Matematik Kafası - Yeni soru ve cevaplar

$\mathbb{L}=[(\mathbb{L},\oplus),\odot, (\mathbb{R},+,\cdot),\|\cdot\|_{\mathbb{L}}]$ normlu lineer uzay olmak üzere $\psi(\lambda,x)=\lambda \odot x$ kuralı ile verilen $\psi:\mathbb{R}\times \mathbb{L}\longrightarrow \mathbb{L}$ fonksiyonunun düzgün sürekli olmadığını gösteriniz.

Sun, 19 Apr 2026 12:34:30 +0000

$\mathbb{L}=[(\mathbb{L},\oplus),\odot, (\mathbb{R},+,\cdot),\|\cdot\|_{\mathbb{L}}]$ normlu lineer uzay olmak üzere $\psi(\lambda,x)=\lambda \odot x$ kuralı ile verilen $\psi:\mathbb{R}\times \mathbb{L}\longrightarrow \mathbb{L}$ fonksiyonunun düzgün sürekli olmadığını gösteriniz.

Cevaplandı: $\mathbb{L}=[(\mathbb{L},\oplus),\odot, (\mathbb{R},+,\cdot),\|\cdot\|_{\mathbb{L}}]$ normlu lineer uzay olmak üzere $\psi(\lambda,x)=\lambda \odot x$ kuralı ile verilen $\psi:\mathbb{R}\times \mathbb{L}\longrightarrow \mathbb{L}$ fonksiyonunun sürekli olduğunu gösteriniz.

Sun, 19 Apr 2026 12:30:45 +0000

$$\psi(\lambda,x)=\lambda\odot x$$ kuralı ile verilen $$\psi:\mathbb{R}\times\mathbb{L}\to\mathbb{L}$$ fonksiyonunun sürekli olduğunu göstermek için $$(\forall (\lambda',a)\in\mathbb{R}\times\mathbb{L})(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\|(\lambda,x)-(\lambda',a)\|_{\mathbb{R}\times\mathbb{L}}<\delta\Longrightarrow \|\psi(\lambda,x)-\psi(\lambda',a)\|_{\mathbb{L}}<\epsilon)\ldots (*)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$(\lambda',a)\in \mathbb{R}\times\mathbb{L}$ ve $\epsilon>0$ verilmiş olsun.

$\delta>0$ sayısını nasıl seçmemiz gerektiğini anlamak için $$\|\psi(\lambda,x)-\psi(\lambda',a)\|_{\mathbb{L}}$$ normunu hesaplayalım. Bu hesaplamayı yaparken

$\|(\lambda,x)-(\lambda',a)\|_{\mathbb{R}\times\mathbb{L}}=\|(\lambda-\lambda',x-a)\|_{\mathbb{R}\times\mathbb{L}}=|\lambda-\lambda'|+\|x-a\|_{\mathbb{L}}<\delta$

$\Longrightarrow$

$|\lambda-\lambda'|<\delta$ ve $\|x-a\|_{\mathbb{L}}<\delta\ldots (**)$ olduğu hususunu da göz önünde bulunduracağız.

$$\begin{array}{rcl}\|\psi(\lambda,x)-\psi(\lambda',a)\|_{\mathbb{L}} & = & \|\lambda\odot x-\lambda'\odot a\|_{\mathbb{L}} \\ \\ & = & \|\lambda\odot x-\lambda\odot a+\lambda \odot a-\lambda'\odot a \|_{\mathbb{L}} \\ \\ & = & \|\lambda\odot (x-a)+(\lambda-\lambda')\odot a)\|_{\mathbb{L}} \\ \\ & \leq & |\lambda|\cdot\|x-a\|_{\mathbb{L}}+|\lambda-\lambda'|\cdot\|a\|_{\mathbb{L}} \\ \\ & \overset{(**)}{<} & |\lambda|\cdot\delta+\delta\cdot\|a\|_{\mathbb{L}} \\ \\ & < & |\lambda|\cdot\delta+\delta\cdot\|a\|_{\mathbb{L}} +\delta \\ \\ & = & \delta\cdot (|\lambda|+\|a\|_{\mathbb{L}}+1)\end{array}$$

olduğundan her $\epsilon>0$ için $0<\delta\leq \frac{\epsilon}{|\lambda|+\|a\|_{\mathbb{L}}+1}$ seçilirse her $(\lambda,x)\in\mathbb{R}\times\mathbb{L}$ için $$\|(\lambda,x)-(\lambda',a)\|_{\mathbb{R}\times\mathbb{L}}<\delta\Longrightarrow \|\psi(\lambda,x)-\psi(\lambda',a)\|_{\mathbb{L}}=\ldots <\frac{\epsilon}{|\lambda|+\|a\|_{\mathbb{L}}+1}\cdot (|\lambda|+\|a\|_{\mathbb{L}}+1)=\epsilon$$ koşulu sağlanır. O halde $(*)$ önermesi doğrudur. Dolayısıyla $\psi$ fonksiyonu süreklidir.

Verilen dizinin Cauchy dizisi olduğunu gösterebiliyorum ancak yakınsamadığını gösteremiyorum. Yardımcı olabilir misiniz?

Sat, 11 Apr 2026 18:11:29 +0000

P polinomlar vektör uzayı ve $P(x)=\sum\limits_{k=0}^na_kx^k$ olmak üzere $||P||_{\infty}= \max\limits_{k \in[0,1]}|a_k|$ normu verilsin. $P_n=\sum\limits_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$ ile tanımlanan $(p_n)_n$ dizisinin $||.||$ ile bir Cauchy dizisi olduğunu ancak yakınsamadığını gösteriniz.

Cevaplandı: Gerçel katsayılı polinomlar uzayında aşağıdaki dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.

Sat, 11 Apr 2026 18:11:24 +0000

$(P_n)_n$ dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek için $$(\forall \varepsilon > 0)(\exists k \in \mathbb{N})(n,m \geq k \Longrightarrow \left\|P_n-P_m\right\|_{\infty}< \varepsilon) \ldots (*)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz. Her $\varepsilon>0$ için (eğer varsa) bulmamız gereken $k\in\mathbb{N}$ sayısının nasıl seçilmesi gerektiğini anlamak için $$\left\|P_n-P_m\right\|_{\infty}$$ normunu hesaplayalım.
$$\begin{array}{rcl} \left\|P_n-P_m\right\|_{\infty} & = & \left\|\sum\limits_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}-\sum\limits_{k=0}^m \frac{x^k}{k!}\right\|_{\infty} \\ \\ & = & \left\|\sum\limits_{k=m+1}^n \frac{x^k}{k!}\right\|_{\infty} \\ \\ & = & \max\limits_{m+1\leq k\leq n}\left|\frac{1}{k!}\right| \\ \\ & = & \frac{1}{(m+1)! } \leq\frac{1}{m+1}<\varepsilon\Leftrightarrow m>\frac{1}{\varepsilon}-1\end{array}$$
olduğundan her $0<\varepsilon\leq1$ için $k:=\lfloor \frac{1}{\varepsilon}-1\rfloor+1=\lfloor \frac{1}{\varepsilon}\rfloor\in \mathbb{N} $ seçilirse
$$n,m\geq k\Longrightarrow \left\|P_n-P_m\right\|_{\infty}=\ldots\leq \frac{1}{m+1}\leq \frac{1}{k+1}=\frac{1}{\lfloor \frac{1}{\varepsilon}\rfloor+1}<\frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}}=\varepsilon$$
koşulu sağlanır. Diğer taraftan $\varepsilon>1$ için $k \in \mathbb{N}$ sayısı ne seçilirse seçilsin $(*)$ koşulunun sağlandığını görmek zor olmasa gerek. Dolayısıyla $(*)$ koşulu her epsilon için doğrudur. O halde $(P_n)_n$ dizisi bir Cauchy dizisidir.

Cevaplandı: 20x20lik bir matrisin özdeğer ve özvektörlerini C programında yazarak nasıl bulabilirim?

