Matematik Kafası - Lisans Matematik için yeni soru ve cevaplar

$\dfrac {d{(f(x) \cdot g(x))}}{dx} = \dfrac{df(x)}{dx}\cdot \dfrac{dg(x)}{dx}$

Wed, 04 Mar 2026 18:29:10 +0000

$\dfrac {d{(f(x) \cdot g(x))}}{dx} = \dfrac{df(x)}{dx}\cdot \dfrac{dg(x)}{dx}$ esitligini saglayan $f,g$ ikilisi var midir?

Cevaplandı: Topoloji Elde Etme Yöntemleri-I

Sat, 24 Jan 2026 07:30:59 +0000

Ben de bu teoremi bilgisayar yardimi ile ispatlamaya calistim. yanlis formalize etmis olabilirim bir kontrol etmekte fayda var ama sanirim basarili oldum. `dafny` adli programlama dilini kullanarak matematiksel ispatlar yapmak mumkun (ve cok eglenceli/sinir bozucu). Su linkten bu dil hakkinda daha fazla bilgiye erisebilirsiniz

Ispati gereksiz uzatmis olabilirim (eminim daha kisa bir dafny programi ile ayni seyi ispatlayabilirz)

Kodu paylasiyorum

module Topoloji {

  ghost predicate TopolojiMi<T(!new)>(X: iset<T>, tau: iset<iset<T>>)
  {
    && X in tau
    && iset{} in tau
    && (forall A, B :: A in tau && B in tau ==> A * B in tau)
    && (forall Aile :: Aile <= tau ==> Birlesim(Aile) in tau)
  }

  ghost function Birlesim<T(!new)>(Aile: iset<iset<T>>): iset<T>
  {
    iset x | BirKumedeVar(x, Aile)
  }

  ghost predicate BirKumedeVar<T(!new)>(x: T, Aile: iset<iset<T>>)
  {
    exists S :: S in Aile && x in S
  }

  ghost predicate I1<T(!new)>(i: iset<T> -> iset<T>, X: iset<T>)
  {
    i(X) == X
  }

  ghost predicate I2<T(!new)>(i: iset<T> -> iset<T>, X: iset<T>)
  {
    forall A :: A <= X ==> i(A) <= A
  }

  ghost predicate I3<T(!new)>(i: iset<T> -> iset<T>, X: iset<T>)
  {
    forall A, B :: A <= X && B <= X ==> i(A * B) == i(A) * i(B)
  }

  ghost predicate I4<T(!new)>(i: iset<T> -> iset<T>, X: iset<T>)
  {
    forall A :: A <= X ==> i(i(A)) == i(A)
  }

  ghost function SabitNoktalar<T(!new)>(i: iset<T> -> iset<T>, X: iset<T>): iset<iset<T>>
  {
    iset A | A <= X && i(A) == A
  }

  ghost function Ic<T(!new)>(tau: iset<iset<T>>, A: iset<T>): iset<T>
  {
    Birlesim(iset B | B in tau && B <= A)
  }

  lemma SoruA<T(!new)>(X: iset<T>, i: iset<T> -> iset<T>)
    requires I1(i, X)
    requires I2(i, X)
    requires I3(i, X)
    ensures TopolojiMi(X, SabitNoktalar(i, X))
  {
    var tau := SabitNoktalar(i, X);
    
    assert i(X) == X;
    assert X in tau;
    
    BosKumeKapali(X, i);
    
    forall A, B | A in tau && B in tau
      ensures A * B in tau
    {
      KesisimKapali(X, i, A, B);
    }
    
    forall Aile | Aile <= tau
      ensures Birlesim(Aile) in tau
    {
      KeyfiBirlesimKapali(X, i, Aile);
    }
  }

  lemma BosKumeKapali<T(!new)>(X: iset<T>, i: iset<T> -> iset<T>)
    requires I2(i, X)
    ensures iset{} in SabitNoktalar(i, X)
  {
    var empty := iset{};
    assert i(empty) <= empty;
    assert empty <= i(empty);
    assert i(empty) == empty;
    assert empty <= X;
    assert empty in SabitNoktalar(i, X);
  }

  lemma KesisimKapali<T(!new)>(
    X: iset<T>, 
    i: iset<T> -> iset<T>, 
    A: iset<T>, 
    B: iset<T>
  )
    requires I3(i, X)
    requires A in SabitNoktalar(i, X)
    requires B in SabitNoktalar(i, X)
    ensures A * B in SabitNoktalar(i, X)
  {
    assert i(A) == A;
    assert i(B) == B;
    assert A <= X && B <= X;
    
    calc {
      i(A * B);
      { assert I3(i, X); }
      i(A) * i(B);
      A * B;
    }
    
    assert A * B <= X;
    assert A * B in SabitNoktalar(i, X);
  }

  lemma KeyfiBirlesimKapali<T(!new)>(
    X: iset<T>, 
    i: iset<T> -> iset<T>, 
    Aile: iset<iset<T>>
  )
    requires I2(i, X)
    requires I3(i, X)
    requires Aile <= SabitNoktalar(i, X)
    ensures Birlesim(Aile) in SabitNoktalar(i, X)
  {
    var U := Birlesim(Aile);
    
    Monoton(X, i);
    
    forall x | x in U
      ensures x in i(U)
    {
      var S :| S in Aile && x in S;
      assert S in SabitNoktalar(i, X);
      assert i(S) == S;
      assert x in S;
      assert S <= U;
      assert S <= X;
      assert U <= X;
      assert i(S) <= i(U);
      assert x in i(U);
    }
    assert U <= i(U);
    
    assert U <= X;
    assert i(U) <= U;
    
    assert i(U) == U;
    assert U in SabitNoktalar(i, X);
  }

  lemma Monoton<T(!new)>(X: iset<T>, i: iset<T> -> iset<T>)
    requires I3(i, X)
    ensures forall A, B :: A <= X && B <= X && A <= B ==> i(A) <= i(B)
  {
    forall A, B | A <= X && B <= X && A <= B
      ensures i(A) <= i(B)
    {
      assert A * B == A;
      
      calc {
        i(A);
        i(A * B);
        { assert I3(i, X); }
        i(A) * i(B);
      }
      
      assert i(A) * i(B) <= i(B);
      assert i(A) <= i(B);
    }
  }

  lemma SoruB<T(!new)>(X: iset<T>, i: iset<T> -> iset<T>, A: iset<T>)
    requires I1(i, X)
    requires I2(i, X)
    requires I3(i, X)
    requires I4(i, X)
    requires A <= X
    ensures var tau := SabitNoktalar(i, X);
            && i(A) in tau
            && i(A) <= A
            && (forall B :: B in tau && B <= A ==> B <= i(A))
            && i(A) == Ic(tau, A)
  {
    var tau := SabitNoktalar(i, X);
    
    assert i(i(A)) == i(A);
    assert i(A) <= X;
    assert i(A) in tau;
    assert i(A) <= A;
    
    Monoton(X, i);
    
    forall B | B in tau && B <= A
      ensures B <= i(A)
    {
      assert i(B) == B;
      assert B <= X;
      assert i(B) <= i(A);
      assert B <= i(A);
    }
    
    IcEsitligi(X, i, A);
  }

  lemma IcEsitligi<T(!new)>(X: iset<T>, i: iset<T> -> iset<T>, A: iset<T>)
    requires I1(i, X)
    requires I2(i, X)
    requires I3(i, X)
    requires I4(i, X)
    requires A <= X
    ensures i(A) == Ic(SabitNoktalar(i, X), A)
  {
    var tau := SabitNoktalar(i, X);
    var AcikAile := iset B | B in tau && B <= A;
    var ic := Ic(tau, A);
    
    assert i(A) in tau && i(A) <= A;
    assert i(A) in AcikAile;
    
    forall x | x in i(A)
      ensures x in ic
    {
      assert x in i(A);
      assert i(A) in AcikAile;
      assert BirKumedeVar(x, AcikAile);
      assert x in ic;
    }
    assert i(A) <= ic;
    
    forall x | x in ic
      ensures x in i(A)
    {
      var B :| B in AcikAile && x in B;
      assert B in tau && B <= A;
      assert i(B) == B;
      Monoton(X, i);
      assert B <= i(A);
      assert x in i(A);
    }
    assert ic <= i(A);
    
    assert i(A) == ic;
  }
}

Satranç tahtasında at ile bir koordinattan diğerine kaç hamlede gittiğimizin sayısı bir metrik midir?

Sat, 24 Jan 2026 07:30:50 +0000

Bana metrik gibi geldi acikcasi.
acikca simetrik ve pozitif.
Biraz el sallayaraktan soyle bir kanir fikrim var,
atin hamleleri ile gidebilecegi kareleri bir cizge gibi gorursek,
bir at ile tum satranc tahtasini dolasabildigimizi hatirlarsak, bu cizgenin bagli oldugunu goruruz
bagli cizgelerde iki kose arasindaki en kisa yok uzerindeki kose sayisinin metrik oldugunu hesaba katarsak (bunun sanirim sitede kaniti var)
bir sekilde kaniti bitirebiliriz gibi hissettim.

Eger bu dogru ise bu metrigin $\mathbb{R}^2$ analogu nedir?

f : X →Y fonksiyonu, A1,A2 ⊆X ve B1,B2 ⊆Y olsun. Buna göre (a) A1 ⊆A2 ise f[A1] ⊆f[A2] olduğunu gösteriniz. (b) f−1[B1−B2] = f−1[B1]−f−1[B2] olduğunu kanıtlayınız.

Fri, 02 Jan 2026 19:55:14 +0000

f : X →Y fonksiyonu, A1,A2 &sube;X ve B1,B2 &sube;Y olsun. Buna göre
(a) A1 &sube;A2 ise f[A1] &sube;f[A2] olduğunu gösteriniz.
(b) f−1[B1−B2] = f−1[B1]−f−1[B2] olduğunu kanıtlayınız.

Cevaplandı: Topoloji Elde Etme Yöntemleri-IV

Tue, 23 Dec 2025 18:04:01 +0000

$\mathbf{a)}$ $\tau$ ailesinin topoloji olma koşullarını sağladığını gösterelim.

$\mathbf{T_1)}$ İlk olarak $\emptyset,X\in \tau$ olduğunu gösterelim.

