC)=\frac{14\times 6\sqrt{21} \times 8\sqrt7}{4R} = \frac{6 \times 24 \times \sin 120^{\circ} + 8 \times 24 \times \sin 60^{\circ}}{2}$

$R=14$

Çözüm III:

$BD \perp CD$ olacak şekilde $BD$ ve $CD$ yi çizelim.
$OG \perp AB$ ve $OF \perp CD$ çizelim.
Böylece $AG = BG, CF = HF$(Merkezden inilen dik, kirişi eşit böler)
$ED = 12, CD = 12\sqrt3$ ($\triangle CHO, 30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$, üçgenidir.

$DB = 4, \space EG = 1, OF=GD = 11$
$DB \cdot DA = DH \cdot DC$ (D noktasına göre kuvvet uygulayalım.)

$4 \cdot 18 = DH \cdot 12\sqrt3, \space \text{ve}, DH = 2\sqrt3$
$ CF = HF = 5\sqrt3$
$R^2 = (5\sqrt3)^2 + 11^2$
$ R = 14 $

Cevaplandı: Beş farklı asal sayının toplamı 100 ve çarpımı ABCABC şeklindedir. Bu asal sayıları bulunuz.

Fri, 31 Oct 2025 09:55:07 +0000

Sayıyı $$1001\cdot ABC=7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot ABC$$ olarak yazabiliriz.

$ABC$ toplamları $69$ olan iki asalın çarpımı. $69=2+67$ durumu sadece mümkün. Bu durumda istenen asallar $$2,7,11,13,67$$ olur.

Cevaplandı: Euler'in Dörtgen Teoremi (Genelleştirilmiş Paralelkenar Kanunu) Kanıt

Fri, 18 Apr 2025 06:30:57 +0000

Çözüm: Lokman Gökçe

Euler'in kendi ispatını, çalışmasında kullandığı orijinal çizimiyle beraber sunacağız:

Teorem: $ABCD$ dörtgeninde $[AC]$, $[BD]$ köşegenlerinin orta noktaları sırasıyla $P$ ve $Q$ olsun. Bu durumda aşağıdaki bağıntı geçerlidir:

$$ |AB|^2 + |BC|^2 + |CD|^2 + |DA|^2 = |AC|^2 + |BD|^2 + 4|PQ|^2 .$$

İspat: $ABCE$, $CDAF$ paralelkenarlarını çizelim. $P$, $[AC]$, $[BE]$, $[DF]$köşegenlerinin orta noktalarıdır. Böylece $PQ\parallel BF$, $|BF|=2|PQ|$ ve $PQ\parallel DE$, $|DE|=2|PQ|$ olur. Böylelikle $BDEF$ dörtgeni de bir paralelkenar olur. $CDAF$, $BDEF$, $ABCE$ dörtgenlerinde paralelkenar kanunu uygulanırsa,

$$
\begin{array}{rcl}
2(|CD|^2 + |DA|^2) & = & |DF|^2 + |AC|^2 \\
2(|AB|^2 + |BC|^2) & = & |AC|^2 + |BE|^2 \\
2(|BD|^2 + |DE|^2) & = & |DF|^2 + |BE|^2.
\end{array}
$$

Bu eşitliklerden (taraf tarafa ilk ikisini toplayıp üçüncüsünü çıkararak) $|AB|^2 + |BC|^2 + |CD|^2 + |DA|^2 = |AC|^2 + |BD|^2 + |DE|^2$ elde edilir. $|DE|=2|PQ|$ olduğu hatırlanırsa aranan eşitliğe ulaşılır.

Not: Buradaki $PQ$ uzunluğu, dörtgenin paralelkenara ne kadar benzediğinin bir ölçüsüdür. $PQ$ uzunluğu $0$ a yaklaştıkça dörtgen paralelkenara daha çok benzer.

Cevaplandı: Şekildeki çemberin yarıçapını bulunuz

Tue, 15 Apr 2025 07:08:26 +0000

Buradaki özellik kullanılırsa $$7\cdot 3=(7+3)\cdot r$$ $$r=2,1$$

Cevaplandı: İç Teğet Çemberli Dik Yamuğun Alanı

Tue, 15 Apr 2025 06:51:31 +0000

Çözüm:ahmedsyldz

$AB \parallel DC$ ve $AD \perp DC$ olan $ABCD$ dik yamuğunda, merkezi $O$ noktası ve yarıçapı $r$ olan iç teğet çemberin $|AB|$, $|BC|$, $|CD|$ ve $|DA|$ kenarlarına teğet olduğu noktalar sırasıyla $E$, $F$, $G$ ve $H$ olsun. Bu durumda $|EA| = |AH| = |HD| = |DG| = r$, $|CF| = |CG|$ ve $|EB| = |BF|$ olur. $|OB|$ ve $|OC|$ çizilirse $\angle BOC = 180^\circ - \frac{\angle ABC + \angle BCD}{2} = 90^\circ$ olur ve Öklid'ten $*(|OF|^2 = r^2 = |BF|.|CF|)$ gelir. Bu durumda yamuğun alanı $|AD|(|AB| + |DC|)/2 = r(2r + |EB| + |GC|) = r^2 + r(|EB| + |GC|) + |EB|.|GC|$ (* eşitliği) $ = (r + |EB|)(r + |GC|) = |AB|.|DC|$ olur.