Sat, 04 Apr 2026 20:54:27 +0000

$\mathbb{R}^{n\times n}$ bir matrix icin

- Klasik method (Laplace / sanirim CHIO da deniyor) ile bu $\mathcal{O(n!)}$

- Gauss-eliminasyonu/QR/LU/EigenValue/SingularValue dekompozisyonlari ile ~ $\mathcal{O(n^3)}$

- Iteratif yontemler ile (mesela rastgele bir vektor al ve matriksle carpadur) oz degerleri bulup hepsini carpabalirsin. Bu acikcasi secilen yonteme gore degisiyor ama adim basi ~ $\mathcal{O(n^2)}$

isleme malolur.

Tabii eger matrisinin cesitli ozellikleri (simetrik vb.) varsa daha hizli algoritmalar mevcut.

Genel olarak eger bir polinom $P$ ve matrix $A$,

$P(A) = 0$ sagliyorsa, oz degerler de bu polinomun koku olur

Cevaplandı: Bu şekiller bir noktaya büzülür mü?

Sat, 04 Apr 2026 19:53:24 +0000

Kenar uzunluğu $s$ olan düzgün bir $n$-gen alalım. Bu $n$-geni sarmalayan çemberin yarıçapı

$$R = \frac{s}{2\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)}$$

içine sığan çemberin yarıçapı ise

$$r = \frac{s}{2\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)}$$

Bu ikisinin oranı

$$q_n = \frac{r}{R} = \cos\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$

Şimdi şu iç içe geçmiş yapıyı düşünelim: $R_0$ yarıçaplı bir çemberle başlıyoruz, içine düzgün $3$-gen çiziyoruz, sonra ona sığan çemberi, sonra düzgün $4$-gen, sonra ona sığan çember... Yarıçap dizisi

$$\rho_3 = R_0, \qquad \rho_{n} = \rho_{n-1} \cdot \cos\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$

buradan

$$\rho_n = R_0 \cdot \prod_{k=3}^{n} \cos\!\left(\frac{\pi}{k}\right)$$

$\rho_\infty$'un sıfıra gidip gitmediğini anlamak için çarpımı toplamaya çeviririz:

$$\log \rho_\infty = \log R_0 + \sum_{k=3}^{\infty} \log \cos\!\left(\frac{\pi}{k}\right)$$

$k \geq 3$ için $0 < \cos(\pi/k) < 1$,

Dolayısıyla her terim $\log\cos(\pi/k) < 0$.

Toplam ya sonlu negatif bir $L$'ye yakınsar ya da $-\infty$'a ıraksar.

Birinci durumda $\rho_\infty = R_0 e^L > 0$,

ikincisinde ise $\rho_\infty = R_0 e^{-\infty} = 0$.

Hangisi olduğunu görmek için el sallayarak taylor acalim biraz

$$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$$

$$\log(1-u) \approx -u \quad (u \to 0)$$

$$\log \cos x \approx \log\!\left(1 - \frac{x^2}{2}\right) \approx -\frac{x^2}{2}$$

$x = \pi/k$ koyarsak

$$-\log \cos\frac{\pi}{k} \approx \frac{\pi^2}{2k^2}$$

$\sum 1/k^2$ yakınsadığından ($= \pi^2/6$) bu toplam da yakınsar.

Yani bu iç içe çember-çokgen yapısı bir noktaya büzülmez; pozitif yarıçaplı bir limite yaklaşıyor.

Oyle sürekli bir fonksiyon $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 $ bulun ki, her $x\in\mathbb{R}^3 - \{0\}$ icin, $\langle x|f(x) \rangle = 0$ ve $f(x) \neq 0$ olsun

Sat, 04 Apr 2026 17:20:11 +0000

Bulunamayadabilir tabii, her istedigimiz gercek olmuyor sonucta ama neden olmadigini bilmekte yarar vardir.

Cevaplandı: Ramanujan' ın "En kolay eşitliği"

Wed, 01 Apr 2026 19:42:44 +0000

G. Hardy, bu eşitliğe, "Ramanujan' ın en kolay eşitliği" adını vermiş!
eloi2 $$f(x)=\frac{x}{1}+\frac{x^3}{1\cdot3}+\frac{x^5}{1\cdot3\cdot5}+\frac{x^7}{1\cdot3\cdot5\cdot7}+\cdots$$
   fonksiyonunun $f'(x)=xf(x)+1$ diferansiyel denklemini sağladığını göstermiş. Bu denklemi çözelim:
   $e^{-x^2/2}f'(x)-xe^{-x^2/2}f(x)=e^{-x^2/2}$
   $\left(e^{-x^2/2}f(x) \right)' =e^{-x^2/2}\Rightarrow f(x)=e^{x^2/2}\int e^{-x^2/2}dx $ olur.
   $f(0)=0$ olduğundan, $f(x)=e^{x^2/2}\displaystyle \int_0^xe^{-t^2/2}dt$ bulunur. Buradan
   \[\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{1\cdot3\cdot5}+\frac{1}{1\cdot3\cdot5\cdot7}+\cdots=f(1)=\sqrt{e}\int_0^1e^{-t^2/2}dt \]elde edilir.
   Diğer terim daha zor olacak:
   $\int_0^{+\infty} e^{-t^2/2}dt=\sqrt{\frac{\pi}{2}} $ olduğundan
   ikinci terimin (sonsuz sürekli kesrin) $ \sqrt{e}\int_1^{+\infty}e^{-t^2/2}dt $ e eşit olduğunu göstermek yeterli olacaktır.
   $g(x)=e^{x^2/2}\displaystyle\int_x^{+\infty}e^{-t^2/2}dt=e^{x^2/2} \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{x}e^{-t^2/2}dt\right) $ olsun.
   $g'(x)=xg(x)-1$ ve $g(0)=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ olur.
   (Kısalık için) $y=g(x)$ diyelim. $y'=xy-1\Rightarrow y''=xy'+y \Rightarrow y'''=xy''+2y'$ ve (tümevarımla)
   $y^{(n+1)}=xy^{(n)}+ny^{(n-1)}$
   $y=\dfrac{1}{x-\frac {y'}y},\quad \dfrac{y'}{y}=\dfrac{-1}{x-\frac{y''}{y'}},\quad \dfrac{y''}{y'}=\dfrac{-2}{x-\frac{y'''}{y''}},\quad \dfrac{y'''}{y''}=\dfrac{-3}{x-\frac{y''''}{y'''}} \cdots$
   \[ y=\frac{1}{x-\frac{-1}{x-\frac{-2}{x-\frac{-3}{x-\frac{y''''}{y'''}}}}}=\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{2}{x+\frac{3}{x+\frac{y''''}{y'''}}}}} \]
   Bu şekilde devam edilerek (Burada bazı boşluklar var (yakınsaklık!))
   \[ y=\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{2}{x+\frac{3}{x+\frac {4}{x+\ddots}}}}} \]fonksiyonu istenen diferansiyel denklemi sağlar. $g(0)=\sqrt{\frac\pi2}$ olup olmadığını kontrol edelim:
   $$g(0)=\frac{1}{0+\frac{1}{0+\frac{2}{0+\frac{3}{0+\frac {4}{0+\ddots}}}}}=\frac{2\cdot4\cdot6\cdot8\cdots}{1\cdot3\cdot5\cdot7\cdots} $$
   Wallis formülünden, $\dfrac\pi2=\dfrac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdot6\cdot6\cdot8\cdot8\cdots}{1\cdot1\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot7\cdots}$ dir. Buradan, $g(0)=\sqrt{\frac\pi2}$ elde edilir (burada da açıklanması gereken noktalar var!).
   Öyleyse:
   \[\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac3\ddots}}}=g(1)=\sqrt{e} \int_1^{+\infty}e^{-t^2/2}dt \]Buradan,
   $$f(1)+g(1)=\sqrt{e}\int_0^{\infty}e^{-t^2/2}dt=\sqrt{\frac{e\pi}{2}}$$ elde edilir. Bu da, istenen eşitlikdir.
(Bu çözümü şurada gördüm.)

Cevaplandı: Çocukların yaşlarını bulunuz

Tue, 17 Mar 2026 20:22:18 +0000

Çocukların yaşlarını

$$x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le x_5$$

şeklinde ifade ederek başlayalım. Bu sayede küçükten büyüğe doğru da sıralanmış oldu.

$$\frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5}{5} = x_3$$ olmalı.