$\left.\begin{array}{rr} Fr(X\setminus X)=Fr(\emptyset)\overset{F_1}{=}\emptyset\subseteq \emptyset=X\setminus X \\ \\ \tau=\{A\subseteq X:Fr(X\setminus A)\subseteq X\setminus A\}.\end{array}\right\}\Longrightarrow X\in\tau.$

$\left.\begin{array}{rr} Fr(X\setminus \emptyset)\overset{F_2}{=}Fr(\emptyset)\overset{F_1}{=}\emptyset\subseteq X=X\setminus \emptyset \\ \\ \tau=\{A\subseteq X:Fr(X\setminus A)\subseteq X\setminus A\}\end{array}\right\}\Longrightarrow \emptyset\in\tau.$

$\mathbf{T_2)}$ $A,B\in\tau$ olsun. Amacımız $A\cap B\in\tau$ olduğunu göstermek.

$\left.\begin{array}{rr} A\in\tau\Rightarrow Fr(X\setminus A)\subseteq X\setminus A \\ \\ B\in\tau\Rightarrow Fr(X\setminus B)\subseteq X\setminus B\end{array}\right\}\Rightarrow $

$\Rightarrow Fr(X\setminus A)\cup Fr(X\setminus B) \subseteq (X\setminus A)\cup (X\setminus B)$

$\begin{array}{rcl} \Rightarrow Fr(X\setminus (A\cap B)) & = & Fr((X\setminus A)\cup (X\setminus B)) \\ \\ & \overset{F_5}{\subseteq} & Fr(X\setminus A)\cup Fr(X\setminus B) \\ \\ & \subseteq & (X\setminus A)\cup (X\setminus B) \\ \\ & = & X\setminus (A\cap B)\end{array}$

$\Rightarrow A\cap B\in \tau.$

$\mathbf{T_3)}$ $\mathcal{A}\subseteq \tau$ olsun. Amacımız $\bigcup \mathcal{A}\in\tau$ olduğunu göstermek.

Cevaplandı: Harmonik serinin (ilki dışında) kısmi toplamlarının tamsayı olmadığını gösteriniz.

Mon, 08 Dec 2025 06:16:53 +0000

Örnek olarak $$H_5=1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15$$ incelemesi yapalım. Bu durumda ($5$'ten küçün $2$'nin kuvveti $2^2$, bu nedenle $2^{2-1}$ ile çarparsak) $$2H_5=2+1+\frac23+\frac12+\frac25$$ bize $$-\frac12=-2H_5+2+1+\frac23+\frac25$$ olduğunu verir. (Rasyonel) $H_5$ tam sayı olsa sağ tarafı paydası tek olacak şekilde yazabiliriz. Bu bir çelişki verir.

Genel olarak $1<2^{k} \le n< 2^{k+1}$ ise
$2^{k-1}H_n$ hesaplaması ve
$H_n$ tam sayıdır kabulü ile
$-1/2$ yine paydası tek olacak bir şekilde yazılabilir oluyor.

Cevaplandı: $$\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{1}{\sin^2x}-\frac{1}{x^2}\right)=?$$

Sun, 23 Nov 2025 20:12:18 +0000

$f(x)=\frac1{\sin^2x}-\frac1{x^2}$ çift fonksiyon olduğundan $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)$ (ya da ikisi de yoktur).

$\lim_{x\to+\infty}\frac1{x^2}=0$ olduğundan $\lim_{x\to+\infty}\frac1{\sin^2x}$ i bulmak (veya var olmadığını göstermek) yeterlidir.
Bu limitin var olmadığı hızlıca şöyle gösterilebilir $\left(g(x)=\frac1{\sin^2x}\right)$:
$$a_n=\left\{\begin{array}{ccc} \frac {(n-1)\pi}4 & , & n\text{ çift} \\ \frac{n\pi}2 & , & n\text{ tek}\end{array}\right.$$ olsun. $\lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty$ olduğu açıktır (veya kolayca gösterilir). $\lim_{n\to+\infty}g(a_n)$ nin var olmadığını ($\pm\infty$ de olmadığını) göstereceğiz. Bu, $\lim_{x\to+\infty}\frac1{\sin^2x}$ in var olmadığını ($\pm\infty$ de olmadığını) göstermek için yeterlidir.
$$g(a_n)=\left\{\begin{array}{ccc} 2 & , & n\text{ çift} \\ 1 & , & n\text{ tek}\end{array}\right.=\frac32+(-1)^n\frac12$$ olur.
Buradan da, $\lim_{x\to+\infty}g(a_n)$ nin var olmadığı kolayca görülür/gösterilir.

Başka bir çözüm:

$a_n=\frac{(2n+1)\pi}2$ olsun. $\lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty$ ve $g(a_n)=1\Rightarrow\lim_{n\to+\infty}g(a_n)=1$

$b_n=\frac{(2n+1)\pi}4$ olsun. $\lim_{n\to+\infty}b_n=+\infty$ ve $g(b_n)=2\Rightarrow\lim_{n\to+\infty}g(b_n)=2$

$1\neq2$ olduğundan, $\lim_{x\to+\infty}g(x)$ var olamaz ($\pm\infty$ de olamaz)

Cevaplandı: $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ kuralı ile verilen $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ fonksiyonunun Lipschitz sürekli olduğunu gösteriniz.

Wed, 29 Oct 2025 19:52:23 +0000

Doğan hocamın yanıtına benzer bir yanıt da ben ekleyeyim:

$\begin{array}{rcl}|f(x)-f(y)| & = & \left|\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+y^2}\right| \\ \\ & = & \frac{|x-y||x+y|}{(1+x^2)(1+y^2)} \\ \\ & \leq & |x-y| \left(\frac{|x|}{(1+x^2)(1+y^2)}+\frac{|y|}{(1+x^2)(1+y^2)}\right) \\ \\ &\leq & |x-y| \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right) \\ \\ &=& |x-y| \end{array}$

olduğundan $K\geq 1$ seçilirse her $x,y\in\mathbb{R}$ için
$$|f(x)-f(y)|\leq |x-y|\leq K|x-y|$$ koşulu sağlanır. Yani $$(\exists K>0)(\forall x\in\mathbb{R})(\forall y\in\mathbb{R})(|f(x)-f(y)|\leq K|x-y|)$$ önermesi doğru olur. Dolayısıyla $f$ fonksiyonu $(\mathbb{R}$'de$)$ Lipschitz süreklidir.

$d(x,y)= \left|\frac1x - \frac1y\right|$ kuralı ile verilen $d: \mathbb N^2 \to \mathbb R$ metrik fonksiyon için $B\left(n, \frac1{n (n+1)}\right)=\{n\}$ olduğunu gösteriniz.

Tue, 30 Sep 2025 06:10:13 +0000

$d(x,y)= \left|\frac1x - \frac1y\right|$ kuralı ile verilen $d: \mathbb N^2 \to \mathbb R$ metrik fonksiyon için $B\left(n, \frac1{n (n+1)}\right)=\{n\}$ olduğunu gösteriniz.
_________________________________________

B(n,1/n.(n+1)) = { k eleman N : d(n,k)< 1/n.(n+1)}

İki durum çıkar

1) k=n

2) k>n k<n

Durumları incelicez

Denklik Bağıntısı

Mon, 29 Sep 2025 16:35:43 +0000

(G,•) bir grup olsun. Her a,b elemanı G için; a~b ancak ve ancak En az x elemanı G öyleki x*a*x üzeri -1 biçiminde tanımlanan ~ bir denklik bağıntı mıdır? e nin denklik kümesi nedir?

(Düşündüm fakat herhangi bir şey bulamadım hocamızda bunun gibi herhangi bir soru çözmedi. Denklik bağıntısı olması için yansıma simetri ve geçişme özelliği olması gerektiğini biliyorum ama nasıl çözücem bulamadım.)

Cevaplandı: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n! e^n}{n^n}$ serisi yakınsak mıdır? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Thu, 25 Sep 2025 13:58:48 +0000

$n>>1$ icin $n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{ n}{e}\right)^n$, Stirling yaklasimi kullanilirsa.

$\lim_{ n\to\infty} \dfrac{n!e^n}{n^n}=\lim_{ n\to\infty} \dfrac{\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{ n}{e}\right)^ne^n}{n^n}=\lim_{ n\to\infty} \sqrt{2\pi n}\neq0$ oldugundan, verilen seri iraksaktir.

Oran testinin islevsiz oldugu gorulebilir.

$\lim_{ n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n }=\lim_{ n\to\infty}\dfrac{(n+1)!e^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}\dfrac{n^n}{n!e^n}=\lim_{ n\to\infty}\dfrac{e}{(n+1)^n}\dfrac{n^n}{1}=\lim_{ n\to\infty}e\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n$

$\lim_{ n\to\infty}e\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^n=e\dfrac1e=1$ oldugundan, Oran testi ise yaramaz..

Cevaplandı: $$\int_ 0 ^1\frac{dx}{\sin^6 x + \cos^6 x} = ?$$

Mon, 25 Aug 2025 06:43:35 +0000

Her şeyden önce aşağıdaki iki eşitliği hatırlayarak başlamak muktezâyı tahlîle mutâbık olacaktır.
$$1+\tan^2 x =\sec^2 x$$
$$[\tan x]' =1+\tan^2 x =\sec^2 x$$

Şimdi, bizden cevabı istenen integralin pay ve paydasını $\cos^6 x$ ile bölelim. O halde,
$$\int \frac{\sec^6 x}{1+\tan^6 x} dx$$
integralini elde ederiz. Bu noktada, $\tan x =u$ değişken değiştirmesini yapalım. $\sec^2 x dx = du$ elde edilmiş olur. Ayrıca, $\tan x =u$ ise $\tan^2 x =u^2$ aynı zamanda $1+\tan^2 x =u^2 +1$ elde edilir. Diğer bir ifadeyle $\sec^2 x =u^2+1$ olarak yazılabilir. Yukarıdaki integrali $u$ değişkeninde aşağıdaki şekilde düzenleyebiliriz,
$$\int \frac{(\sec^2 x)^2 \sec^2 x}{1+(\tan x)^6}dx=\int \frac{(1+u^2)^2}{1+u^6}du$$
Bu aşamada pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım.
$$\int \frac{(1+u^2)^2}{(u^2)^3 +(1^2)^3}du = \int \frac{(1+u^2)(1+u^2)}{(1+u^2)(u^4-u^2+1)}du= \int \frac{1+u^2}{u^4-u^2+1}du$$
elde ederiz. Bir sonraki adım olarak hem payı hem de paydayı $u^2$ parantezine alalım.
$$\int \frac{u^2(1+\frac{1}{u^2})}{u^2(u^2-1+\frac{1}{u^2})}du=\int \frac{1+\frac{1}{u^2}}{u^2-1+\frac{1}{u^2}}du=\int \frac{1 + \frac{1}{u^2}}{(u-\frac{1}{u})^2+2-1}du$$
Paydadaki $u-\frac{1}{u}$ ifadesini $v$ değişkeni olacak şekilde integrali tekrar düzenleyelim. Bu durumda,
$$u-\frac{1}{u}=v \quad \Rightarrow \quad (1+\frac{1}{u^2})du=dv$$ elde ederiz.
O halde,
$$\int \frac{1}{v^2+1}dv=\tan^{-1} v + c, \quad c \in \mathbb{R}$$ olur.