Cevaplandı: $x^2-x(y+6)+y^2+5y+6=0$ üzerindeki latis noktaları

Tue, 08 Apr 2025 13:10:28 +0000

Farklı bir çözüm olarak denklem $2$ ile genişletilip düzenlenirse,

$$2.(x^2-xy-6x+y^2+5y+6)=0$$ ve $$(x-y)^2+(x-6)^2+(y+5)^2=49$$ şeklinde yazılabilir. Bu denklemden y<1 olduğu açıktır.

Teorem(Fermatın iki kare teoremi): $p\lt 2$ asal sayısı iki kare toplamıdır ancak ve ancak $p\equiv 1(\mod 4)$.

$y=1$ için denklemin sağ tarafı $p=13=4k+1$ olduğundan denklemin çözümleri vardır. Denemeyle bu çözümler $x=3$ ve $x=4$ olarak bulunur.

Teorem(İki kare toplamı teoremi): $4k+3$ formunda asal çarpan içeren bir bileşik sayının iki kare toplamı olarak yazılabilmesi için bu formdaki asal çarpanların üstlerinin çift olması gerekir. Eğer $4k+3$ formundaki asal çarpanların üstleri tek sayı ise, verilen bileşik sayı iki kare toplamı olarak yazılamaz. Sadece $4k+1$ formunda asal çarpan içeren bileşik sayılar ise iki kare toplamı olarak yazılabilir. Şimdi bu teoremi kullanarak devam edelim:

$y=0$ için denklemin sağ tarafı $24=2^3.3$ ve $4k+3$ formunda olan $3$ çarpanının üstü çift olmadığından iki kare toplamı olarak yazılamaz. Yani denklemin çözümü yoktur.

$y=-1$ için sağ taraf $33=3.11$ olup aynı nedenden $33$ sayısı iki kare toplamı olarak yazılamaz.

$y=-2$ için sağ taraf $40=2^3.5$ olup $5$ sayısı $4k+1$ formunda olduğundan $40$ sayısı iki kare toplamı olarak yazılabilir. Denemeyle $x=0$ ve $x=4$ bulunur.

$y=-3$ için sağ taraf $45=2^3.5$ olup aynı nedenden dolayı $45$ sayısı iki kare toplamı olarak yazılabilir. Denemeyle $x=0$ ve $x=3$ bulunur.

$y=-4$ için $(x+4)^2+(x-6)^2=48$ denklemi reel bir çember belirtmez.

Buna göre tüm çözümler $(3,1),(4,1),(0,-2),(4,-2),(0,-3),(3,-3)$ olur.

Cevaplandı: Stewart Teoremi ispati

Thu, 27 Mar 2025 08:54:46 +0000

Stewart bir kanıt daha

Cevaplandı: $-1+\dfrac{2}{1-x}=\sqrt 3$ ise $\dfrac{2x}{1-x^2}\cdot \sqrt 3=?$

Mon, 17 Mar 2025 07:41:34 +0000

$\dfrac{1+x}{1-x}=\sqrt 3$ eşitliğinden $x=2-\sqrt3$

$\dfrac{2\sqrt3x}{1-x^2}=A$ olsun. Oluşan denklemin kökü $$x=\dfrac{-\sqrt3\pm \sqrt{3+A^2}}{A}=2-\sqrt3$$
olduğundan $A=1$ bulunur.

Cevaplandı: Şekilde $A-B=?$

Mon, 17 Mar 2025 06:01:15 +0000

Diğer köşeler ile birleştirirsek (A olan alandan başlayarak saat yönünün tersine alanlar sırası ile)
A      A
4-A 4-A              (bir önceki ile toplamı 4)
1+A 1+A             (bir önceki ile toplamı 5)
6-A 6-A              (bir önceki ile toplamı 7)
2+A 2+A=B        (bir önceki ile toplamı 8)
olur.

Cevaplandı: $(f (x))^2=f (2x)+2f (x)+\dfrac 12$ ve $f(1)=2$ ise $f (3)=?$

Tue, 11 Mar 2025 12:11:50 +0000

Çözüm: Metin Aydemir

Bir bağıntı tanımlayalım. $$R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^+:\exists k\in\mathbb{Z},\quad x=y\cdot 2^k\}.$$ Şimdi bu bağıntının denklik bağıntısı olduğunu gösterelim (equivalence relation).

Her $x\in\mathbb{R}^+$ için $(x,x)\in R$'dir.
Eğer $(x,y)\in R$ ise $(y,x)\in R$'dir.
Eğer $(x,y),(y,z)\in R$ ise $(x,z)\in R$'dir.