$x_3$ aynı zamanda moda da eşit olmalı. Bu durumda $x_2$ ya da $x_4$'den en az biri kesinlikle $x_3$'e eşit olmalı.

Çocuklardan birinin yaşı $1$ arttığında mod değiştiğine göre, yaşı artan çocuğun yaşı $x_3$ olmalı. Mod da aynı kalacağı için:

$$x_1 , x_3 , x_3 , x_3 + 1, x_5$$ olmalı ki 3. çocuk bir yaş aldığında

$$x_1 , x_3 , x_3 + 1, x_3 + 1, x_5$$ olsun ve mod yine ortancaya eşit olsun, ama ikisi de değişmiş olsun.

Aynı zamanda $x_3 = x_5 - x_1$ olmalı. Yani $x_5 = x_1 + x_3$ olmalı.

Buna göre baştaki aritmetik ortalamayı yeniden hesapladığımızda

$$4x_3 + 2x_1 + 1 = 5x_3$$ olacaktır.

Bu denklemi düzenlersek $x_1$ ve $x_3$ arasında şöyle bir ilişki buluruz:
$$2x_1 + 1 = x_3$$

Yaşlar da artık

$x_1, x_3, x_3, x_3 +1, x_1 + x_3$

şeklindedir. (Çocuklardan biri bir yaş büyümeden önceki hali.)

$x_1$ en küçük çocuğun yaşıdır, $0$'dan büyüktür ve tam sayıdır. Bu sebeple en küçük $1$ olabilir.

$x_1 = 1$ için çocukların yaşları $1,3,3,4,4$ şeklinde olur ve bu durum modun tek grup olması koşulunu sağlamaz.

$x_1 = 2$ için çocukların yaşları $2,5,5,6,7$ olur. Bu yaşlar gerekli koşulları sağlamaktadır.

$x_1 = 3$ için çocukların yaşları $3,7,7,8,10$ olur. Ancak çocukların yaşları 0-9 arasında olarak belirtilmiş, en büyük çocuğun yaşı bu koşulu sağlamıyor.

$x_1$ için $3$'den büyük vereceğimiz her değer için üst yaş sınırı aşılır.

Bu sebeple istediğimiz koşulları sağlayan yaşlar $2,5,5,6,7$ (yaş artımı öncesi) ve $2,5,6,6,7$ (yaş artımı sonrası) şeklindedir.

$1/x$ fonksiyonu üzerinde tam sayılar toplamını bulunuz

Wed, 11 Mar 2026 11:51:39 +0000

$f:\mathbb{R}-\{0\} \to \mathbb{R}-\{0\} $
$f(x) =\dfrac{1}{x}$ şeklinde tanımlı $f$ fonksiyonunda $x\in [-1/6,3]-\{0\}$ olmak üzere fonksiyonun bu aralıkta alabileceği tam sayı değerleri toplamını bulunuz. Yanıt $- 21$

Kaynak :MEB 10.sınıf matematik kitabı syf 248

Benzer bir soruya yapılan çözüm (31.dk)

https://youtu.be/PYazLsnE4vc?si=xAtUELQCgsrASRb3

$\dfrac {d{(f(x) \cdot g(x))}}{dx} = \dfrac{df(x)}{dx}\cdot \dfrac{dg(x)}{dx}$

Wed, 04 Mar 2026 18:29:10 +0000

$\dfrac {d{(f(x) \cdot g(x))}}{dx} = \dfrac{df(x)}{dx}\cdot \dfrac{dg(x)}{dx}$ esitligini saglayan $f,g$ ikilisi var midir?

Olasılık sorusu

Wed, 28 Jan 2026 16:04:54 +0000

Bir tombala oyununda 88 numaranın yazılı olduğu 22 kart vardır. Bu kartların her birinde rast gele yazılmış 4 adet numara vardır. Bir torbanın içinde bu numaraların yazıldığı 88 boncuk vardır. Bu torbadan 6 adet boncuk çekilip, kartlardan 3 adet çekilerek en az bir boncuğun bir numarayla eşleşme olasılığı nedir.

Cevaplandı: Topoloji Elde Etme Yöntemleri-I

Sat, 24 Jan 2026 07:30:59 +0000

Ben de bu teoremi bilgisayar yardimi ile ispatlamaya calistim. yanlis formalize etmis olabilirim bir kontrol etmekte fayda var ama sanirim basarili oldum. `dafny` adli programlama dilini kullanarak matematiksel ispatlar yapmak mumkun (ve cok eglenceli/sinir bozucu). Su linkten bu dil hakkinda daha fazla bilgiye erisebilirsiniz

Ispati gereksiz uzatmis olabilirim (eminim daha kisa bir dafny programi ile ayni seyi ispatlayabilirz)

Kodu paylasiyorum

module Topoloji {

  ghost predicate TopolojiMi<T(!new)>(X: iset<T>, tau: iset<iset<T>>)
  {
    && X in tau
    && iset{} in tau
    && (forall A, B :: A in tau && B in tau ==> A * B in tau)
    && (forall Aile :: Aile <= tau ==> Birlesim(Aile) in tau)
  }

  ghost function Birlesim<T(!new)>(Aile: iset<iset<T>>): iset<T>
  {
    iset x | BirKumedeVar(x, Aile)
  }

  ghost predicate BirKumedeVar<T(!new)>(x: T, Aile: iset<iset<T>>)
  {
    exists S :: S in Aile && x in S
  }

  ghost predicate I1<T(!new)>(i: iset<T> -> iset<T>, X: iset<T>)
  {
    i(X) == X
  }

  ghost predicate I2<T(!new)>(i: iset<T> -> iset<T>, X: iset<T>)
  {
    forall A :: A <= X ==> i(A) <= A
  }

  ghost predicate I3<T(!new)>(i: iset<T> -> iset<T>, X: iset<T>)
  {
    forall A, B :: A <= X && B <= X ==> i(A * B) == i(A) * i(B)
  }

  ghost predicate I4<T(!new)>(i: iset<T> -> iset<T>, X: iset<T>)
  {
    forall A :: A <= X ==> i(i(A)) == i(A)
  }

  ghost function SabitNoktalar<T(!new)>(i: iset<T> -> iset<T>, X: iset<T>): iset<iset<T>>
  {
    iset A | A <= X && i(A) == A
  }

  ghost function Ic<T(!new)>(tau: iset<iset<T>>, A: iset<T>): iset<T>
  {
    Birlesim(iset B | B in tau && B <= A)
  }

  lemma SoruA<T(!new)>(X: iset<T>, i: iset<T> -> iset<T>)
    requires I1(i, X)
    requires I2(i, X)
    requires I3(i, X)
    ensures TopolojiMi(X, SabitNoktalar(i, X))
  {
    var tau := SabitNoktalar(i, X);
    
    assert i(X) == X;
    assert X in tau;
    
    BosKumeKapali(X, i);
    
    forall A, B | A in tau && B in tau
      ensures A * B in tau
    {
      KesisimKapali(X, i, A, B);
    }
    
    forall Aile | Aile <= tau
      ensures Birlesim(Aile) in tau
    {
      KeyfiBirlesimKapali(X, i, Aile);
    }
  }

  lemma BosKumeKapali<T(!new)>(X: iset<T>, i: iset<T> -> iset<T>)
    requires I2(i, X)
    ensures iset{} in SabitNoktalar(i, X)
  {
    var empty := iset{};
    assert i(empty) <= empty;
    assert empty <= i(empty);
    assert i(empty) == empty;
    assert empty <= X;
    assert empty in SabitNoktalar(i, X);
  }

  lemma KesisimKapali<T(!new)>(
    X: iset<T>, 
    i: iset<T> -> iset<T>, 
    A: iset<T>, 
    B: iset<T>
  )
    requires I3(i, X)
    requires A in SabitNoktalar(i, X)
    requires B in SabitNoktalar(i, X)
    ensures A * B in SabitNoktalar(i, X)
  {
    assert i(A) == A;
    assert i(B) == B;
    assert A <= X && B <= X;
    
    calc {
      i(A * B);
      { assert I3(i, X); }
      i(A) * i(B);
      A * B;
    }
    
    assert A * B <= X;
    assert A * B in SabitNoktalar(i, X);
  }

  lemma KeyfiBirlesimKapali<T(!new)>(
    X: iset<T>, 
    i: iset<T> -> iset<T>, 
    Aile: iset<iset<T>>
  )
    requires I2(i, X)
    requires I3(i, X)
    requires Aile <= SabitNoktalar(i, X)
    ensures Birlesim(Aile) in SabitNoktalar(i, X)
  {
    var U := Birlesim(Aile);
    