Tüm değişkenleri sırasıyla yerine koyarsak, $(v=u-\frac{1}{u})$ ve $(u=\tan x)$
$$\int \frac{1}{\sin^6 x + \cos^6 x}dx =\tan^{-1} \left(\tan x - \frac{1}{\tan x} \right)+c, \quad c \in \mathbb{R}$$
Son olarak, 0'dan 1'e belirli integralini hesaplayacağız. Lakin burada 0 noktasında bir belirsizlik söz konusudur. Bu sebepten dolayı 0'a sağdan limitin olup olmadığı bizim için önemli olacaktır. İntegralin değeri,
$$\tan^{-1} \left( \tan 1 - \cot 1 \right)- \lim_{s \to 0^{+}} \tan^{-1} \left(\frac{\tan^{2} s -1}{\tan s} \right)$$
$$\tan^{-1} \left( \tan 1 - \cot 1 \right)- \tan^{-1} \left[ \lim_{s \to 0^{+}} \left(\frac{\tan^{2} s -1}{\tan s} \right) \right]$$
$$\lim_{s \to 0^{+}} \left(\frac{\tan^{2} s -1}{\tan s} \right) \quad \Rightarrow \quad -\frac{1}{0^{+}} =-\infty$$

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sin^6 x + \cos^6 x}dx = \tan^{-1} \left( \tan 1 - \cot 1 \right)- \lim_{w \to -\infty} \tan^{-1} w$$

Sonuç olarak,

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sin^6 x + \cos^6 x}dx = \boxed{\tan^{-1} \left( \tan 1 - \cot 1 \right)+\frac{\pi}{2} \approx \textbf{2.312}}$$

değeri bulunmuş olur.

Her pozitif $x$ gerçel ve her $n$ tamsayısı için $$e^x\ge \dfrac{x^n}{n!}$$ olduğunu gösteriniz.

Thu, 24 Jul 2025 19:03:47 +0000

Her pozitif $x$ gerçel ve her $n$ tamsayısı için $$e^x\ge \dfrac{x^n}{n!}$$ olduğunu gösteriniz.

$\alpha,\beta,\gamma, a,b,c\in\mathbb{R},$ $r>0$ ve $(\alpha-a)^2+(\beta-b)^2+(\gamma-c)^2=r^2$ olmak üzere $X=\{(x,y,z)~|~(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\}\setminus\{(\alpha,\beta,\gamma)\}$ kümesinden $\mathbb{R}^2$ kümesine birebir örten bir fonksiyon bulunuz.

Thu, 12 Jun 2025 11:07:30 +0000

$\alpha,\beta,\gamma, a,b,c\in\mathbb{R},$ $r>0$ ve $(\alpha-a)^2+(\beta-b)^2+(\gamma-c)^2=r^2$ olmak üzere $X=\{(x,y,z)~|~(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\}\setminus\{(\alpha,\beta,\gamma)\}$ kümesinden $\mathbb{R}^2$ kümesine birebir örten bir fonksiyon bulunuz.

Cevaplandı: $\alpha,\beta,a,b\in\mathbb{R},$ $r>0$ ve $(\alpha-a)^2+(\beta-b)^2=r^2$ olmak üzere $X=\{(x,y)|(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\}\setminus\{(\alpha,\beta)\}$ kümesinden $\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesine birebir örten bir fonksiyon bulunuz.

Wed, 11 Jun 2025 10:41:53 +0000

Çözüm stratejimiz şöyle olacak:

Merkezi $(0,r)$ ve yarıçapı $r$ olan bir çemberden $\mathbb{R}$ kümesine birebir örten bir fonksiyon yazmak zor değil. Bu yüzden verilen (bir noktası çıkarılmış) çemberi yani $$X=\{(x,y)~|~ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2\}\setminus\{(\alpha,\beta)\}$$ kümesini öncelikle merkezi orijin olacak şekilde öteleyerek $$X'=\{(x',y')~|~x'^2+y'^2=r^2\}\setminus \{(\alpha',\beta')\}$$ kümesine dönüştüreceğiz. Ardından $(\alpha',\beta')$ noktası, çemberin kuzey kutup noktası olacak şekilde orijin etrafında pozitif yönde döndürerek $$X''=\{(x'',y'') ~|~ x''^2+y''^2=r^2\}\setminus \{(\alpha'',\beta'')\}$$ kümesini elde edeceğiz. Bu adımdan sonra da yeni elde ettiğimiz çemberi $r$ birim kadar $y$ ekseni üzerinde pozitif yönde öteleyip $$X'''=\{(x''',y''') ~|~ x'''^2+(y'''-r)^2=r^2\}\setminus \{(\alpha''',\beta''')\}$$ kümesini elde edeceğiz. Bu durumda artık merkezi $(0,r)$ ve yarıçapı $r$ olan bir çember elde etmiş olacağız. Bu çemberden $\mathbb{R}$ kümesine birebir örten bir fonksiyon yazıp gerekli düzenlemeleri yaparak nihai fonksiyonu bulacağız.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
% Koordinat eksenleri
\draw[->, thick] (-1,0) -- (8,0) node[right] {$x$};
\draw[->, thick] (0,-1) -- (0,6) node[above] {$y$};
% Grid çizimi (isteğe bağlı)
%\draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);
% Merkez ve çember üzerindeki nokta
\coordinate (M) at (4,3);   % M(a,b)
\coordinate (P) at (5.6,4);   % (c,d)
\def\r{sqrt((4-2)^2 + (4-2)^2)} % r = sqrt(8)
\draw[dashed,blue] (M) -- (4,0);
\draw[dashed,blue] (M) -- (0,3);
\node[below] at (4,0) {$a$};
\node[left] at (0,3) {$b$};
\node[below left] at (0,0) {$0$};
% Çember
\draw[blue, thick] (M) circle[radius={1.900}];
% Yarıçap oku
%\draw[red, thick, line, -] (M) -- (P) node[midway, above right] {$r$};
\draw[blue, thick] (M) -- (P) node[midway, above left] {$r$};
% Nokta M ve etiketi
\fill (M) circle (2pt) node[below left] {$(a,b)$};
\fill[white, draw=black] (P) circle (3pt);
% Nokta (c,d) ve etiketi
\draw (P) circle (3pt) node[above right] {$(\alpha, \beta)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

1. Adım: Öncelikle çemberin merkezini orijine öteleyelim. Bu işlemi yaptığımızda aşağıdaki ilişkileri elde ederiz.

$$X'=\{(x',y')~|~ x'^2+y'^2=r^2\}\setminus \{(\alpha',\beta')\}$$
$$x'=x-a \quad \quad \alpha'= \alpha-a$$
$$y'=y-b \quad \quad \beta' =\beta-b$$

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
% Koordinat eksenleri
\draw[->, thick] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x'$};
\draw[->, thick] (0,-3) -- (0,3) node[right] {$y'$};
% Grid çizimi (isteğe bağlı)
%\draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);
% Merkez ve çember üzerindeki nokta
\coordinate (M) at (0,0);   % M(a,b)
\coordinate (P) at (1.680,0.900);   % (c,d)
\def\r{sqrt((4-2)^2 + (4-2)^2)} % r = sqrt(8)
% Çember
\draw[blue, thick] (M) circle[radius={1.900}];
% Yarıçap oku
\draw[blue, thick] (M) -- (P) node[midway, above left] {$r$};
% Nokta M ve etiketi
\fill (M) circle (2pt) node[below left] {$(0,0)$};
\fill[white, draw=black] (P) circle (3pt);
% Nokta (c,d) ve etiketi
\draw (P) circle (3pt) node[above right] {$(\alpha', \beta')=(\alpha-a,\beta-b)$};
% Merkezden sağ üst çeyreğe çizilen yarıçap ve açı
%\draw[thick] (0,0) -- (1.2,1);
\draw (0.25,0.15) arc[start angle=30, end angle=90, radius=0.3cm];
\node at (0.20,0.45) {$\theta$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

2. Adım: Ötelediğimiz çemberin $(\alpha',\beta')$ noktasını $y'$ eksenine gelecek şekilde döndürelim.

$$X''=\{(x'',y'')~|~ x''^2 + y''^2=r^2\} \setminus \{(\alpha'',\beta'')\}$$
$$x''=x' \cos\theta-y' \sin\theta\quad \quad\alpha''=\alpha'-a $$
$$y''=x' \sin\theta+y'\cos\theta\quad \quad \beta''=\beta'-b+r $$

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
% Koordinat eksenleri
\draw[->, thick] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x''$};
\draw[->, thick] (0,-3) -- (0,3) node[above] {$y''$};
% Grid çizimi (isteğe bağlı)
%\draw[step=1cm,grey,very thin] (-5,-5) grid (5,5);
% Merkez ve çember üzerindeki nokta
\coordinate (M) at (0,0);   % M(a,b)
\coordinate (P) at (0,1.900);   % (c,d)
\def\r{sqrt((4-2)^2 + (4-2)^2)} % r = sqrt(8)
% Yarıçap oku
\draw[blue, thick] (M) -- (P) node[midway, right] {$r$};
% Çember
\draw[blue, thick] (M) circle[radius={1.900}];
% Nokta M ve etiketi
\fill (M) circle (2pt) node[below left] {$(0,0)$};
\fill[white, draw=black] (P) circle (3pt);
% Nokta (c,d) ve etiketi
\draw (P) circle (3pt) node[above right] {$(\alpha'', \beta'')=(0,r)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

3. Adım: Döndürdüğümüz çemberi $y''$ ekseninde $r$ kadar öteleyelim.

$$X'''=\{(x''',y''')~|~ x'''^2+(y'''-r)^2=r^2\} \setminus \{(\alpha''',\beta''')\}$$
$$x'''=x''\quad \quad \alpha'''=\alpha''$$
$$y'''=y''+r \quad\quad \beta'''=\beta''+r$$