Bu şartlar doğru olduğundan $R$ bir denklik bağlantısıdır. Verilen fonksiyonel denklem, sadece $f(x)$ ve $f(2x)$ değerlerini kullandığından, önceden bilinen bir $x_0$ için $x_0$'ın denklik sınıfındaki değerleri verecektir. Örneğin, $f(1)=2$ bilindiğinden sadece $1$'in denklik sınıfından değerleri bulabiliriz. $\dots,\frac{1}{4},\frac{1}{2},1,2,4,\dots,$ değerlerini bulabiliriz ancak $3$, bu denklik sınıfında olmadığından onu bulamayız. Yani, $f(3)=2$ de olabilir, $3$ de olabilir, başka değerler de olabilir. Sanırım, $f(2x)=(f(x)-1)^2-3/2$ olduğundan $-\frac{3}{2}$'den büyük her değer olabilir.

Soruyu doğru hala getirebilmek için ya $f(3)$ yerine $1$ ile aynı sınıfta olan bir sayıyı sormak lazım, ya da farklı sınıflar arasında ilişki kurmamızı sağlayan bir koşul lazım (süreklilik koşulu gibi).

Cevaplandı: $$5a+6b+7c=1$$ olmak üzere $$\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}$$ ifadesinin en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Fri, 07 Mar 2025 09:43:04 +0000

AO-GO kullanılarak yapılan bir çözüm: $$(5a+6b+7c)\cdot (\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c})=56+(\dfrac{15a}{b}+\dfrac{12b}{a})+(\dfrac{20a}{c}+\dfrac{14c}{a})+(\dfrac{24b}{c}+\dfrac{21c}{b})$$ $$\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}\ge 56+12\sqrt 5+4\sqrt 70+12\sqrt 14\cong161,19$$ $$(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c})_{min}=162$$

Cevaplandı: Köklü sayıları sıralayınız

Thu, 27 Feb 2025 11:21:36 +0000

Lisans düzeyinde hiperbolik fonksiyonlar kullanılarak şöyle bir çözüm de verilebilir:

$f(x)=13^{1/x}+13^{1/13-x}$ olsun. $x=\dfrac{13+t}{2}$ dönüşümü ile $$f(t)=169^{1/13+t}+169^{1/13-t}=169^{13-t/169-t^2}+169^{13+t/169-t^2}$$ $$f(t)=169^{13/169-t^2}(169^{-t/169-t^2}+169^{t/169-t^2})$$ olarak yazılabilir.

$\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$ eşitliğini kullanalım:

$e^x=169^{t/169-t^2}$ dersek $x=\dfrac{t\ln 169}{169-t^2}$ olacağından $$f(t)=2\cdot 169^{13/169-t^2}\cdot \cosh (\dfrac{t\ln 169}{169-t^2})$$ elde olunur. Her iki çarpan da $0\le t\lt 13$ aralığında ($6,5\le x\lt 13$) kesin artandır. Buna göre $z=f(10)$, $y=f(8)$ ve

$x=f(7)$ olduğundan $z>y>x$ olmalıdır.

Cevaplandı: $n$ adet konveks $k-gen$ bir düzlemi en fazla kaç bölgeye ayırabilir? (Örneğin 2 adet üçgen bir düzlemi en fazla 8 bölgeye ayırabilir.)

Tue, 25 Feb 2025 07:28:41 +0000

ahmedsyldz' a ait bir çözüm:

Öncelikle hiçbir kenarı çakışık olmayan iki konveks $n$-gen birbiriyle en fazla $2n$ noktada kesişebilir (Her kenarın karşısında bir köşenin bulunduğu durum). Şimdi $k$ adet $n$-gen ile bir düzlemin en fazla kaç bölgeye ayrılabileceğini veren bir $F(n, k)$ fonksiyonu oluşturalım.
$F(n, m)$'i bildiğimizi varsayıp $F(n, m+1)$'i inceleyelim. $m+1.$ $n$-gen kendinden önceki $n$-genlerin hepsini en fazla $2nm$ noktada kesebilir ve kestiği her noktadan sonra geçtiği bölgeyi ikiye ayıracağından 1 adet bölge artışı olur. Yani:
$F(n, m+1) = F(n, m) + 2nm$ olur ve
$F(n, 2) - F(n, 1) = 2n.1$
$F(n, 3) - F(n, 2) = 2n.2$
$\vdots$
$F(n,k) - F(n, k-1) = 2n.(k-1)$
Teleskobik toplamından ($F(n, 1) = 2$ olduğundan) $F(n, k) = nk(k-1) + 2$ gelir.

Cevaplandı: Şekilde ? işaretli dörtgenin alanını bulunuz.

Mon, 24 Feb 2025 14:18:55 +0000

$FGHI$ karesini oluşturursak bu kare içindeki $E$ noktasına göre oluşan karşılıklı üçgenlerin alanları toplamı biribirine yani $Alan(FEG)+Alan(HEI)=Alan(GEH)+Alan(FEI)-$ ve $FGHI$ karesinin alanının yarısına eşittir. Bu toplamlara $ABCD$ karesinin köşelerinde kalan eş dik üçgenlerin alanlarının karşılıklı olarak eklenmesi sonucu toplam eşit miktarda arttığından toplam yine değişmeyecektir; yani karşılıklı olarak oluşan dörtgenlerin alanları toplamı da -$Alan(DGEF)+Alan(BHEI)=Alan(GCHE)+Alan(AFEI)$-biribirine eşit olmalıdır. Buna göre: $$16+32=20+?$$ ve $?=28$ br kare bulunur.