    Monoton(X, i);
    
    forall x | x in U
      ensures x in i(U)
    {
      var S :| S in Aile && x in S;
      assert S in SabitNoktalar(i, X);
      assert i(S) == S;
      assert x in S;
      assert S <= U;
      assert S <= X;
      assert U <= X;
      assert i(S) <= i(U);
      assert x in i(U);
    }
    assert U <= i(U);
    
    assert U <= X;
    assert i(U) <= U;
    
    assert i(U) == U;
    assert U in SabitNoktalar(i, X);
  }

  lemma Monoton<T(!new)>(X: iset<T>, i: iset<T> -> iset<T>)
    requires I3(i, X)
    ensures forall A, B :: A <= X && B <= X && A <= B ==> i(A) <= i(B)
  {
    forall A, B | A <= X && B <= X && A <= B
      ensures i(A) <= i(B)
    {
      assert A * B == A;
      
      calc {
        i(A);
        i(A * B);
        { assert I3(i, X); }
        i(A) * i(B);
      }
      
      assert i(A) * i(B) <= i(B);
      assert i(A) <= i(B);
    }
  }

  lemma SoruB<T(!new)>(X: iset<T>, i: iset<T> -> iset<T>, A: iset<T>)
    requires I1(i, X)
    requires I2(i, X)
    requires I3(i, X)
    requires I4(i, X)
    requires A <= X
    ensures var tau := SabitNoktalar(i, X);
            && i(A) in tau
            && i(A) <= A
            && (forall B :: B in tau && B <= A ==> B <= i(A))
            && i(A) == Ic(tau, A)
  {
    var tau := SabitNoktalar(i, X);
    
    assert i(i(A)) == i(A);
    assert i(A) <= X;
    assert i(A) in tau;
    assert i(A) <= A;
    
    Monoton(X, i);
    
    forall B | B in tau && B <= A
      ensures B <= i(A)
    {
      assert i(B) == B;
      assert B <= X;
      assert i(B) <= i(A);
      assert B <= i(A);
    }
    
    IcEsitligi(X, i, A);
  }

  lemma IcEsitligi<T(!new)>(X: iset<T>, i: iset<T> -> iset<T>, A: iset<T>)
    requires I1(i, X)
    requires I2(i, X)
    requires I3(i, X)
    requires I4(i, X)
    requires A <= X
    ensures i(A) == Ic(SabitNoktalar(i, X), A)
  {
    var tau := SabitNoktalar(i, X);
    var AcikAile := iset B | B in tau && B <= A;
    var ic := Ic(tau, A);
    
    assert i(A) in tau && i(A) <= A;
    assert i(A) in AcikAile;
    
    forall x | x in i(A)
      ensures x in ic
    {
      assert x in i(A);
      assert i(A) in AcikAile;
      assert BirKumedeVar(x, AcikAile);
      assert x in ic;
    }
    assert i(A) <= ic;
    
    forall x | x in ic
      ensures x in i(A)
    {
      var B :| B in AcikAile && x in B;
      assert B in tau && B <= A;
      assert i(B) == B;
      Monoton(X, i);
      assert B <= i(A);
      assert x in i(A);
    }
    assert ic <= i(A);
    
    assert i(A) == ic;
  }
}

Satranç tahtasında at ile bir koordinattan diğerine kaç hamlede gittiğimizin sayısı bir metrik midir?

Sat, 24 Jan 2026 07:30:50 +0000

Bana metrik gibi geldi acikcasi.
acikca simetrik ve pozitif.
Biraz el sallayaraktan soyle bir kanir fikrim var,
atin hamleleri ile gidebilecegi kareleri bir cizge gibi gorursek,
bir at ile tum satranc tahtasini dolasabildigimizi hatirlarsak, bu cizgenin bagli oldugunu goruruz
bagli cizgelerde iki kose arasindaki en kisa yok uzerindeki kose sayisinin metrik oldugunu hesaba katarsak (bunun sanirim sitede kaniti var)
bir sekilde kaniti bitirebiliriz gibi hissettim.

Eger bu dogru ise bu metrigin $\mathbb{R}^2$ analogu nedir?

Cevaplandı: ($0
Thu, 22 Jan 2026 14:44:40 +0000
(Bu soru, 1978 de, Romanya da yapılan (Türk takımının ilk kez katıldığı) IMO da sorulmuş.)
$0<n<m$ ve $1978^n$ ile $1978^m$ nin son 3 basamağı aynı olsun.
    Bu, $1000\mid (1978^m-1978^n)$ olması ve $1000\mid (1978^n(1978^{m-n}-1))$ olması demektir.
    $1000=2^3\cdot5^3$ olduğundan, $2^3\mid 1978^n$ ve $5^3\mid (1978^{m-n}-1) $ olmalıdır.
    İlki için, $n\geq3$ olması gerekli ve yeterlidir.
    İkinci kısım için:
    $5^3\mid (1978^{m-n}-1) $ olması $1978^{m-n}\equiv 1\ (\!\!\!\mod{125}) $ olmasına eşdeğerdir.
    $1978\equiv3\mod{5}$.
$3$ ün mod $5$ kuvvetleri:    $\overline{3},\overline{9},\bar{2},\bar{1}$
    Buradan, $4\mid m-n$ olması gerekdiği sonucuna varılır.
    $1978\equiv3\ (\!\!\!\mod{25})$, $3$ ün mod $25$ kuvvetleri:
        $\bar{3},\bar{9},\bar{2},\bar{6},\overline{18},\bar{4},\overline{12},\overline{11},\bar{8},\overline{-1},\overline{-3},\overline{-9},\overline{-2},\overline{-6},\overline{-18},\overline{-4},\overline{-12},\overline{-11},\overline{-8},\bar{1}$
    ($3$ ün $4k$ şeklindeki üslerini incelemek de yeterli olurdu.)
    Buradan, $20\mid m-n$ olması gerekdiği (ve $1978^{20}\equiv1\ (\!\!\!\mod25)$ olduğu) sonucuna varılır.
    Şimdi de $1978^{20}\equiv 1\ (\!\!\!\mod{125}) $ olup olmadığını kontrol edelim.
    ($1978\equiv -22\ (\!\!\!\mod 125)$) $(-22)^{20}= 22^{20}=2^{20}\cdot11^{20}$
    $2^{10}=1024\equiv 24\ (\!\!\!\mod125)\quad 2^{20}\equiv 24^2\equiv576\equiv 76\ (\!\!\!\mod125)$
    $11^{20}=121^{10}\equiv(-4)^{10}\equiv2^{20}\equiv76\ (\!\!\!\mod125)$
    $76^2=75^2+150+1\equiv 26\ (\!\!\!\mod125)$

$1978^{20}\equiv 26\ (\!\!\!\mod 125)$.   $1978^{20} $ mod $125$, $1$ e denk değil.
    Fakat $1978$ in bir kuvveti, mod $125$, $1$ e denk olmak zorunda
    ve $20$ nin katı şeklinde olup, bu üslerin en küçüğü ($125$ ile aralarında asal olan, $125$ den küçük doğal sayıların sayısı olan) $\phi(125)=5^3-5^2=100$ ü bölmelidir.