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
% Koordinat eksenleri
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x'''$};
\draw[->] (0,-1) -- (0,5) node[above] {$y'''$};
% Grid çizimi (isteğe bağlı)
%\draw[step=1cm, gray, very thin] (-5,-5) grid (5,5);
% Yeni merkez ve çember üzerindeki nokta
\coordinate (M) at (0,2);              % Yeni merkez: M(0,2)
\coordinate (P) at (0,4);            % Aynı yarıçapla yukarı taşındı (r=1.9)
\def\r{2}                            % r elle verilmiş
\node[below left] at (0,0) {$0$};
% Yarıçap oku
\draw[blue, thick] (M) -- (P) node[midway, right] {$r$};
% Çember
\draw[blue, thick] (M) circle[radius={\r}];
% Nokta M ve etiketi
\fill (M) circle (2pt) node[right] {$(0,r)$};
% Nokta (c,d) ve etiketi (içi boş noktaya dönüştürmek istersen \draw (P) circle (2pt); yaz)
\draw (P) circle (3pt) node[above right] {$(\alpha''', \beta''')=(0,2r)$};
\fill[white, draw=black] (P) circle (3pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

$$f''':X'''\to \mathbb{R}, \ \ f'''(x''',y''')=\dfrac{2rx'''}{2r-y'''}$$

$$f'':X''\to \mathbb{R}, \ \ f''(x'',y'')=\dfrac{2rx''}{2r-(y''+r)}=\dfrac{2rx''}{r-y''}$$

$$f':X'\to \mathbb{R}, \ \ f'(x',y')=\dfrac{2r(x' \cos\theta -y' \sin\theta)}{r-x' \sin\theta-y'\cos \theta}$$

$$f:X\to \mathbb{R}, \ \ f(x,y)=\dfrac{2r[(x-a)(\beta-b)-(y-b)(\alpha-a)]}{r^2-(x-a)(\alpha-a)-(y-b)(\beta-b)}$$

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
% Koordinat eksenleri
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x'''$};
\draw[->] (0,-1) -- (0,5) node[above] {$y'''$};
% Grid çizimi (isteğe bağlı)
%\draw[step=1cm, gray, very thin] (-5,-5) grid (5,5);
% Yeni merkez ve çember üzerindeki nokta
\coordinate (M) at (0,2);              % Yeni merkez: M(0,2)
\coordinate (P) at (0,4);            % Aynı yarıçapla yukarı taşındı (r=1.9)
\def\r{2}                            % r elle verilmiş
\node[below left] at (0,0) {$0$};
% Yarıçap oku
\draw[blue, thick] (M) -- (P) node[midway, right] {$r$};
% Çember
\draw[black, thick] (M) circle[radius={\r}];
%(0, 4) noktasından başlayıp negatif x eksenini kesen çizgi
\draw[thick, red, -] (0,4) -- (-3,-1);
% Nokta M ve etiketi
\fill (M) circle (2pt) node[right] {$(0,r)$};
% Nokta (c,d) ve etiketi (içi boş noktaya dönüştürmek istersen \draw (P) circle (2pt); yaz)
\draw (P) circle (3pt) node[above right] {$(0,2r)$};
\fill[white, draw=black] (P) circle (3pt);
% Koordinat eksenleri
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x'''$};
\draw[->] (0,-1) -- (0,5) node[above] {$y'''$};
% Koordinat eksenleri
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x'''$};
\draw[->] (0,-1) -- (0,5) node[above] {$y'''$};
% Yeni merkez ve çember üzerindeki nokta
\coordinate (M) at (0,2);              % Yeni merkez: M(0,2)
\coordinate (P) at (0,4);              % Çember üzerindeki nokta: (0,2r)
\def\r{2}                              % r elle verildi
\node[below left] at (0,0) {$0$};
% Yarıçap oku
\draw[blue, thick] (M) -- (P) node[midway, right] {$r$};
% Çember
\draw[black, thick] (M) circle[radius={\r}];
% Kırmızı çizgi: (0,4) noktasından başlayıp (-3,-1)'e giden
\draw[thick, red] (0,4) -- (-3,-1);
% Nokta M ve etiketi
\fill (M) circle (2pt) node[right] {$(0,r)$};
% Nokta (0,4) = (0,2r) ve etiketi
\draw (P) circle (3pt) node[above right] {$(0,2r)$};
\fill[white, draw=black] (P) circle (3pt);
% X eksenini kestiği nokta: yaklaşık (-1.2, 0)
\coordinate (A) at (-2.4, 0);
\fill (A) circle (2pt) node[below right] {$f(a,b)$};
% X eksenini kestiği nokta: yaklaşık (-1.2, 0)
\coordinate (A) at (-1.77, 1.05);
\fill (A) circle (2pt) node[right] {$(a,b)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Cevaplandı: $r$ pozitif bir irrasyonel sayı ve $0
Tue, 10 Jun 2025 20:16:22 +0000

$r>0$ irrasyonel, $0<a<b$ olsun. $m\in\mathbb{N}^+,\ \frac1m<\min\{a,b-a\}$ olacak şekilde seçelim.
    Çekmece-çorap (Güvercin yuvası) ilkesinden, ($\{z\}=z-\lfloor z\rfloor $ olmak üzere) $\{xr\},\{yr\}\in\left[\frac {i-1}m,\frac im\right]$ olacak şekilde bir $i\in\{1,2,\ldots,m\}$ ve farklı $x,y\in\mathbb{N}^+$ vardır. $x>y$ varsayabiliriz.

(Burada biraz Ekleme ve Düzeltme yaptım)

$\{xr\}>\{yr\}$ ise
    $r\notin\mathbb{Q}$ olduğundan $0<(x-y)r-s=ur-v<\frac1m\quad (s=\lfloor xr\rfloor-\lfloor yr\rfloor\geq0)$ olur.

$\{xr\}<\{yr\}$ ise
       $r\notin\mathbb{Q}$ olduğundan $-\frac1m<(x-y)r-s<0\ (s=\lfloor xr\rfloor-\lfloor yr\rfloor>0)$ olur.
   (Arşimet özelliğinden) bir $t\in\mathbb{N}^+$ için $-1<t((x-y)r-s)<-1+\frac1m $ olur. Bu durumda da
   $0<ts(x-y)r-(ts-1)=ur-v<\frac1m$ olur.

    $0<ur-v<a $ ve $0<ur-v<b-a $ olduğundan, (Arşimet özelliğinden)

bir $w\in\mathbb{N},\ (w\geq2)$ için $a<w(ur-v)=nr-k<b$ olur.

Cevaplandı: $2^n$, verilen herhangi bir ($0$ ile başlamayan) rakam dizisi ile başlayacak şekilde, bir $n$ doğal sayısının varlığını gösteriniz.

Sat, 07 Jun 2025 07:51:19 +0000

   Verilen sayıya $m\in\mathbb{N}^+$ diyelim.
   $2^n$ nin $m$ ile başlaması, bir $k\in\mathbb{N}$ için, $ m\,10^k\leq2^n<(m+1)10^{k}$ olması demektir.
   $10$ tabanında logaritma kullanırsak, bu eşitsizlik,
   $\log m\leq n\log2-k<\log(m+1)$ olması demektir.
   Burada, ($\log2>0$ ve irrasyonel olduğu için) $n\log2-k\in (\log m,\log(m+1))$ olacak şeklide en az bir çift $n,k\in\mathbb{N}$ vardır.

(Bu önermenin doğruluğununu, şu soruda göstereceğiz.). Bu $n$ için, $2^n,\ m$ ile başlar.

a,b,c elemanıdır Z,c<0 olsun. a
Sun, 25 May 2025 07:47:28 +0000
a,b,c elemanıdır Z,c<0 olsun. a<b ise bc<ac olduğunu gösteriniz

Cevaplandı: Polinomun Terim Sayısı Kavramı Üzerine

Tue, 20 May 2025 11:36:50 +0000
Lokman hocam şöyle diyebiliriz:

Monomial tanımını verip her polinom monomiallerin sonlu toplamı şeklinde ifade edilir deyip polinomda kaç tane monomial varsa polinomun terim sayısı da odur diyebiliriz.

Buna polinom kavramı, monomial kavramından önce veriliyor/tanımlanıyor gerekçesiyle veya başka bir gerekçeyle cebirci bir arkadaş itiraz edebilir. Bu kavramların hangisinin önce verildiğini/tanımlandığını ben de bilmiyorum. Ama muhtemelen monomial kavramı polinom kavramından önce geliyordur. En sağlıklı bilgiyi cebir alanında uzmanlaşmış bir hocamızdan alabiliriz diye düşünüyorum.

Buna göre de sıfır polinomunun terim sayısı sıfır olacaktır.

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\arctan\left(\frac{1}{n^2+3n+3}\right)}{\arctan\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)}=1$ olduğunu gösteriniz.

Thu, 08 May 2025 15:15:08 +0000
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\arctan\left(\frac{1}{n^2+3n+3}\right)}{\arctan\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)}=1$ olduğunu gösteriniz.

Stolz-Cesaro teoremini nedir? Bize ne söyler?

Thu, 08 May 2025 08:58:38 +0000
Stolz-Cesaro teoremini nedir? Bize ne söyler?

Cevaplandı: $(\arctan n)_n$ dizisi bir büzen dizi midir?

Thu, 08 May 2025 08:54:34 +0000
$(\arctan n)_n$ dizisinin bir büzen dizi olduğunu varsayalım. Bu durumda $$(\exists c\in (0,1))(\forall n\in\mathbb{N})(|x_{n+2}-x_{n+1}|\leq c\cdot |x_{n+1}-x_n|)$$ önermesi doğrudur yani öyle bir $c\in (0,1)$ vardır ki her $n\in\mathbb{N}$ için $$\left|\arctan(n+2)-\arctan(n+1)\right|\leq c\cdot |\arctan(n+1)-\arctan n|$$ yani $$\left|\arctan\left(\frac{1}{1+(n+1)(n+2)}\right)\right|\leq c\cdot \left|\arctan\left(\frac{1}{1+n(n+1)}\right)\right|$$ yani $$\frac{\arctan\left(\frac{1}{n^2+3n+3}\right)}{\arctan\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)}\leq c$$ koşulu sağlanır. Bu koşul her $n\in\mathbb{N}$ için sağlandığından $$1=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\arctan\left(\frac{1}{n^2+3n+3}\right)}{\arctan\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)}\leq \lim\limits_{n\to \infty}c=c$$ olmalıdır. Bu ise $c\in (0,1)$ ile çelişir. Demek   ki $(\arctan n)_n$ dizisi bir büzen dizi değilmiş.