Cevaplandı: Kenarlardan nokta seçerek üçgeni dört eşit alana bölme (ispat)

Fri, 07 Feb 2025 13:43:30 +0000

$|BC|=a$, $|BY|=b$, $|BX|=c$, ve $|AZ|=m$ olsun. Sadece bir kenar için orta nokta olduğunu gösterelim; diğerleri benzer şekilde yapılabilir.

$Alan(BXY)=Alan(ABC)/4$ olduğundan $b.c=a.|AB|.\dfrac 14$ ve buradan $|AB|=\dfrac{4bc}{a}$ olur.

$Alan(AXZ)=Alan(ABC)/4$ ise $|AX|.|AZ|=(\dfrac{4bc}{a} -c)m=\dfrac{4bc}{a}.\dfrac{|AC|}{4}$ ve buradan $|AC|=\dfrac{(4b-a)m}{b}$

$Alan(CYZ)=Alan(ABC)/4$ ise $|CZ|.|CY|=(\dfrac{(4b-a)m}{b}-m)(a-b)=\dfrac{(4b-a)m}{b}.a.\dfrac 14$ eşitliği düzenlenirse $$a^2-4ab+4b^2=0$$ $$(a-2b)^2=0$$ yani $a=2b$ olacağından $Y$ noktası $[BC]$ kenarının orta noktasıdır. Benzer olarak $X$ ve $Z$ noktalarının da bulundukları kenarların orta noktaları oldukları gösterilebilir.

Cevaplandı: Konveks düzlemsel bir dörtgenin Fermat noktasının köşegenlerinin kesim noktası olduğunu gösteriniz. Dörtgenin konkav olması hali için bu noktayı belirleyiniz.

Tue, 04 Feb 2025 21:32:24 +0000

Çözüm [Lokman Gökçe]: Konveks (dış bükey) $ABCD$ dörtgeninin düzleminde keyfi bir $P$ noktası alalım. ($P$ noktası dörtgenin dışında da kalabilir.) $P$ nin köşelere olan uzaklıkları toplamı olan $S = |PA| + |PB| + |PC| + |PD|$ yi minimum yapmak istiyoruz. Üçgen eşitsizliğinden $|PA| + |PC| \geq |AC|$, $|PB| + |PD| \geq |BD|$ olup taraf tarafa toplarsak

$$ S \geq |AC| + |BD|$$

olur. Eşitsizliklerdeki eşitlik durumlarının geçerli olabilmesi için $P$ noktasının hem $[AC]$ doğru parçası üstünde, hem de $[BD]$ doğru parçasının üstünde olması gerekir. Köşegenlerin kesin noktasına $E$ dersek, $P=E$ iken $S$ minimum olur. $$S_{\min} = |AC| + |BD|$$ dir.

Şimdi de $ABCD$ konkav (iç bükey dörtgenini) göz önüne alalım. $S$ toplamı aynı şekilde tanımlansın. Belirlilik açısından $D$ noktasının $ABC$ üçgensel bölgesinin içinde olduğunu varsayalım. Öncelikle $B$ ve $C$ köşelerine olan uzaklıklarının toplamı $$2a = |DB| + |DC|$$ olan noktalar kümesini düşünelim. Bu; odakları $B$ ve $C$ olan, asal eksen uzunluğu $2a$ olan bir elipstir. Bu elipsi $\Gamma$ ile gösterelim. Şimdi şu iki durumu inceleyeceğiz:

1. Durum: $P$ noktası $\Gamma$ elipsinin dışında ise (bkz. Şekil 1) $PBDC$ iç bükey dörtgen olup $|PB| + |PC| > |DB| + |DC|$ dir. Eşitsizlik kesindir. Ayrıca üçgen eşitsizliğinden $|PA| + |PD| > |DA|$ olup taraf tarafa toplarsak $$S > |DA| + |DB| + |DC|$$ buluruz.

2. Durum: $P$ noktası $\Gamma$ elipsinin içinde veya üzerinde ise (bkz. Şekil 2) $PADC$ iç bükey dörtgen olup $|PA| + |PC| \geq |DA| + |DC|$ dir. Eşitlik durumu yalnızca $P=D$ iken mümkündür. Ayrıca üçgen eşitsizliğinden $|PB| + |PD| \geq |DB|$ olur. Eşitlik durumu, $P$ noktası $[DB]$ doğru parçası üzerinde iken sağlanır. Taraf tarafa toplarsak $S \geq |DA| + |DB| + |DC|$ dir. Eşitlik durumlarının kesişimi incelenirse, $P=D$ iken eşitlik durumu mümkün olur. O halde $$S_{\min} = |DA| + |DB| + |DC|$$ olur.

Notlar:

1. Burada $\Gamma$ elipsini çizmemizin gerekçesini de açıklayalım. Şekil 2'de $|PB| + |PC| \leq |DB| + |DC|$ dir. Dolayısıyla 1. durumdaki adımları tamamen aynı tutarak uygulayamıyoruz. Fakat $P$ noktası elipsin içinde veya üzerinde iken bu kez de $PADC$ nin iç bükey dörtgen oluşunu kullanabiliyoruz.