(Veya $100$ ü geçemeyeceği için, $1978^{40}$, $1978^{60}$,$1978^{80}$, mod $125$ hesaplanıp, $1$ e denk olmadıkları görülür.)
    Bu nedenle $m-n$ nin en küçük değeri $100$, $m+n$ nin en küçük değeri ise $106$ dir.

f : X →Y fonksiyonu, A1,A2 ⊆X ve B1,B2 ⊆Y olsun. Buna göre (a) A1 ⊆A2 ise f[A1] ⊆f[A2] olduğunu gösteriniz. (b) f−1[B1−B2] = f−1[B1]−f−1[B2] olduğunu kanıtlayınız.

Fri, 02 Jan 2026 19:55:14 +0000

f : X →Y fonksiyonu, A1,A2 &sube;X ve B1,B2 &sube;Y olsun. Buna göre
(a) A1 &sube;A2 ise f[A1] &sube;f[A2] olduğunu gösteriniz.
(b) f−1[B1−B2] = f−1[B1]−f−1[B2] olduğunu kanıtlayınız.

Cevaplandı: $\forall n\in\mathbb{N}\ (n>2)$ için, her terimi bir doğal sayının (birden büyük bir doğal sayı) üssü olacak şekilde $n$ terimli aritmetik dizi var mıdır?

Mon, 29 Dec 2025 07:06:10 +0000

$k$ uzunluğunda bir aritmetik dizimiz olsun: $a_{1}^{n_{1}},\ldots,a_{k}^{n_{k}}.$ Aradaki farka $d$ diyelim ve $N=\operatorname{ekok}(n_{1},\ldots,n_{k})$ olarak tanımlayalım. Bu durumda $(a_{k}^{n_{k}}+d)^{N}a_{1}^{n_{1}},\ldots,(a_{k}^{n_{k}}+d)^{N}a_{k}^{n_{k}},(a_{k}^{n_{k}}+d)^{N+1}$ dizisi $k+1$ uzunluğunda istenen şartları sağlar.

Örnek: $2^2$, $3^3$ ile başlarsak $50^6\cdot 2^2, 50^6\cdot 3^3, 50^7$ yani $(50^3\cdot 2)^2, (50^2\cdot 3)^3,50^7$ dizisi $d=23\cdot 50^6$ olacak şekilde bir aritmetik dizi verir.

Cevaplandı: Topoloji Elde Etme Yöntemleri-IV

Tue, 23 Dec 2025 18:04:01 +0000

$\mathbf{a)}$ $\tau$ ailesinin topoloji olma koşullarını sağladığını gösterelim.

$\mathbf{T_1)}$ İlk olarak $\emptyset,X\in \tau$ olduğunu gösterelim.

$\left.\begin{array}{rr} Fr(X\setminus X)=Fr(\emptyset)\overset{F_1}{=}\emptyset\subseteq \emptyset=X\setminus X \\ \\ \tau=\{A\subseteq X:Fr(X\setminus A)\subseteq X\setminus A\}.\end{array}\right\}\Longrightarrow X\in\tau.$

$\left.\begin{array}{rr} Fr(X\setminus \emptyset)\overset{F_2}{=}Fr(\emptyset)\overset{F_1}{=}\emptyset\subseteq X=X\setminus \emptyset \\ \\ \tau=\{A\subseteq X:Fr(X\setminus A)\subseteq X\setminus A\}\end{array}\right\}\Longrightarrow \emptyset\in\tau.$

$\mathbf{T_2)}$ $A,B\in\tau$ olsun. Amacımız $A\cap B\in\tau$ olduğunu göstermek.

$\left.\begin{array}{rr} A\in\tau\Rightarrow Fr(X\setminus A)\subseteq X\setminus A \\ \\ B\in\tau\Rightarrow Fr(X\setminus B)\subseteq X\setminus B\end{array}\right\}\Rightarrow $

$\Rightarrow Fr(X\setminus A)\cup Fr(X\setminus B) \subseteq (X\setminus A)\cup (X\setminus B)$

$\begin{array}{rcl} \Rightarrow Fr(X\setminus (A\cap B)) & = & Fr((X\setminus A)\cup (X\setminus B)) \\ \\ & \overset{F_5}{\subseteq} & Fr(X\setminus A)\cup Fr(X\setminus B) \\ \\ & \subseteq & (X\setminus A)\cup (X\setminus B) \\ \\ & = & X\setminus (A\cap B)\end{array}$

$\Rightarrow A\cap B\in \tau.$

$\mathbf{T_3)}$ $\mathcal{A}\subseteq \tau$ olsun. Amacımız $\bigcup \mathcal{A}\in\tau$ olduğunu göstermek.

Cevaplandı: Harmonik serinin (ilki dışında) kısmi toplamlarının tamsayı olmadığını gösteriniz.

Mon, 08 Dec 2025 06:16:53 +0000

Örnek olarak $$H_5=1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15$$ incelemesi yapalım. Bu durumda ($5$'ten küçün $2$'nin kuvveti $2^2$, bu nedenle $2^{2-1}$ ile çarparsak) $$2H_5=2+1+\frac23+\frac12+\frac25$$ bize $$-\frac12=-2H_5+2+1+\frac23+\frac25$$ olduğunu verir. (Rasyonel) $H_5$ tam sayı olsa sağ tarafı paydası tek olacak şekilde yazabiliriz. Bu bir çelişki verir.

Genel olarak $1<2^{k} \le n< 2^{k+1}$ ise
$2^{k-1}H_n$ hesaplaması ve
$H_n$ tam sayıdır kabulü ile
$-1/2$ yine paydası tek olacak bir şekilde yazılabilir oluyor.

Cevaplandı: $$\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{1}{\sin^2x}-\frac{1}{x^2}\right)=?$$

Sun, 23 Nov 2025 20:12:18 +0000

$f(x)=\frac1{\sin^2x}-\frac1{x^2}$ çift fonksiyon olduğundan $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)$ (ya da ikisi de yoktur).

$\lim_{x\to+\infty}\frac1{x^2}=0$ olduğundan $\lim_{x\to+\infty}\frac1{\sin^2x}$ i bulmak (veya var olmadığını göstermek) yeterlidir.
Bu limitin var olmadığı hızlıca şöyle gösterilebilir $\left(g(x)=\frac1{\sin^2x}\right)$:
$$a_n=\left\{\begin{array}{ccc} \frac {(n-1)\pi}4 & , & n\text{ çift} \\ \frac{n\pi}2 & , & n\text{ tek}\end{array}\right.$$ olsun. $\lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty$ olduğu açıktır (veya kolayca gösterilir). $\lim_{n\to+\infty}g(a_n)$ nin var olmadığını ($\pm\infty$ de olmadığını) göstereceğiz. Bu, $\lim_{x\to+\infty}\frac1{\sin^2x}$ in var olmadığını ($\pm\infty$ de olmadığını) göstermek için yeterlidir.
$$g(a_n)=\left\{\begin{array}{ccc} 2 & , & n\text{ çift} \\ 1 & , & n\text{ tek}\end{array}\right.=\frac32+(-1)^n\frac12$$ olur.
Buradan da, $\lim_{x\to+\infty}g(a_n)$ nin var olmadığı kolayca görülür/gösterilir.

Başka bir çözüm:

$a_n=\frac{(2n+1)\pi}2$ olsun. $\lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty$ ve $g(a_n)=1\Rightarrow\lim_{n\to+\infty}g(a_n)=1$

$b_n=\frac{(2n+1)\pi}4$ olsun. $\lim_{n\to+\infty}b_n=+\infty$ ve $g(b_n)=2\Rightarrow\lim_{n\to+\infty}g(b_n)=2$

$1\neq2$ olduğundan, $\lim_{x\to+\infty}g(x)$ var olamaz ($\pm\infty$ de olamaz)

Cevaplandı: Şekildeki çemberin yarıçapını bulunuz

Sun, 09 Nov 2025 14:01:26 +0000

Çözüm I:

$CP$ nin uzantısı çemberi $D$ noktasında kessin.

$PA \times PB = PC \times PD$ (P noktasına göre kuvvet uygulayalım.)

$6 \times 8 = 24 \times PD$

$PD = 2$

$AB$ nin orta noktası $E$ olsun ve $E$ den çizilen orta dikme $CD$ yi F ve çemberi $G$ de kessin.