Cevaplandı: $$\int\frac{x^2+x}{(e^x+x+1)^2}dx=?$$

Thu, 08 May 2025 07:40:25 +0000
$$\begin{array}{rcl} I & = & \int\frac{x^2+x}{(e^x+x+1)^2}dx \\ \\ & = & \int\frac{(e^x+x+1)x-xe^x}{(e^x+x+1)^2}dx \\ \\ & = & \int(\frac{(e^x+x+1)x}{(e^x+x+1)^2} - \frac{xe^x}{(e^x+x+1)^2})dx \\ \\ & = & \int(\frac{x}{(e^x+x+1)} - \frac{xe^x}{(e^x+x+1)^2})dx\end{array}$$ Bu satırdan sonra integralin içindeki bu iki terimin paydalarını $e^x$ parantezine alıp düzenleyelim.
$$\begin{array}{rcl} I & = & \int\frac{xe^{-x}}{(1+xe^{-x}+e^{-x})} - \frac{xe^{x}e^{-2x}}{(1+xe^{-x}+e^{-x})^2}dx \\ \\ & = & \int\frac{xe^{-x}}{(1+xe^{-x}+e^{-x})} - \frac{xe^{-x}}{(1+xe^{-x}+e^{-x})^2}dx \\ \\ & = & \int xe^x(\frac{1}{(1+xe^{-x}+e^{-x})} - \frac{1}{(1+xe^{-x}+e^{-x})^2})dx\end{array}$$ Şimdi değişken değiştirme metodunu kullanarak $$u=1+xe^{-x}+e^{-x}$$ dersek $$du=(e^{-x}-xe^{-x}-e^{-x})dx$$ yani $$-du=xe^{-x}dx$$ olacaktır. Buradan da
$$\begin{array}{rcl} I & = & \int-(\frac{1}{u}-\frac{1}{u^2})du \\ \\ & = & -\int(\frac{1}{u}-\frac{1}{u^2})du \\ \\ & = & -(\ln{|u|}-(\frac{-1}{u}))+C \\ \\ & = & -\ln{|u|}-\frac{1}{u}+C\end{array}$$ elde edilir.
$$u=1+xe^{-x}+e^{-x}$$ yazarsak
$$I=-\ln{|1+xe^{-x}+e^{-x}|}-\frac{1}{1+xe^{-x}+e^{-x}}+C$$ aradığımız integrali bulmuş oluruz.

$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{n! e^n}{n^n}$ serisi yakınsak mıdır? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Wed, 07 May 2025 12:20:17 +0000
$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{n! e^n}{n^n}$ serisi yakınsak mıdır? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Cevaplandı: $A\subseteq \mathbb{R},$ $f:A\to \mathbb{R}$ fonksiyon ve $c\in A\cap D(A)$ olsun. $$\max_{x\in A} f(x)=f(c)\Rightarrow f'(c)=0$$ olduğunu gösteriniz.

Tue, 06 May 2025 04:29:48 +0000

$f'(c)\neq 0$ olduğunu varsayalım. Bu durumda ya $f'(c)>0$ ya da $f'(c)<0$'dır.

I. Durum: $f'(c)>0$ olsun.

$f'(c)>0\Rightarrow \lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}>0$

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (\exists \delta >0)(\forall x\in B^*(c,\delta))\left(\frac{f(x)-f(c)}{x-c}>0\right) \\ \\ x\in (c,c+\delta)\cap A\Rightarrow x-c>0\end{array}\right\}\Rightarrow $

$\Rightarrow (\forall x\in (c,c+\delta)\cap A)(f(x)-f(c)>0)$

$\Rightarrow (\forall x\in (c,c+\delta)\cap A)(f(x)>f(c))$

elde edilir. Bu ise $$\max_{x\in A}f(x)=f(c)$$ olması ile çelişir.

II. Durum da, I. Duruma benzer şekilde yapılır.

Cevaplandı: Her yakınsak dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.

Mon, 05 May 2025 04:57:24 +0000
$(x_n)_n$ dizisi yakınsak bir dizi olsun. Amacımız $$(\forall \epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(m,n \geq K \implies |x_n - x_m|<\epsilon)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermek.

$\epsilon > 0$ verilmiş olsun. $(x_n)_n$ dizisi yakınsak olduğundan öyle $x \in \mathbb{R}$ sayısı vardır ki $x_n \to x$ olur. $x_n \to x$ ise $$n\geq K \implies |x_n - x | < \frac{\epsilon}{2} $$ koşulu sağlanacak şekilde en az bir $K\in\mathbb{N}$ vardır.

Buradan da $$m,n \geq K \implies |x_n - x_m|\leq | x_n - x| + |x - x_m |< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$ elde edilir. Verilmiş bir $\epsilon>0$ için $$m,n \geq K \implies |x_n - x_m|<\epsilon$$ koşulu sağlanacak şekilde en az bir $K\in\mathbb{N}$ sayısının var olduğunu yani $$(\forall \epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(m,n \geq K \implies |x_n - x_m|<\epsilon)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermiş olduk. Bu ise $(x_n)_n$ dizisinin bir Cauchy dizisi olduğu anlamına gelir.

Cevaplandı: Yakınsak dizilerin sınırlı olduğunu gösteriniz.

Sat, 26 Apr 2025 08:00:59 +0000
$(x_n)_n$ dizisi yakınsak olsun. $(x_n)_n$ dizisi yakınsak ise $x_n\to x$ olacak şekilde en az bir $x\in\mathbb{R}$ sayısı vardır.
$$x_n\to x$$ olduğuna göre $$(\forall \epsilon > 0)(\exists K \in \mathbb{N})(n\geq K \implies |x_n - x| < \epsilon)$$ önermesi doğrudur. Öte yandan
$$| x_n |=|x_n -x +x |\leq |x_n -x |+|x |$$ olduğundan verilmiş bir $\epsilon >0$ için $$n\geq K\implies | x_n |=|x_n -x +x |\leq |x_n -x |+|x |<\epsilon+|x|$$ olur. Bu ise $\epsilon +|x|$ sayısının $$\{x_K, x_{K+1},x_{K+2},\ldots \}$$ kümesi için hem bir alt sınır hem de bir üst sınır olduğu anlamına gelir. Yani söz konusu küme hem alttan hem de üstten sınırlı yani kısaca sınırlıdır. Şimdi $M$ gerçel sayısı
$$M:=\max \{| x_1 | ,| x_2 |,|x_3|, \ldots, |x_{K-1}|,\epsilon+|x|\}$$ olarak seçilirse her $n\in \mathbb{N}$ için $|x_n|\leq M$ koşulu sağlanır yani $$(\exists M>0)(\forall n\in\mathbb{N})(|x_n|\leq M)$$ önermesi doğru olur. Bu ise $(x_n)_n$ dizisinin sınırlı olduğu anlamına gelir.

Cevaplandı: Altın oran ve pi sayısı

Fri, 25 Apr 2025 11:18:43 +0000

$\pi<x<2\phi$ şartını sağlayan bir $x$ sayısı bulmaya çalışalım.

$2\phi=1+\sqrt 5\sim 3,23$ olduğu direkt hesapla görülebilir.

Lemma: Birim çembere teğet olan düzgün bir çokgenin alanı $$S_n=n\cdot tan(\dfrac {\pi}{n})$$ ile verilir.

Çemberin alanı onu çevreleyen çokgenin alanından açıkça küçük olacağından $\pi<S_n$ eşitsizliği barizdir. Ayrıca $n\to\infty$ iken $S_n\to\pi$ olur.

$n=6$ için denersek $x=S_6=2\sqrt 3>1+\sqrt 5$ olacağından istediğimiz eşitsizlik sağlanmaz.

$n=12$ için $x=S_{12}=12\tan 15=12(2-\sqrt 3)\sim3,215$ olup $\pi<x<2\phi$ eşitsizliği sağlanır. Dolayısıyla  $\pi<2\phi$ olmalıdır.

Cevaplandı: Fonksiyon ve Sıralama Bağıntısı İlişkisi

Fri, 25 Apr 2025 06:39:34 +0000
Tanım ve değer kümeleri bir sıralamaya izin veriyorsa, sıralamayı koruyan fonksiyonlarımız ve sıralamayı tersine çeviren fonksiyonlarımız vardır. Şu şekilde daha net ifade edebiliriz:

$(S,\preceq)$ sıralı bir küme olsun. Verilen bir $X$ kümesi ve $f:X\to S$ fonksiyonu için $X$ üzerinde bir sıralama $x_1\preceq x_2$ $\iff$ $f(x_1)\preceq f (x_2)$ şeklinde tanımlanabilir.

$(\mathbb{R},\tau)$ topolojik uzayında aşağıdaki dizilerin yakınsadığı noktaların oluşturduğu kümeyi bulunuz.

Sat, 05 Apr 2025 06:31:20 +0000
$\mathbb{R}$ üzerinde $\tau=\{A\mid A\subseteq (0,1)\}\cup\{\mathbb{R}\}$ topolojisi verilsin. Buna göre,
\[
\left\langle \frac{1}{n} \right\rangle \quad \text{ve} \quad \left\langle \frac{n^2}{2n^2+3} \right\rangle
\]
dizilerinin $(\mathbb{R}, \tau)$ uzayında yakınsadığı noktalar kümelerini bulunuz.

Cevaplandı: $x^5+y^5=3x^2y^2$ eğrisinin ilmeğinin alanını bulunuz.

Tue, 01 Apr 2025 17:26:38 +0000
$f(x, y) =x^5+y^5-3x^2y^2=f(y,x)=0$ olduğundan eğri $y=x$ doğrusuna göre simetriktir.

$x=r\cos\theta $ ve $y=r\sin\theta $ kutupsal dönüşümleri ile $$r=\dfrac {3\cos^2\theta\cdot \sin^2\theta } {\cos^5\theta +\sin^5\theta } $$ olur.

$E^*=\{(r, \theta) : 0\le r\le \dfrac {3\cos^2\theta \cdot \sin^2\theta }{\cos^5\theta + \sin^5\theta }, \ \ 0\le\theta \le\pi/4\} $

$S(E) =2\iint\limits_{E^*} rdrd\theta=\int_0^{\pi/4}\left(\dfrac{3\cos^2\theta\cdot \sin^2\theta }{\cos^5\theta +\sin^5\theta }\right) ^2d\theta =\int_0^{\pi/4}\dfrac{9\cos^4\theta\cdot \sin^4\theta}{(\cos^5\theta +\sin^5\theta) ^2}d\theta $

Pay ve payda $\cos^{10}\theta $ ile bölünürse

$S(E)=9\cdot \int_0^{\pi/4}\dfrac{\tan^4\theta\cdot \sec^2\theta }{(1+\tan^5\theta) ^2}d\theta $

$u=1+\tan^5\theta$ dönüşümü yapılırsa

$S(E)=\dfrac 95\int_1^2 \dfrac{du} {u^2}=0,9$ birim kare bulunur.