2. $ABCD$ dış bükey iken keyfi $P$ noktasının $ABCD$ dörtgeninin içinde seçilme gibi bir zorunluluğu yoktur. Yani çözümde $P$ nin, dörtgenin içinde olması gerektiği gibi bir kabul kullanmadık. $ABCD$ iç bükey iken $P$ nin, $ABCD$ dörtgeninin iç bölgesinde veya üzerinde olduğunu varsaydım. Ancak $P$, dış bölgede de alınabilme serbestliğine sahip olursa benzer türde analizler yapılarak $P=D$ iken $S$ nin minimize olduğunu bulabiliriz diye düşünüyorum. Bu yüzden daha fazla şekil eklemedim. Yine de, bu tür bir dış nokta incelemesinde zorluk oluşuyorsa belirtebilirsiniz. Tekrar bakabiliriz.

Cevaplandı: $a,b,c\in\mathbb{R}$ olmak üzere $a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3=1$ ise $a+b+c=?$

Mon, 03 Feb 2025 08:13:30 +0000

$(1,0,0)$ elemanlarının permütasyonları aşikar çözüm.

$c^2=1-(a^2+b^2)$ ve $c^3=1-(a^3+b^3)$ eşitliklerinden ayrı ayrı $c^6$ değeri bulunup eşitlenirse $$2a^6-3(1-b^2)a^4+2(b^3-1)a^3+3(1-b^2)^2a^2+(b^3-1)^2-(1-b^2)^3=0$$ şeklinde 6.dereceden bir denklem gelir.

Bu denklemde $b=1$ için $a=0$ aşikar çözümünü elde ederiz.

$$2a^6-3(1-b^2)a^4+2(b^3-1)a^3+3(1-b^2)^2a^2+(b^3-1)^2-(1-b^2)^3=0$$ eşitliğinde $b=0$ yazarsak $$a^2(2a^4-3a^2-2a+3)=0$$ ve $a=1$ değeri bir çözüm olduğundan $$a^2(a-1)(2a^3+2a^2-a-3)=0$$ $$a^2(a-1)^2(2a^2+4a+3)=0$$ denklemi elde edilir.

Bu denklemin kökleri $a_1=0$, $a_2=1$, $a_3=-1-i/\sqrt2$, $a_4=-1+i/\sqrt2$

Kompleks köklerle ilgilenmediğimizden sadece $a=0$ ve $a=1$ verilen eşitlikleri sağlar.

Buna göre $(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1)$ değerlerinin çözüm olduğu görülebilir. Yani

$a+b+c=1$ olmalıdır.

Cevaplandı: $f(x-y)\cdot f(y) =f(x) $, $f(5)=32$ ise $f(7)$ kaçtır?

Mon, 27 Jan 2025 13:09:19 +0000

Kaynaklardan öğrendiğimize göre; eğer hiçbir ek koşul konulmazsa Cauchy temel denkleminin (diğer Cauchy denklemleri de bu denkleme indirgenebildiğinden bu kapsamda) $f(x)=cx$ çözümleri dışında, sonsuz çoklukta "patolojik" çözümleri(bir kaynakta bu çözümler "ugly" olarak anılıyor) olduğu biliniyor-süreklilik yoksa rasyonel sayılar kümesinde çözümler yine $f(x)=cx$ şeklinde-. Bu çözümler son derece garip davranışlara sahiptir:çözümlerin herbirinin grafiği $\mathbb{R^2}$ düzleminde yoğundur, yani düzlemde her noktanın her komşuluğunda grafiğe ait sonsuz nokta vardır ve bu çözümler ölçülemez, ne türevlenebilir ne de süreklidir.(Mathematics Magazine, Vol. 91, No. 1 (February 2018), pp. 37-41 (5 pages) ) Bu sürekli olmayan çözümlerin varlığı, 1905 yılında George Hamel tarafından, Seçme Aksiyomuna dayanan ve kendi ismiyle anılan Hamel Tabanı kavramı kullanarak tanımlanmış. Bu çözümlerden kurtulmak için $f$ fonksiyonu sürekli (hatta bir noktada sürekli olmasının yeterli olduğu da gösterilmiş) kabül ediliyor. Bu özelliğe denk olarak genel çözümün $f(x)=cx$ olması için $f$ nin herhangi bir aralıkta monoton olması veya herhangi bir aralıkta alttan veya üstten sınırlı olması da yeterli. Hatta $f$ fonksiyonu bir noktanın komşuluğunda Lebesque anlamında integrallenebilir ise genel çözüm $f(x)=cx$ şeklindedir (Banach 1920).

Cevaplandı: $\forall x,y\in\mathbb{Q}^+$ için $f(xf(y))=\dfrac{f(x)}y$ koşulunu sağlayan bir $f:\mathbb{Q}^+\to\mathbb{Q}^+$ fonksiyonu bulunuz.

Fri, 24 Jan 2025 13:42:26 +0000

(Metin Can Aydemir'in katkıları ile)

$x=1$ için $f(f(y))=\dfrac{f(1)}{y}$

$f(y_1)=f(y_2)\implies f(f(y_1))=f(f(y_2))\implies \frac{f(1)}{y_1}=\frac{f(1)}{y_2}\implies y_1=y_2$ olduğundan fonksiyon 1-1 dir.