Bu takdırde $EP = 1$ ve $PF = 2$ olur.($\triangle FEP \space\space 30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}$ üçgeni)

Çemberin merkezi $O$, $EG$ üzerınde olur.(kirişten çizilen orta dikme merkezden geçer.)

$OH \perp CD$ çizelim. Bu takdirde $DH = CH =13$ ve $FH=9$ olur.

$OH = 3\sqrt3$ ($\triangle OHC \space\space 30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}$ üçgeni)

$R^2 = OC^2 = OH^2 + CH^2$

$R^2 = (3\sqrt3)^2 + 13^2=196$

$R=14$

Çözüm II:

$\triangle ABC$ çizelim.

$AC^2 = 6^2 + 24^2 -2\times 6 \times 24 \times \cos 120^{\circ}$

$AC=6\sqrt 21$

$BC^2 = 8^2 + 24^2 -2\times 6 \times 24 \times \cos 60^{\circ}$

$BC=8\sqrt7$

$A(\triangle ABC)=\frac{14\times 6\sqrt{21} \times 8\sqrt7}{4R} = \frac{6 \times 24 \times \sin 120^{\circ} + 8 \times 24 \times \sin 60^{\circ}}{2}$

$R=14$

Çözüm III:

$BD \perp CD$ olacak şekilde $BD$ ve $CD$ yi çizelim.
$OG \perp AB$ ve $OF \perp CD$ çizelim.
Böylece $AG = BG, CF = HF$(Merkezden inilen dik, kirişi eşit böler)
$ED = 12, CD = 12\sqrt3$ ($\triangle CHO, 30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$, üçgenidir.

$DB = 4, \space EG = 1, OF=GD = 11$
$DB \cdot DA = DH \cdot DC$ (D noktasına göre kuvvet uygulayalım.)

$4 \cdot 18 = DH \cdot 12\sqrt3, \space \text{ve}, DH = 2\sqrt3$
$ CF = HF = 5\sqrt3$
$R^2 = (5\sqrt3)^2 + 11^2$
$ R = 14 $

Cevaplandı: Beş farklı asal sayının toplamı 100 ve çarpımı ABCABC şeklindedir. Bu asal sayıları bulunuz.

Fri, 31 Oct 2025 09:55:07 +0000

Sayıyı $$1001\cdot ABC=7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot ABC$$ olarak yazabiliriz.

$ABC$ toplamları $69$ olan iki asalın çarpımı. $69=2+67$ durumu sadece mümkün. Bu durumda istenen asallar $$2,7,11,13,67$$ olur.

Standart puanım 125 ortalama standart puan 84.54 en büyük standart puan 180 en düşük standart puan 50 ortalama ham puan 50.8 ham puan standart sapma puanı 29.9 100 üzerinden kaç puan almış oluyorum

Fri, 31 Oct 2025 07:14:23 +0000

Üniversite sınavı ile ilgili

Cevaplandı: $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ kuralı ile verilen $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ fonksiyonunun Lipschitz sürekli olduğunu gösteriniz.

Wed, 29 Oct 2025 19:52:23 +0000

Doğan hocamın yanıtına benzer bir yanıt da ben ekleyeyim:

$\begin{array}{rcl}|f(x)-f(y)| & = & \left|\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+y^2}\right| \\ \\ & = & \frac{|x-y||x+y|}{(1+x^2)(1+y^2)} \\ \\ & \leq & |x-y| \left(\frac{|x|}{(1+x^2)(1+y^2)}+\frac{|y|}{(1+x^2)(1+y^2)}\right) \\ \\ &\leq & |x-y| \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right) \\ \\ &=& |x-y| \end{array}$

olduğundan $K\geq 1$ seçilirse her $x,y\in\mathbb{R}$ için
$$|f(x)-f(y)|\leq |x-y|\leq K|x-y|$$ koşulu sağlanır. Yani $$(\exists K>0)(\forall x\in\mathbb{R})(\forall y\in\mathbb{R})(|f(x)-f(y)|\leq K|x-y|)$$ önermesi doğru olur. Dolayısıyla $f$ fonksiyonu $(\mathbb{R}$'de$)$ Lipschitz süreklidir.

$d(x,y)= \left|\frac1x - \frac1y\right|$ kuralı ile verilen $d: \mathbb N^2 \to \mathbb R$ metrik fonksiyon için $B\left(n, \frac1{n (n+1)}\right)=\{n\}$ olduğunu gösteriniz.

Tue, 30 Sep 2025 06:10:13 +0000

$d(x,y)= \left|\frac1x - \frac1y\right|$ kuralı ile verilen $d: \mathbb N^2 \to \mathbb R$ metrik fonksiyon için $B\left(n, \frac1{n (n+1)}\right)=\{n\}$ olduğunu gösteriniz.
_________________________________________

B(n,1/n.(n+1)) = { k eleman N : d(n,k)< 1/n.(n+1)}

İki durum çıkar

1) k=n

2) k>n k<n

Durumları incelicez

Denklik Bağıntısı

Mon, 29 Sep 2025 16:35:43 +0000

(G,•) bir grup olsun. Her a,b elemanı G için; a~b ancak ve ancak En az x elemanı G öyleki x*a*x üzeri -1 biçiminde tanımlanan ~ bir denklik bağıntı mıdır? e nin denklik kümesi nedir?

(Düşündüm fakat herhangi bir şey bulamadım hocamızda bunun gibi herhangi bir soru çözmedi. Denklik bağıntısı olması için yansıma simetri ve geçişme özelliği olması gerektiğini biliyorum ama nasıl çözücem bulamadım.)

Cevaplandı: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n! e^n}{n^n}$ serisi yakınsak mıdır? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Thu, 25 Sep 2025 13:58:48 +0000

$n>>1$ icin $n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{ n}{e}\right)^n$, Stirling yaklasimi kullanilirsa.

$\lim_{ n\to\infty} \dfrac{n!e^n}{n^n}=\lim_{ n\to\infty} \dfrac{\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{ n}{e}\right)^ne^n}{n^n}=\lim_{ n\to\infty} \sqrt{2\pi n}\neq0$ oldugundan, verilen seri iraksaktir.

Oran testinin islevsiz oldugu gorulebilir.

$\lim_{ n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n }=\lim_{ n\to\infty}\dfrac{(n+1)!e^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}\dfrac{n^n}{n!e^n}=\lim_{ n\to\infty}\dfrac{e}{(n+1)^n}\dfrac{n^n}{1}=\lim_{ n\to\infty}e\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n$

$\lim_{ n\to\infty}e\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^n=e\dfrac1e=1$ oldugundan, Oran testi ise yaramaz..

Sıklık oranı kullanarak yıllık stok yapmak istiyorum. Doğru veya değil yardımcı olabilir misiniz

Fri, 19 Sep 2025 07:31:28 +0000

Merhaba iyi günler, şimdi ben istatistik dersi falan almadım. Biraz araştırma yaptım.

Şimdi benim elimde ki veriler şöyle,

Bir firmanın vermiş olduğu üç farklı ürün var. A ürünü, B ürünü ve C ürünü olsun. Bu ürünler aylık siparişi genelde değişiyor. Ancak geçtiğimiz yıl toplamda; A ürününden 32, B ürününden 12, C ürününden 20 sipariş gelmiş.

Şimdi ben bunların sıklık oranı sayesinde ben yıllık stok yapmak istiyorum.

Şimdi benim hesabıma göre

toplam ürün sayım 64

A ürününün sıklık sayısı 32; oranı 0,5

B ürününün sıklık sayısı 12; oranı 0,1875

C ürününün sıklık sayısı 20; oranı 0,3125

Bu bilgilerden sonra şöyle bir yazı daha okudum.

"Yani, bir olayın ne sıklıkta gerçekleştiğini değil, toplam içindeki payını gösterir."

Zaten konuyu tam anlamamış olmakla beraber, elde ettiğim veriler aslında bana yıl içinde ne sıklıkta o üründen aldığımı göstermiş olmuyor mu?

Diğer bir soru egerim yukarıda ki cevabı olmuyor ise ne sıklıkta o üründen aldığımı nasıl elde edeceğim?