Cevaplandı: $(X,\preceq)$ poset ve $A\subseteq X$ olmak üzere $A$ kümesinin minimumu varsa $\inf A=\min A$ olduğunu gösteriniz.

Thu, 20 Mar 2025 06:42:40 +0000
$A$ kümesinin minimumu $m\in A$ olsun. Tanım gereği $\forall x\in A$ için $m⪯x$ dir. Yani $m$ sayısı $A$ nın tüm alt sınırlarından daha büyük veya onlara eşittir. Şimdi $b\in A$ sayısı $A$ nın bir alt sınırı olsun.; yani $\forall x\in A$ için $b⪯x$ olsun. Fakat $m\in A$'nın minimum olduğundan $b⪯m$ olmalıdır. Buna göre $m$ sayısı $A$ nın diğer tüm alt sınırlarından büyüktür. O zaman infimum tanımından $m=\inf A$ olmalıdır. Benzer olarak $\sup A=\max A$ olduğu da kanıtlanabilir.

Cevaplandı: $S=0,[2k][3k][5k][7k]...$ sayısı rasyonel midir?

Thu, 20 Mar 2025 06:00:46 +0000
Ardışık asal sayıların verilen pozitif $k$ tam sayısı ile çarpılmasıyla oluşturulan $S$ sayısının rasyonel olabilmesi için ondalık gösteriminin ya sonlu olması ya da periyodik bir şekilde tekrar eden bir sayı bloğu içermesi gerekir. Ancak, asal sayıların sonsuz olması nedeniyle, $S$ sonsuz bir rakam dizisine sahip bir sayı olarak düşünülebilir ve herbir ardışık asal sayı öncekinden büyük olacağından $p \cdot k$ çarpımları da büyür ve bu durum ondalık gösterimdeki basamak sayısının sürekli artmasına neden olur. Periyodik bir dizide, sabit uzunlukta ve aynı rakamların tekrar ettiği blokların bulunması gerekir, ancak $S$nin basamak sayısı sürekli arttığından bu mümkün değildir. Bu nedenle, $S$'nin basamak dizisi periyodik olamaz ve dolayısıyla $S$ irasyonel bir sayı olmalıdır.

Cevaplandı: $(X,\preceq)$ poset ve $A\subseteq X$ olmak üzere $A$ kümesinin infimumu (varsa) tektir. Gösteriniz.

Fri, 14 Mar 2025 13:00:09 +0000

Varsayalım ki $A$ kümesinin $\text{inf} A=a$ ve  $\text{inf }A=b$ olacak şekilde farklı iki infimumu mevcut olsun. Alt sınır tanımından

$\forall x\in A$ için $a\preceq x$ ve $b\preceq x$ dir. Burada $x=b$ alırsak $b\preceq a$ ve $x=a$ alırsak $a\preceq b$ yazılabilir.

Kısmi sıralamanın antisimetri özelliğinden   $ b\preceq a$ ve $a\preceq b$ ise $a=b$ olur. Dolayısıyla $a\ne b$ varsayımımız yanlıştır. İnfimum mevcut ise biricik olmak zorundadır.

$(X,\preceq)$ poset ve $A\subseteq X$ olmak üzere $A$ kümesinin minimumu varsa $m(A)=\{\min A\}$ olduğunu gösteriniz.

Fri, 14 Mar 2025 08:43:46 +0000
Yani bir posette bir $A$ kümesinin minimumu varsa $A$ kümesinin minimalleri sadece $A$ kümesinin minimumundan ibaret olduğunu gösteriniz.

Benzer şekilde $(X,\preceq)$ poset ve $A\subseteq X$ olmak üzere $A$ kümesinin maksimumu varsa $M(A)=\{\max A\}$ olduğunu gösteriniz. Yani bir posette bir $A$ kümesinin maksimumu varsa $A$ kümesinin maksimalleri sadece $A$ kümesinin maksimumundan ibaret olduğunu gösteriniz.

Cevaplandı: $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{\tan x}dx=?$$

Wed, 12 Mar 2025 13:46:26 +0000
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\tan(x)} \,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cot(x) \,dx$
$u=x$, $du=dx$ ve $\cot(x)dx=dv$, $\ln|\sin(x)|=v$ şeklinde kısmi integrasyon uygulanırsa,
\[[x\ln|\sin(x)|]_{0}^{\frac{\pi}{2}}- \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\sin(x)| \,dx=- \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\sin(x)| \,dx\] olur.

$I= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\sin(x)| \,dx$ olsun.

\[\begin{array}{rcl}
    I +I & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\sin(x)| \,dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\cos(x)| \,dx \quad \text{*} \\
    2I & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\ln|\sin(x)| + \ln|\cos(x)|+\ln2-\ln2) \,dx \\
    2I & =& \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln|2\sin(x)\cos(x)| \,dx-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln2 \,dx \\
    2I & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\sin(2x)| \,dx -\frac{\pi}{2}\ln2 \\
    &&2x = u \quad \text{ ve } \quad 2dx=du \quad \text{ dönüşümleri yapılır } \\
    2I &=& \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\ln|\sin(u)| \,du -\frac{\pi}{2}\ln2 \\
    && [0,\pi] \quad \text{ aralığında $\sin$ fonksiyonu simetrik olduğundan } \\
    2I &=& \frac{1}{2}\cdot2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\sin(u)| \,du -\frac{\pi}{2}\ln2 \\
    && u=x \quad \text{ ve } \quad du=dx \quad \text{ dönüşümleri yapılır } \\
    2I & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\sin(x)| \,dx -\frac{\pi}{2}\ln2 \\
    2I & = & I-\frac{\pi}{2}\ln2 \\
    I & = & -\frac{\pi}{2}\ln2
\end{array}\]
O halde $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\tan(x)} \,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cot(x) \,dx=- \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\sin(x)| \,dx= \frac{\pi}{2}\ln2$ olur.

*: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\sin(x)| \,dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\cos(x)| \,dx$ olduğunu göstermek için $x=\frac{\pi}{2}-t$ ve $dx=-dt$ dönüşümleri yapılır.
\[\begin{array}{rcl}
     \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\sin(x)| \,dx &=&\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\ln|\sin(\frac{\pi}{2}-t)| \,(-dt) \\
     &=&-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\ln|\cos(t)| \,dt \\
     &=&\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\cos(t)| \,dt \\
     &&\text{$t=x$ ve $dt=dx$ dönüşümleri yapılır} \\
     & =&\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln|\cos(x)| \,dx
\end{array}
\]

Cevaplandı: $(X,\preceq)$ poset ve $A\subseteq X$ olmak üzere $A$ kümesinin minimumu (varsa) tektir. Gösteriniz.

Wed, 12 Mar 2025 08:16:50 +0000
Alper hocanın yanıtı gayet açık. Alper hocanınkinden pek farklı olmasa da bir kanıt da ben ekleyeyim. Sadece vereceğim kanıtın yazım tarzı farklı olacak.

$A$ kümesinin $\min A=a$ ve $\min A=b$ olacak şekilde birbirinden farklı iki minimumunun olduğunu varsayalım.

$\left.\begin{array}{rr}\min A=a\Rightarrow \forall x(x\in A\rightarrow a\preceq x) \\ \\ \min A=b\Rightarrow b\in A\end{array}\right\}\Rightarrow a\preceq b\ldots (1)$

$\left.\begin{array}{rr}\min A=b\Rightarrow \forall x(x\in A\rightarrow b\preceq x) \\ \\ \min A=a\Rightarrow a\in A\end{array}\right\}\Rightarrow b\preceq a\ldots (2)$

$(1)+(2)+(\preceq, \text{ ters simetrik})\Rightarrow a=b$

olur. Bu ise $a\neq b$ ile çelişir. Demekki minimum (varsa) bir taneymiş.

Belirsiz integral'in formal tanımı

Tue, 11 Mar 2025 06:15:35 +0000
Belirsiz integral de formal tanım $F'(x)=f(x)$ ise

$F(x) = \int f(x) \, dx$

Fakat bazı üniversite kitaplarında

Diferansiyeli f(x)dx olan F(x) ifadesine f(x) in belirsiz integrali denir gibi bir tanım var bu tanım neden yanlış anlatabilir misiniz?

Bir gerçek aralık üzerinde tanımlı örten ve monoton fonksiyonlar neden süreklidir?

Mon, 10 Mar 2025 06:06:22 +0000
Prof. Ahmet Dernek'in Analiz - 1 kitabında daha geniş bir onerme için ispat bulunuyor fakat anlaşılır değil. Görüşlerinizi bekliyorum hocalarım.

Kısmi Sıralamaların Tam Sıralamaya Genişletilmesi

Fri, 07 Mar 2025 06:11:47 +0000

Kısmi sıralamalar üzerine düşündüğümüzde, "Her kısmi sıralama tam sıralamaya genişletilebilir mi?" sorusu üzerine detaylı bir analiz yapmak istedim. "Zorn'un Lemması" ve "Hausdorff Maksimal İlkesi" gibi sonuçlar, uygun aksiyomlar altında her kısmi sıralamanın tam sıralamaya genişletilebileceğini gösteriyor. Ancak, bazı durumlarda bu genişletmenin doğal olmadığı veya keyfi seçimler gerektirdiği sonucuna ulaşıyoruz. Örneğin, bir kümenin tüm alt kümeleri ve kapsama bağıntısı ile oluşturulan kısmi sıralı yapı üzerine düşündüğümüzde:

$\bullet$ Küme A={1,2} olsun.

$\bullet$ Güç kümesi P(A) üzerinde kapsama bağıntısı ile bir kısmi sıralama tanımlayalım.

$\bullet$ Burada {1} ve {2} arasında doğrudan bir sıralama bağı yoktur, ancak tam sıralamaya genişletmek için bu iki eleman arasında rastgele bir sıralama ilişkisi kurmak zorunda kalırız. Bu durum, genişletme işleminin zorunlu olarak keyfi seçimler içerebileceğini ve bazen sıralamanın doğallığını bozabileceğini düşündürüyor. Bu nedenle, her kısmi sıralamanın anlamlı bir şekilde tam sıralamaya genişletilemeyeceğini iddia edebilir miyiz? Bu konu hakkında görüşlerinizi almak isterim

Cevaplandı: $X\neq\emptyset$ bir küme ve $f:X\to X$ fonksiyon olmak üzere $$\tau_f=\{U\subseteq X ~|~f^{-1}[U]\subseteq U\}$$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.