Bir $y=\frac ba\in\mathbb{Q^+}$ için $f(f(\frac ba))=\frac ab$ yani $f(\frac{b}{a})\to \frac{a}{b} $ olduğundan fonksiyon örtendir de aynı zamanda.

$x=y=1$ için $f(f(1))=f(1)$ ve tersi mevcut olduğundan $f(1)=1$ bulunur. Buna göre $f(f(y))=f^2(y)=\dfrac 1y$ olmalı.

Verilen fonksiyonel denklemde $y$ yerine $f(y)$ yazarsak $$f(xf(f(y)))=f\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{f(x)}{f(y)}\implies f(x)=f\left(\frac{x}{y}\right)f(y)$$ elde edilir. $x$ yerine $xy$ yazarsak $$f(xy)=f(x)f(y)$$ eşitliğini elde ederiz, yani $f$ çarpımsal bir fonksiyondur. Buna göre fonksiyonel denklemi $$f(f(y))=\dfrac1y$$ ve $$f(xy)=f(x)f(y)$$ eşitlikleri ile karakterize edebiliriz.

Her pozitif rasyonel sayının pay ve paydası asalların çarpımı olarak tek türlü yazılabileceğinden, fonksiyonu asallar için uygun bir şekilde tanımlamak gerekir. Buna göre bir $p$ asalı için $f(p)=a$ olduğunu varsayarak $f^2(y)=1/y$ dönüşümü altında $$f^2(p)=f(a)=1/p$$ $$f^3(p)=f^2(a)=f(1/p)=1/a$$ $$f^4(p)=f^2(1/p)=f(1/a)=p$$ olduğundan $$p\mapsto a\mapsto \frac{1}{p}\mapsto \frac{1}{a}\mapsto p$$ şeklinde bir döngü elde edilir.

Buna göre asallardan oluşan $P=\{p_0,p_1,p_2,p_3,...\}$ kümesi için $p_k$, k-ıncı asalı göstermek üzere $f(p_{2k})=p_{2k+1}$ ve $f(p_{2k+1})=\dfrac 1{p_{2k}}$ olarak tanımlarsak $f$ tüm asallar için tanımlanmış olur.

Sonuç olarak bir $x$ pozitif rasyonel sayısını $x=\dfrac{r_1^{a_1}r_2^{a_2}\cdots r_k^{a_k}}{q_1^{b_1}q_2^{b_2}\cdots q_t^{b_t}}$ olarak asal çarpanlarına ayırırsak, $$f(x)=\frac{f(r_1)^{a_1}f(r_2)^{a_2}\cdots f(r_k)^{a_k}}{f(q_1)^{b_1}f(q_2)^{b_2}\cdots f(q_t)^{b_t}}$$ ve asallar için yukardaki tanımı kullanarak fonksiyonu tanımlamış oluruz.

Cevaplandı: $n$ basamaklı doğal sayılar kümesinden rastgele seçilen bir sayının herhangi $k$ tane basamağındaki sayıların çarpımının tek olma olasılığı nedir?

Mon, 13 Jan 2025 12:48:40 +0000

Tüm basamaklar tek iken istenen sağlanır. Bütün basamakları tek olan doğal sayıları sayalım:

$1$ basamağı tek olan $5$, $2$ basamağı tek olan $5^2$,..., $n$ basamağı tek olan $5^n$ sayı ve toplamda $T=5+5^2+...+5^n=\dfrac{5^{n+1}-5}{4}$ sayı var.

Buna göre istenen olasılık $$p(n)=\dfrac{5^{n+1}-5}{4(10^n-1)}$$ olmalı.

$n\to\infty$ için limit alınırsa $p(n)=0$ olur.

Cevaplandı: $y=x^3$ eğrisine apsisi 2 olan noktadan teğet olan doğru eğriyi apsisi a olan noktada kesmektedir.Buna göre a kaçtır?

Mon, 13 Jan 2025 12:28:56 +0000

Şöyle de çözülebilir:

Çizilen doğrununu denklemi $y=mx+n$ olsun. Ortak çözümle ilgilendiğimizden $$x^3=mx+n$$ $$x^3-mx-n=0$$ $$x_1+x_2+x_3=0$$ $(2,8)$ noktası teğet noktası olduğundan burası ortak çözümün çift kat noktasıdır yani $x_1=x_2=2$ ve diğer ortak çözüm kökü $x_3=a$ olmalıdır. $$2+2+a=0$$ dan $a=-4$ bulunur.