Wed, 05 Mar 2025 18:40:38 +0000
$\mathbf{T_1)}$ $f^{-1}[X]=X\subseteq X\Rightarrow X\in\tau$   ve   $f^{-1}[\emptyset]=\emptyset\subseteq \emptyset\Rightarrow \emptyset\in\tau.$

$\mathbf{T_2)}$ $A,B\in\tau$ olsun. Amacımız $A\cap B\in\tau$ olduğunu göstermek.

$\left.\begin{array}{rr} A\in\tau\Rightarrow f^{-1}[A]\subseteq A \\ \\ B\in\tau\Rightarrow f^{-1}[B]\subseteq B\end{array}\right\}\Rightarrow f^{-1}[A\cap B]=f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B]\subseteq A\cap B$

$\Rightarrow A\cap B\in\tau.$

$\mathbf{T_3)}$ $\mathcal{A}\subseteq \tau$ olsun. Amacımız $\bigcup\mathcal{A}\in\tau$ olduğunu göstermek.

$$\begin{array}{rcl}\mathcal{A}\subseteq \tau & \Rightarrow & (\forall A\in\mathcal{A})(A\in \tau) \\ \\ & \Rightarrow & (\forall A\in\mathcal{A})(f^{-1}[A]\subseteq A) \\ \\ & \Rightarrow & f^{-1}[\bigcup \mathcal{A}]=f^{-1}[ \bigcup_{A\in\mathcal{A}}A]=\bigcup_{A\in\mathcal{A}}f^{-1}[A]\subseteq \bigcup_{A\in\mathcal{A}} A=\bigcup\mathcal{A} \\ \\ & \Rightarrow & \bigcup\mathcal{A}\in\tau. \end{array}$$

Cevaplandı: Copeland-Erdös sayısının içinde her sonlu rakam dizisinin bulunduğunu gösteriniz.

Fri, 21 Feb 2025 05:48:31 +0000

Bir $s$ tam sayısı için $\boxed{\boxed{s}\boxed{1}}$ sayısı $10^{2+\lfloor \log_{10} s\rfloor}$ ile aralarında asaldır. Dirichlet teoremi gereği (sonsuz tane olsa da) bir $t$ tam sayısı için $\boxed{\boxed{t}\boxed{s}\boxed{1}}$ asaldır.
___________________________________________________________
(alpercay'ın yorumu) Daha net anlaşılması adına:

Dirichlet teoremi gereği $a+n.d$ aritmetik dizisinde $(a,d)=1$ olmak üzere sonsuz sayıda asal bulunur. Herhangi bir rakam dizisini alalım. Bu dizinin sonuna $1$ eklediğimizde ($(a,d)=1$ koşulunu garantilemek için) oluşan sayıya $a$ diyelim ve bu sayının basamak sayısı $k$ olmak üzere dizinin ortak farkı $d=10^k$ sayısı olsun. Dirichlet teoremi gereği bu dizi bir asal sayı içerecektir ve bu asal sayı tanım gereği Copeland-Erdös sayısının basamakları arasında görünecektir. Örneğin $684$ sayısı için $a=6841$, ve $d=10^4$ alarak oluşturulan $6841,16841,26841,...$ dizisi Dirichlet teoremi gereği en az bir asal içermelidir.

İzomorfizma olması için gerek ve yeter şart (m,n)=1

Wed, 15 Jan 2025 06:49:14 +0000
$G = <a>$   n-mertebeli devirli bir grup olsun.

$f: G-->G$ ,   $f(a)=a^m$ olarak tanımlamasın.

Bu fonksiyonun izomorfizma olması için gerek ve yeter şart $(m,n)=1$ olmasıdır gösteriniz

Çözüm için izlediğim yol:

$G= <a> = \{a^1 , a^2 , ... , a^n-1 , a^n = \text{birim} \} $elimizde olan bilgi.

İzomorfizma için homomorfizma 1-1 ve örten mi diye bakmalıyız.

Homomorfizma için:

G den Keyfi a^x ve a^y alalım, f(a^x . a^y) G'de midir diye baktım ve f'in homomorfizma geldiğini gördüm

1-1lik için f(a^x)=f(a^y) ise a^x=a^y midir diye bakmak istedim fakat a^xm = a^ym ile karşılaştım buradan sonra sanırım m ile n arasında asal olma ile ilgili bir şey kullanmam gerekiyor fakat ilerleyemedim yardımcı olur musunuz?

Cevaplandı: $(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere $$\mathcal{P}=\{A\subseteq X | X\setminus cl(int(A))\neq \emptyset\}$$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir primal olduğunu gösteriniz.

Sat, 28 Dec 2024 22:07:54 +0000
$P_1)$ $X\setminus cl(int(X))=X\setminus cl(int(X))=X\setminus cl(X)=X\setminus X=\emptyset\Rightarrow X\notin \mathcal{P}.$

$P_2)$ $A\in\mathcal{P}$ ve $B\subseteq A$ olsun.

$\left.\begin{array}{rcl} A\in \mathcal{P}\Rightarrow X\setminus cl(int(A))\neq\emptyset \\ \\ B\subseteq A \end{array}\right\}\Rightarrow X\setminus cl(int(B))\neq\emptyset\Rightarrow B\in\mathcal{P}.$

$P_3)$ $A\notin\mathcal{P}$ ve $B\notin\mathcal{P}$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} A\notin\mathcal{P}\Rightarrow X\setminus cl(int(A))=\emptyset\Rightarrow cl(int(A))=X \\ \\ B\notin\mathcal{P}\Rightarrow X\setminus cl(int(B))=\emptyset \Rightarrow cl(int(B))=X \end{array}\right\}\Rightarrow cl(int(A\cap B))=X$

$\Rightarrow X\setminus cl(int(A\cap B))=\emptyset$

$\Rightarrow A\cap B\notin \mathcal{P}.$

Cevaplandı: Belirsizlik durumundaki bir limit sorusu

Mon, 23 Dec 2024 08:56:39 +0000
$\lim_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{1}{x^2}\right)=\lim_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{x-\sin{x}}{x^3}\cdot\dfrac{1+\dfrac{\sin{x}}{x}}{\dfrac{\sin^2x}{x^2}}\right)$

$ =2\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{1-\cos{x}}{3x^2}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin^2\frac{x}{2}}{3\cdot\dfrac{x^2}{4}}=\dfrac{1}{3}$

Cevaplandı: $\frac1a+\frac1b=\frac3{2018}$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b$ doğal sayı çiftlerini bulunuz.

Mon, 25 Nov 2024 08:00:16 +0000

Burada kanıtlanan teoreme göre $1/a+1/b=m/n$ denkleminin çözümlerinin olması için $(d_1,d_2)=1$ ,$d_1|n$, $d_2|n$, $m|d_1+d_2$ olacak şekilde $d_1,d_2$ sayıları mevcut olmalıdır. Bu durumda çözümler $a=\dfrac{n(d_1+d_2)}{md_1}$, $b=\dfrac{n(d_1+d_2)}{md_2}$ biçimindedir. Buna göre çözümleri bulmak için $2018$ sayısının bölenlerinden aralarında asal ve $3|d_1+d_2$ şartını sağlayan bölen çiftlerini kullanmak yeterli.

$(d_1,d_2)=(1,2)$ alındığında $a=2018$, $b=1009$

$(d_1,d_2)=(2,1009)$ alındığında $a=1009.337$, $b=674$

$(d_1,d_2)=(1,2018)$ alındığında $a=2018.673$, $b=673$ bulunur.

Cevaplandı: $\dfrac 1x+\dfrac 1y=\dfrac mn$ diophantine denklemi

Thu, 21 Nov 2024 17:11:03 +0000
$x_1=x$ ve $x_2=y=$ ile gösterelim ve $(x,y)$ denklemin bir çözümü olsun.

$\dfrac 1x+\dfrac 1y=\dfrac mn$ denkleminden $y=\dfrac nm+\dfrac {n^2}{m^2x-mn}$ ve $$(my-n)(mx-n)=n^2$$ veya $f_1=my-n$ ve $f_2=mx-n$ denirse $f_1\gt 0$ ve $f_2\gt 0$ olmak üzere $$f_1f_2=n^2$$ yazılabilir.

$x=\dfrac{f_2+n}{m}$ ve $y=\dfrac{f_1+n}{m}$ değerleri denklemde yerine yazılır ve düzenlenirse $$\dfrac 1{n/m(f_2/n+1)}+\dfrac 1{n/m(f_1/n+1)}=\dfrac mn$$ eşitliği elde edilir.

$(d_1,d_2)=1$ olmak üzere $\dfrac {f_1}n=\dfrac {d_2}{d_1}$ denirse $\dfrac {f_2}n=\dfrac {d_1}{d_2}$ olur. Dolayısıyla $d_1|n$ ve $d_2|n$ olmalıdır. Bu değerler yukardaki denklemde yerine yazılırsa $$\dfrac mn=\dfrac 1{(n/md_1)(d_1+d_2)}+\dfrac 1{(n/md_2)(d_1+d_2)}$$ bulunur. $(m,n)=1$ ve paydalar tam sayı olacağından $m|(d_1+d_2)$ olmalıdır. Yukardaki denklemden çözümlerin $$x=\dfrac{n(d_1+d_2)}{md_1},   y=\dfrac{n(d_1+d_2)}{md_2}$$ şeklinde olması gerektiği anlaşılır.

Kanıtta kullanılan makale: https://nntdm.net/papers/nntdm-19/NNTDM-19-2-15-25.pdf

Cevaplandı: \[\lim_{n\to\infty}\left(n\left(1+\frac1n\right)^n-ne\right)=?\]

Thu, 07 Nov 2024 11:16:16 +0000
Metin Can Aydemir'e ait bir çözüm:

Limitin olduğunu varsayarak işlemlere başlayalım. $$L=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-e}{n^{-1}}$$ olduğundan $\frac{0}{0}$ belirsizliği oluşur. L'Hospital kuralından, $$L=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\frac{(n+1)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)-1}{n+1}}{-n^{-2}}=-e\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n^2(n+1)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)-n^2}{n+1}.$$ $n=\frac{1}{x}$ değişkeni değiştirirsek, $$-\frac{L}{e}=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{(1+1/x)\ln\left(1+x\right)-1}{x}$$ olacaktır çünkü $\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{1}{1+x}=1$'dir. Eğer $\ln(1+x)$'in Taylor açılımını yazarsak, $$\ln(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}x^k}{k}\implies \left(1+\frac{1}{x}\right)\ln(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}x^k}{k}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}x^{k-1}}{k}$$ $$\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)\ln(1+x)-1}{x}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}x^{k-1}}{k}+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}x^{k-2}}{k}$$ olacaktır. $x\to 0^+$'de limiti aldığımızda sadece sabit terimler kalacaktır. Yani $-\frac{L}{e}=\frac{1}{2}$ olacağından $L=-\frac{e}{2}$'dir.