Cevaplandı: En küçük dereceli polinom

Thu, 02 Jan 2025 09:02:31 +0000

Metin Aydemir'in çözümü:

$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ olsun. $\sqrt{2}$'yi yok edelim. $$(x-\sqrt{3})^2=2\implies x^2+1=2x\sqrt{3}\implies \frac{x}{2}+\frac{1}{2x}+1=\sqrt{3}+1$$ elde ederiz. Dolayısıyla, $$p(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}+1\implies 2xp(x)-(x+1)^2=0$$ denkleminin kökünün $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ olması gerekir. Kökü $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ olan bir polinom bulalım. $x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ için $$x^2=5+2\sqrt{6}\implies (x^2-5)^2=24\implies x^4-10x^2+1=0$$ olacağından $x^4-10x^2+1$ polinomunun bir kökü $\sqrt{2}+\sqrt{3}$'dür. Sabit terimi eşitleyerek, $$2xp(x)-(x+1)^2=-x^4+10x^2-1\implies p(x)=-\frac{1}{2}(x^3-11x-2)$$ elde edilir. Bunun elde edilecek en küçük dereceli polinom olduğunu görmek için $p$'nin $0.,1.,2.$ dereceden olduğu kabul edilip çözüm gelmediği görülebilir. $$p(3)=-\frac{1}{2}(3^3-11\cdot 3-2)=4$$ bulunur.

$c^n=a^n+b^n$ şartını sağlayan üçgenleri sınıflandırınız.

Mon, 30 Dec 2024 12:04:27 +0000

$n$ bir pozitif reel sayı olmak üzere kenarları $a,b,c$ olan ve $c^n=a^n+b^n$ şartını sağlayan üçgenleri sınıflandırınız.

Cevaplandı: $1^3+2^3+3^3+\ldots +9^3=?$

Fri, 27 Dec 2024 14:11:28 +0000

Burada kullanılan perturbation metod ile de istenen toplam hesaplanabilir:

$S_1(n)=\sum_{k=1}^{n}k$

$S_2(n)=\sum_{k=1}^{n}k^2$

$S_3(n)=\sum_{k=1}^{n}k^3$

$S_4(n)=\sum_{k=1}^{n}k^4$ olsun.

$S_4(n+1)=1^4+2^4+...+(n+1)^4$

$S_4+(n+1)^4=1+\sum_{k=1}^{n}(k+1)^4=1+S_4+4S_3+6S_2+4S_1+n$

$S_3=(S_1)^2$ bulunur.

Cevaplandı: $\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac {k}{2024}$

Wed, 04 Dec 2024 12:34:10 +0000

Korsan çözüm:
Fibonacci algoritmasından $$7/2024=7/2030 +(7/2024-7/2030) $$ $$7/2024 =1/290+3/145$$ olduğundan ($3/145$ birim kesir değil) en küçük $k=7$ olmalı. $k\lt 7$ için algoritma $2$ uzunluğunda (iki adet) birim kesirler veriyor.

Bileşke fonksiyon tanımı

Sun, 01 Dec 2024 12:25:26 +0000

$f:\{0,3\}\to \{3,4\}$ olmak üzere $f(0)=3$, $f(3)=4$ verilsin. Bu durumda $fof$ tanımlanabilir mi?

$ff(0)=f(3)=4$, $ff(3)=f(4)$ tanımsız olduğundan yani tanım kümesindeki $3$ elemanının gidecek yeri olmadığından fof fonksiyonu tanımlanamaz/iyi tanımlı değildir diye düşünüyorum. Ne dersiniz? Nokta kümelerinden nokta kümelerine fof nasıl tanımlanabilir?

$\dfrac 1x+\dfrac 1y+\dfrac 1z=\dfrac 13$ Diophantine denklemi

Thu, 21 Nov 2024 15:27:55 +0000

$x\le y \le z$ olmak üzere $$\dfrac 1x+\dfrac 1y+\dfrac 1z=\dfrac 13$$ Diophantine denkleminin kaç pozitif tam sayı çözümü vardır?

$P(\sqrt 3+1)=2(\sqrt 3-1)$ eşitliği

Wed, 20 Nov 2024 18:42:17 +0000

Bir TYT-AYT deneme sınavında sorulmuş.

Baş katsayısı $-1$ olan rasyonel katsayılı $3.$ dereceden bir $P(x)$ polinomu için $$P(\sqrt {3}+1)=2(\sqrt{3}-1)$$ eşitliği veriliyor.

Buna göre $P(x)$ polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 7$

$P(\sqrt{5}+\sqrt{3}) =2(\sqrt{5}-\sqrt{3})$

Wed, 20 Nov 2024 16:34:25 +0000

$P(\sqrt{5}+\sqrt{3})=2(\sqrt{5}-\sqrt{3})$ eşitliğini sağlayan sabit polinomdan farklı katsayıları rasyonel olan en küçük dereceli $P(x) $ polinomu için $P(2)=?$

Bu soru çarpanlara ayırma yöntemi ile nasıl çözülür?

Fri, 15 Nov 2024 15:07:19 +0000

Bu sorunun çarpanlara ayırma yöntemi ile çözümünü öğrenebilir miyim?

$f:\mathbb{R}-\{1,2\}\to \mathbb{R}$ olmak üzere $f(x)=\dfrac x{x^2+ax+b}$ fonksiyonu veriliyor.

Mon, 04 Nov 2024 13:42:26 +0000

$f:\mathbb{R}-\{1,2\}\to \mathbb{R}$ olmak üzere $f(x)=\dfrac x{x^2+ax+b}$ fonksiyonu veriliyor. Buna göre $a+b$ toplamını bulunuz.