A bir afin uzayı ise P elamanıdır A için PP=0 olduğunu a1 ve a2 aksiyomlarını kullanarak gösteriniz

Tue, 05 Nov 2024 15:49:53 +0000
A bir afin uzay ise P eleman A için PP=0 olduğunu A1 ve A2 aksiyomlarını kullanarak gösteriniz

Cevaplandı: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $Y\subseteq X$ olsun. $$\tau_{(Y)}:=\{T\cup A|(T\in\tau)(A\subseteq X\setminus Y)\}$$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.

Fri, 01 Nov 2024 05:57:50 +0000

$T_1)$ $\emptyset$ ve $X$'in $\tau$'nun elemanı olduğunu gösterelim.

$ {(\emptyset \in \tau)(\emptyset \subseteq X\setminus Y) \\[4pt] \tau_{(Y)}=\{\tau \cup A : (T \in \tau)(A \subseteq X\setminus Y) \} } \Bigg{\rbrace} \Rightarrow\emptyset \cup \emptyset =\emptyset \in \tau_{(Y)} $

$T:=X \\[4pt] A\subseteq X \setminus Y \Rightarrow (T \in \tau)(A\subseteq X \setminus Y)\Rightarrow T\cup A=X \in \tau_{(Y)} $

$T_2)$ $M,N \in \tau_{(y)}$ olsun. Amacıız $M\cap N \in \tau_{(y)} $ olduğunu göstermek.

${M \in \tau_{(y)} \Rightarrow (\exists T_1 \in \tau)(A_1 \subseteq X \setminus Y)(M=T_1 \cup A_1) \\ N \in \tau_{(y)} \Rightarrow (\exists T_2 \in \tau)(A_2 \subseteq X \setminus Y)(N=T_1 \cup A_2) } \Bigg{\rbrace} \Rightarrow \\ \Rightarrow (T_1 \cap T_2 \in \tau) \Bigg(\Big( (T_1 \cap A_2) \cup (A_1 \cap T_2) \cup (A_1 \cap A_2) \Big) \subseteq X \setminus Y \Bigg) \\ \Rightarrow M \cap N \in \tau_{(Y)} $

$T_3)$ $\mathcal{A} \subseteq \tau $ olsun. Amacımız $\bigcup \mathcal{A} \in \tau$ olduğunu göstermek.

$\mathcal{A} \subseteq \tau \Rightarrow ( \forall B \in \mathcal{A})(\exists T \in \tau) (\exists A \subseteq X \setminus Y)(B=T\cup A) $

$ \Rightarrow \bigcup \mathcal{A} = \underset{B \in \mathcal{A}}{\bigcup} B= \underset{T \in \tau} {\underset{A \subseteq X \setminus Y}\bigcup} T\cup A = \Big( \underset{T \in \tau }{\bigcup}T \Big) \cup \Big( \underset{A \subseteq X \setminus Y }{\bigcup}A \Big) $

$ \Rightarrow \bigcup \mathcal{A} \in \tau $

Matematik Kafası - Lisans Matematik için yeni soru ve cevaplar

$\dfrac {d{(f(x) \cdot g(x))}}{dx} = \dfrac{df(x)}{dx}\cdot \dfrac{dg(x)}{dx}$

Cevaplandı: Topoloji Elde Etme Yöntemleri-I

Satranç tahtasında at ile bir koordinattan diğerine kaç hamlede gittiğimizin sayısı bir metrik midir?

f : X →Y fonksiyonu, A1,A2 ⊆X ve B1,B2 ⊆Y olsun. Buna göre (a) A1 ⊆A2 ise f[A1] ⊆f[A2] olduğunu gösteriniz. (b) f−1[B1−B2] = f−1[B1]−f−1[B2] olduğunu kanıtlayınız.

Cevaplandı: Topoloji Elde Etme Yöntemleri-IV

Cevaplandı: Harmonik serinin (ilki dışında) kısmi toplamlarının tamsayı olmadığını gösteriniz.

Cevaplandı: $$\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{1}{\sin^2x}-\frac{1}{x^2}\right)=?$$

Cevaplandı: $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ kuralı ile verilen $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ fonksiyonunun Lipschitz sürekli olduğunu gösteriniz.

$d(x,y)= \left|\frac1x - \frac1y\right|$ kuralı ile verilen $d: \mathbb N^2 \to \mathbb R$ metrik fonksiyon için $B\left(n, \frac1{n (n+1)}\right)=\{n\}$ olduğunu gösteriniz.

Denklik Bağıntısı

Cevaplandı: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n! e^n}{n^n}$ serisi yakınsak mıdır? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Cevaplandı: $$\int_ 0 ^1\frac{dx}{\sin^6 x + \cos^6 x} = ?$$

Her pozitif $x$ gerçel ve her $n$ tamsayısı için $$e^x\ge \dfrac{x^n}{n!}$$ olduğunu gösteriniz.

$\alpha,\beta,\gamma, a,b,c\in\mathbb{R},$ $r>0$ ve $(\alpha-a)^2+(\beta-b)^2+(\gamma-c)^2=r^2$ olmak üzere $X=\{(x,y,z)~|~(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\}\setminus\{(\alpha,\beta,\gamma)\}$ kümesinden $\mathbb{R}^2$ kümesine birebir örten bir fonksiyon bulunuz.

Cevaplandı: $\alpha,\beta,a,b\in\mathbb{R},$ $r>0$ ve $(\alpha-a)^2+(\beta-b)^2=r^2$ olmak üzere $X=\{(x,y)|(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\}\setminus\{(\alpha,\beta)\}$ kümesinden $\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesine birebir örten bir fonksiyon bulunuz.

Cevaplandı: $2^n$, verilen herhangi bir ($0$ ile başlamayan) rakam dizisi ile başlayacak şekilde, bir $n$ doğal sayısının varlığını gösteriniz.

a,b,c elemanıdır Z,c<0 olsun. a Sun, 25 May 2025 07:47:28 +0000 a,b,c elemanıdır Z,c<0 olsun. a<b ise bc<ac olduğunu gösteriniz

Cevaplandı: Polinomun Terim Sayısı Kavramı Üzerine

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\arctan\left(\frac{1}{n^2+3n+3}\right)}{\arctan\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)}=1$ olduğunu gösteriniz.

Stolz-Cesaro teoremini nedir? Bize ne söyler?

Cevaplandı: $(\arctan n)_n$ dizisi bir büzen dizi midir?

Cevaplandı: $$\int\frac{x^2+x}{(e^x+x+1)^2}dx=?$$

$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{n! e^n}{n^n}$ serisi yakınsak mıdır? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Cevaplandı: $A\subseteq \mathbb{R},$ $f:A\to \mathbb{R}$ fonksiyon ve $c\in A\cap D(A)$ olsun. $$\max_{x\in A} f(x)=f(c)\Rightarrow f'(c)=0$$ olduğunu gösteriniz.

Cevaplandı: Her yakınsak dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.

Cevaplandı: Yakınsak dizilerin sınırlı olduğunu gösteriniz.

Cevaplandı: Altın oran ve pi sayısı

Cevaplandı: Fonksiyon ve Sıralama Bağıntısı İlişkisi

$(\mathbb{R},\tau)$ topolojik uzayında aşağıdaki dizilerin yakınsadığı noktaların oluşturduğu kümeyi bulunuz.

Cevaplandı: $x^5+y^5=3x^2y^2$ eğrisinin ilmeğinin alanını bulunuz.

Cevaplandı: $(X,\preceq)$ poset ve $A\subseteq X$ olmak üzere $A$ kümesinin minimumu varsa $\inf A=\min A$ olduğunu gösteriniz.

Cevaplandı: $S=0,[2k][3k][5k][7k]...$ sayısı rasyonel midir?

Cevaplandı: $(X,\preceq)$ poset ve $A\subseteq X$ olmak üzere $A$ kümesinin infimumu (varsa) tektir. Gösteriniz.

$(X,\preceq)$ poset ve $A\subseteq X$ olmak üzere $A$ kümesinin minimumu varsa $m(A)=\{\min A\}$ olduğunu gösteriniz.

Cevaplandı: $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{\tan x}dx=?$$

Cevaplandı: $(X,\preceq)$ poset ve $A\subseteq X$ olmak üzere $A$ kümesinin minimumu (varsa) tektir. Gösteriniz.

Belirsiz integral'in formal tanımı

Bir gerçek aralık üzerinde tanımlı örten ve monoton fonksiyonlar neden süreklidir?

Kısmi Sıralamaların Tam Sıralamaya Genişletilmesi

Cevaplandı: $X\neq\emptyset$ bir küme ve $f:X\to X$ fonksiyon olmak üzere $$\tau_f=\{U\subseteq X ~|~f^{-1}[U]\subseteq U\}$$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.

Cevaplandı: Copeland-Erdös sayısının içinde her sonlu rakam dizisinin bulunduğunu gösteriniz.

İzomorfizma olması için gerek ve yeter şart (m,n)=1

Cevaplandı: $(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere $$\mathcal{P}=\{A\subseteq X | X\setminus cl(int(A))\neq \emptyset\}$$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir primal olduğunu gösteriniz.

Cevaplandı: Belirsizlik durumundaki bir limit sorusu

Cevaplandı: $\frac1a+\frac1b=\frac3{2018}$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b$ doğal sayı çiftlerini bulunuz.

Cevaplandı: $\dfrac 1x+\dfrac 1y=\dfrac mn$ diophantine denklemi

Cevaplandı: \[\lim_{n\to\infty}\left(n\left(1+\frac1n\right)^n-ne\right)=?\]

A bir afin uzayı ise P elamanıdır A için PP=0 olduğunu a1 ve a2 aksiyomlarını kullanarak gösteriniz

Cevaplandı: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $Y\subseteq X$ olsun. $$\tau_{(Y)}:=\{T\cup A|(T\in\tau)(A\subseteq X\setminus Y)\}$$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.

a,b,c elemanıdır Z,c<0 olsun. a
Sun, 25 May 2025 07:47:28 +0000
a,b,c elemanıdır Z,c<0 olsun. a<b ise bc<ac olduğunu gösteriniz