Şekildeki dörtgenin alanını bulunuz

Mon, 04 Nov 2024 10:05:09 +0000

Aşağıdaki şekilde, bir dikdörtgen, iki doğru parçası ile, iki üçgen ve iki dörtgene bölünmüştür.
Dörtgen ve üçgenlerin içindeki sayılar alanlarıdır. İçinde "?" olan dörtgenin alanını bulunuz.

$\cos\left(\dfrac\pi7\right)\cdot \cos\left(\dfrac{2\pi}7\right)\cdot\cos\left(\dfrac{3\pi}7\right)=\dfrac18$ olduğunu gösteriniz.

Thu, 24 Oct 2024 11:21:16 +0000

$\cos\left(\dfrac\pi7\right).\cos\left(\dfrac{2\pi}7\right).\cos\left(\dfrac{3\pi}7\right)=\dfrac18$ olduğunu gösteriniz.

$\cos\left(\dfrac\pi7\right)\cdot \cos\left(\dfrac{2\pi}7\right)\cdot\cos\left(\dfrac{4\pi}7\right)=-\dfrac18$ olduğunu gösteriniz.

Thu, 24 Oct 2024 10:44:13 +0000

$\cos\left(\dfrac\pi7\right)\cdot\cos\left(\dfrac{2\pi}7\right)\cdot\cos\left(\dfrac{4\pi}7\right)=-\dfrac18$ olduğunu gösteriniz.

$\cos\left(\dfrac\pi7\right)+\cos\left(\dfrac{3\pi}7\right)+\cos\left(\dfrac{5\pi}7\right)=\dfrac12$ olduğunu gösteriniz.

Mon, 21 Oct 2024 18:51:13 +0000

$\cos\left(\dfrac\pi7\right)+\cos\left(\dfrac{3\pi}7\right)+\cos\left(\dfrac{5\pi}7\right)=\dfrac12$ olduğunu gösteriniz.

$3x^2-y^2=2018^n$ denklemi

Mon, 14 Oct 2024 06:25:24 +0000

$$3x^2-y^2=2018^n$$ denkleminin tam sayı çözümleri bulunmasını sağlayan tüm $n$ pozitif tam sayılarını bulunuz.

MD 116.Sayı A.571

$\sqrt{\dfrac{3^8+5^8+34^4}2} =?$

Thu, 10 Oct 2024 19:00:32 +0000

$\sqrt{\dfrac{3^8+5^8+34^4}2} $ sayısını hesaplayınız (Çok ünlü bir üniversitenin giriş sınavında sorulduğu belirtilmiş)

x . y . z = 24 koşulunu sağlayan kaç farklı (x , y , z) üçlüsü vardır?(x , y , z doğal sayılardır)

Tue, 01 Oct 2024 15:21:06 +0000

lütfen cevaplayın

$2^x-2^9=3^y-3$ Diyofant denklemi

Fri, 13 Sep 2024 11:06:31 +0000

$2^x-2^9=3^y-3$ eşitliğinin pozitif tamsayılarda $(9,1)$ den başka bir çözümü olup/olmadığı nasıl gösterilir?

$(2a+b)(2b+a)=2^c$ denklemi

Wed, 31 Jul 2024 08:04:24 +0000

$(2a+b)(2b+a)=2^c$ denklemini sağlayan kaç tane $(a,b,c)$ pozitif tam sayı üçlüsü vardır?

$x^3-y^3=xy+61$ denkleminin çözümleri

Mon, 15 Jul 2024 19:18:55 +0000

$x^3-y^3=xy+61$ denklemini tamsayılarda çözünüz.

$x^3-x-1=0$ denkleminin kökleri

Wed, 10 Jul 2024 17:17:24 +0000

$x^3-x-1=0$ denkleminin kökleri $a, b$ ve $c$ ise $$ a) \ \dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1} {1+b} +\dfrac{1}{1+c}...(\text{Antalya M.O.2004})$$ $$b) \ \dfrac{1+a}{1-a}+\dfrac{1+b} {1-b} +\dfrac{1+c}{1-c}... (\text{Kanada M.O. 1996)}$$ $$c) \ \dfrac{1+a^2}{1-a^2}+\dfrac{1+b^2} {1-b^2} +\dfrac{1+c^2}{1-c^2}$$ toplamlarını bulunuz.

$f(f(y))+f(x-y)=f(xf(y)-x)$

Tue, 25 Jun 2024 12:36:03 +0000

Her $x,y$ reel sayıları için

$$f(f(y))+f(x-y)=f(xf(y)-x)$$

koşulunu sağlayan tüm $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tanımlanmış $f$ fonksiyonlarını bulunuz.

(Baltic Way 2014)

$1$ sayısını $k$ tane tek tam sayının tersleri toplamı olarak yazabilir miyiz?

Thu, 06 Jun 2024 14:08:33 +0000

$k$ sayısı bir çift tam sayı olmak üzere $1$ sayısını $k$ tane tek tam sayının tersleri toplamı olarak yazabilir miyiz?

Basit bir soru. Sitede bulunsun.

Merhaba yeniyim orta öğretim soruları sorucam telefondan

Sun, 02 Jun 2024 06:03:27 +0000

63000 sayısını tam bölen doğal sayılardan kaç tanesi 12 ile tam bölünür ? 32 #Matematik