Cevaplandı: $$\int_ 0 ^1\frac{dx}{\sin^6 x + \cos^6 x} = ?$$

Mon, 25 Aug 2025 06:43:35 +0000

Her şeyden önce aşağıdaki iki eşitliği hatırlayarak başlamak muktezâyı tahlîle mutâbık olacaktır.
$$1+\tan^2 x =\sec^2 x$$
$$[\tan x]' =1+\tan^2 x =\sec^2 x$$

Şimdi, bizden cevabı istenen integralin pay ve paydasını $\cos^6 x$ ile bölelim. O halde,
$$\int \frac{\sec^6 x}{1+\tan^6 x} dx$$
integralini elde ederiz. Bu noktada, $\tan x =u$ değişken değiştirmesini yapalım. $\sec^2 x dx = du$ elde edilmiş olur. Ayrıca, $\tan x =u$ ise $\tan^2 x =u^2$ aynı zamanda $1+\tan^2 x =u^2 +1$ elde edilir. Diğer bir ifadeyle $\sec^2 x =u^2+1$ olarak yazılabilir. Yukarıdaki integrali $u$ değişkeninde aşağıdaki şekilde düzenleyebiliriz,
$$\int \frac{(\sec^2 x)^2 \sec^2 x}{1+(\tan x)^6}dx=\int \frac{(1+u^2)^2}{1+u^6}du$$
Bu aşamada pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım.
$$\int \frac{(1+u^2)^2}{(u^2)^3 +(1^2)^3}du = \int \frac{(1+u^2)(1+u^2)}{(1+u^2)(u^4-u^2+1)}du= \int \frac{1+u^2}{u^4-u^2+1}du$$
elde ederiz. Bir sonraki adım olarak hem payı hem de paydayı $u^2$ parantezine alalım.
$$\int \frac{u^2(1+\frac{1}{u^2})}{u^2(u^2-1+\frac{1}{u^2})}du=\int \frac{1+\frac{1}{u^2}}{u^2-1+\frac{1}{u^2}}du=\int \frac{1 + \frac{1}{u^2}}{(u-\frac{1}{u})^2+2-1}du$$
Paydadaki $u-\frac{1}{u}$ ifadesini $v$ değişkeni olacak şekilde integrali tekrar düzenleyelim. Bu durumda,
$$u-\frac{1}{u}=v \quad \Rightarrow \quad (1+\frac{1}{u^2})du=dv$$ elde ederiz.
O halde,
$$\int \frac{1}{v^2+1}dv=\tan^{-1} v + c, \quad c \in \mathbb{R}$$ olur.

Tüm değişkenleri sırasıyla yerine koyarsak, $(v=u-\frac{1}{u})$ ve $(u=\tan x)$
$$\int \frac{1}{\sin^6 x + \cos^6 x}dx =\tan^{-1} \left(\tan x - \frac{1}{\tan x} \right)+c, \quad c \in \mathbb{R}$$
Son olarak, 0'dan 1'e belirli integralini hesaplayacağız. Lakin burada 0 noktasında bir belirsizlik söz konusudur. Bu sebepten dolayı 0'a sağdan limitin olup olmadığı bizim için önemli olacaktır. İntegralin değeri,
$$\tan^{-1} \left( \tan 1 - \cot 1 \right)- \lim_{s \to 0^{+}} \tan^{-1} \left(\frac{\tan^{2} s -1}{\tan s} \right)$$
$$\tan^{-1} \left( \tan 1 - \cot 1 \right)- \tan^{-1} \left[ \lim_{s \to 0^{+}} \left(\frac{\tan^{2} s -1}{\tan s} \right) \right]$$
$$\lim_{s \to 0^{+}} \left(\frac{\tan^{2} s -1}{\tan s} \right) \quad \Rightarrow \quad -\frac{1}{0^{+}} =-\infty$$

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sin^6 x + \cos^6 x}dx = \tan^{-1} \left( \tan 1 - \cot 1 \right)- \lim_{w \to -\infty} \tan^{-1} w$$

Sonuç olarak,

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sin^6 x + \cos^6 x}dx = \boxed{\tan^{-1} \left( \tan 1 - \cot 1 \right)+\frac{\pi}{2} \approx \textbf{2.312}}$$

değeri bulunmuş olur.

Her pozitif $x$ gerçel ve her $n$ tamsayısı için $$e^x\ge \dfrac{x^n}{n!}$$ olduğunu gösteriniz.

Thu, 24 Jul 2025 19:03:47 +0000

Her pozitif $x$ gerçel ve her $n$ tamsayısı için $$e^x\ge \dfrac{x^n}{n!}$$ olduğunu gösteriniz.

Topologia uniferside bir ders

Fri, 18 Jul 2025 12:04:34 +0000

İnjeksiya (İnjeksiyon) - Surjeksiya (Sürjeksiyon) - Biyeksiya (Biyeksiyon) 1.f:R->R,f(x)=x^2

2.f:R->R,f(x)=Cosx

3.f:R->R,f(x)=2^x

4.f:R->[0,+sonsuz ) , f(x)=x^2

5,f:[0,pi]->[-1;1],f(x)=cosx cevabi nasi olmali

Yapay Zeka ve Türevleri ile ilgili kaynak önerisi.

Sun, 15 Jun 2025 20:35:37 +0000

Uzun bir aranın ardından herkese merhaba,umarım herşey yolundadır.

Yapay zeka ve öğrenme tekniklerinin ,matematik kısımlarıyla ilgili kaynaklar arıyorum ,başlık olarak bahsedecek olursak;

Deep Learning,Doğal Dil İşleme (Natural Language Processing - NLP),Reinforcement Learning
(dahada epey varmış,yapay zekaya sordum :)) )

cevapları beklemedeyim,herkese iyi çalışmalar .

$\alpha,\beta,\gamma, a,b,c\in\mathbb{R},$ $r>0$ ve $(\alpha-a)^2+(\beta-b)^2+(\gamma-c)^2=r^2$ olmak üzere $X=\{(x,y,z)~|~(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\}\setminus\{(\alpha,\beta,\gamma)\}$ kümesinden $\mathbb{R}^2$ kümesine birebir örten bir fonksiyon bulunuz.

Thu, 12 Jun 2025 11:07:30 +0000

$\alpha,\beta,\gamma, a,b,c\in\mathbb{R},$ $r>0$ ve $(\alpha-a)^2+(\beta-b)^2+(\gamma-c)^2=r^2$ olmak üzere $X=\{(x,y,z)~|~(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\}\setminus\{(\alpha,\beta,\gamma)\}$ kümesinden $\mathbb{R}^2$ kümesine birebir örten bir fonksiyon bulunuz.

Cevaplandı: $\alpha,\beta,a,b\in\mathbb{R},$ $r>0$ ve $(\alpha-a)^2+(\beta-b)^2=r^2$ olmak üzere $X=\{(x,y)|(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\}\setminus\{(\alpha,\beta)\}$ kümesinden $\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesine birebir örten bir fonksiyon bulunuz.

Wed, 11 Jun 2025 10:41:53 +0000

Çözüm stratejimiz şöyle olacak:

Merkezi $(0,r)$ ve yarıçapı $r$ olan bir çemberden $\mathbb{R}$ kümesine birebir örten bir fonksiyon yazmak zor değil. Bu yüzden verilen (bir noktası çıkarılmış) çemberi yani $$X=\{(x,y)~|~ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2\}\setminus\{(\alpha,\beta)\}$$ kümesini öncelikle merkezi orijin olacak şekilde öteleyerek $$X'=\{(x',y')~|~x'^2+y'^2=r^2\}\setminus \{(\alpha',\beta')\}$$ kümesine dönüştüreceğiz. Ardından $(\alpha',\beta')$ noktası, çemberin kuzey kutup noktası olacak şekilde orijin etrafında pozitif yönde döndürerek $$X''=\{(x'',y'') ~|~ x''^2+y''^2=r^2\}\setminus \{(\alpha'',\beta'')\}$$ kümesini elde edeceğiz. Bu adımdan sonra da yeni elde ettiğimiz çemberi $r$ birim kadar $y$ ekseni üzerinde pozitif yönde öteleyip $$X'''=\{(x''',y''') ~|~ x'''^2+(y'''-r)^2=r^2\}\setminus \{(\alpha''',\beta''')\}$$ kümesini elde edeceğiz. Bu durumda artık merkezi $(0,r)$ ve yarıçapı $r$ olan bir çember elde etmiş olacağız. Bu çemberden $\mathbb{R}$ kümesine birebir örten bir fonksiyon yazıp gerekli düzenlemeleri yaparak nihai fonksiyonu bulacağız.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
% Koordinat eksenleri
\draw[->, thick] (-1,0) -- (8,0) node[right] {$x$};
\draw[->, thick] (0,-1) -- (0,6) node[above] {$y$};
% Grid çizimi (isteğe bağlı)
%\draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);
% Merkez ve çember üzerindeki nokta
\coordinate (M) at (4,3);   % M(a,b)
\coordinate (P) at (5.6,4);   % (c,d)
\def\r{sqrt((4-2)^2 + (4-2)^2)} % r = sqrt(8)
\draw[dashed,blue] (M) -- (4,0);
\draw[dashed,blue] (M) -- (0,3);
\node[below] at (4,0) {$a$};
\node[left] at (0,3) {$b$};
\node[below left] at (0,0) {$0$};
% Çember
\draw[blue, thick] (M) circle[radius={1.900}];
% Yarıçap oku
%\draw[red, thick, line, -] (M) -- (P) node[midway, above right] {$r$};
\draw[blue, thick] (M) -- (P) node[midway, above left] {$r$};
% Nokta M ve etiketi
\fill (M) circle (2pt) node[below left] {$(a,b)$};
\fill[white, draw=black] (P) circle (3pt);
% Nokta (c,d) ve etiketi
\draw (P) circle (3pt) node[above right] {$(\alpha, \beta)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

1. Adım: Öncelikle çemberin merkezini orijine öteleyelim. Bu işlemi yaptığımızda aşağıdaki ilişkileri elde ederiz.

$$X'=\{(x',y')~|~ x'^2+y'^2=r^2\}\setminus \{(\alpha',\beta')\}$$
$$x'=x-a \quad \quad \alpha'= \alpha-a$$
$$y'=y-b \quad \quad \beta' =\beta-b$$

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
% Koordinat eksenleri
\draw[->, thick] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x'$};
\draw[->, thick] (0,-3) -- (0,3) node[right] {$y'$};
% Grid çizimi (isteğe bağlı)
%\draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);
% Merkez ve çember üzerindeki nokta
\coordinate (M) at (0,0);   % M(a,b)
\coordinate (P) at (1.680,0.900);   % (c,d)
\def\r{sqrt((4-2)^2 + (4-2)^2)} % r = sqrt(8)
% Çember
\draw[blue, thick] (M) circle[radius={1.900}];
% Yarıçap oku
\draw[blue, thick] (M) -- (P) node[midway, above left] {$r$};
% Nokta M ve etiketi
\fill (M) circle (2pt) node[below left] {$(0,0)$};
\fill[white, draw=black] (P) circle (3pt);
% Nokta (c,d) ve etiketi
\draw (P) circle (3pt) node[above right] {$(\alpha', \beta')=(\alpha-a,\beta-b)$};
% Merkezden sağ üst çeyreğe çizilen yarıçap ve açı
%\draw[thick] (0,0) -- (1.2,1);
\draw (0.25,0.15) arc[start angle=30, end angle=90, radius=0.3cm];
\node at (0.20,0.45) {$\theta$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

2. Adım: Ötelediğimiz çemberin $(\alpha',\beta')$ noktasını $y'$ eksenine gelecek şekilde döndürelim.

$$X''=\{(x'',y'')~|~ x''^2 + y''^2=r^2\} \setminus \{(\alpha'',\beta'')\}$$
$$x''=x' \cos\theta-y' \sin\theta\quad \quad\alpha''=\alpha'-a $$
$$y''=x' \sin\theta+y'\cos\theta\quad \quad \beta''=\beta'-b+r $$

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
% Koordinat eksenleri
\draw[->, thick] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x''$};
\draw[->, thick] (0,-3) -- (0,3) node[above] {$y''$};
% Grid çizimi (isteğe bağlı)
%\draw[step=1cm,grey,very thin] (-5,-5) grid (5,5);
% Merkez ve çember üzerindeki nokta
\coordinate (M) at (0,0);   % M(a,b)
\coordinate (P) at (0,1.900);   % (c,d)
\def\r{sqrt((4-2)^2 + (4-2)^2)} % r = sqrt(8)
% Yarıçap oku
\draw[blue, thick] (M) -- (P) node[midway, right] {$r$};
% Çember
\draw[blue, thick] (M) circle[radius={1.900}];
% Nokta M ve etiketi
\fill (M) circle (2pt) node[below left] {$(0,0)$};
\fill[white, draw=black] (P) circle (3pt);
% Nokta (c,d) ve etiketi
\draw (P) circle (3pt) node[above right] {$(\alpha'', \beta'')=(0,r)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

3. Adım: Döndürdüğümüz çemberi $y''$ ekseninde $r$ kadar öteleyelim.

$$X'''=\{(x''',y''')~|~ x'''^2+(y'''-r)^2=r^2\} \setminus \{(\alpha''',\beta''')\}$$
$$x'''=x''\quad \quad \alpha'''=\alpha''$$
$$y'''=y''+r \quad\quad \beta'''=\beta''+r$$

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
% Koordinat eksenleri
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x'''$};
\draw[->] (0,-1) -- (0,5) node[above] {$y'''$};
% Grid çizimi (isteğe bağlı)
%\draw[step=1cm, gray, very thin] (-5,-5) grid (5,5);
% Yeni merkez ve çember üzerindeki nokta
\coordinate (M) at (0,2);              % Yeni merkez: M(0,2)
\coordinate (P) at (0,4);            % Aynı yarıçapla yukarı taşındı (r=1.9)
\def\r{2}                            % r elle verilmiş
\node[below left] at (0,0) {$0$};
% Yarıçap oku
\draw[blue, thick] (M) -- (P) node[midway, right] {$r$};
% Çember
\draw[blue, thick] (M) circle[radius={\r}];
% Nokta M ve etiketi
\fill (M) circle (2pt) node[right] {$(0,r)$};
% Nokta (c,d) ve etiketi (içi boş noktaya dönüştürmek istersen \draw (P) circle (2pt); yaz)
\draw (P) circle (3pt) node[above right] {$(\alpha''', \beta''')=(0,2r)$};
\fill[white, draw=black] (P) circle (3pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

$$f''':X'''\to \mathbb{R}, \ \ f'''(x''',y''')=\dfrac{2rx'''}{2r-y'''}$$

$$f'':X''\to \mathbb{R}, \ \ f''(x'',y'')=\dfrac{2rx''}{2r-(y''+r)}=\dfrac{2rx''}{r-y''}$$

$$f':X'\to \mathbb{R}, \ \ f'(x',y')=\dfrac{2r(x' \cos\theta -y' \sin\theta)}{r-x' \sin\theta-y'\cos \theta}$$

$$f:X\to \mathbb{R}, \ \ f(x,y)=\dfrac{2r[(x-a)(\beta-b)-(y-b)(\alpha-a)]}{r^2-(x-a)(\alpha-a)-(y-b)(\beta-b)}$$

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
% Koordinat eksenleri
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x'''$};
\draw[->] (0,-1) -- (0,5) node[above] {$y'''$};
% Grid çizimi (isteğe bağlı)
%\draw[step=1cm, gray, very thin] (-5,-5) grid (5,5);
% Yeni merkez ve çember üzerindeki nokta
\coordinate (M) at (0,2);              % Yeni merkez: M(0,2)
\coordinate (P) at (0,4);            % Aynı yarıçapla yukarı taşındı (r=1.9)
\def\r{2}                            % r elle verilmiş
\node[below left] at (0,0) {$0$};
% Yarıçap oku
\draw[blue, thick] (M) -- (P) node[midway, right] {$r$};
% Çember
\draw[black, thick] (M) circle[radius={\r}];
%(0, 4) noktasından başlayıp negatif x eksenini kesen çizgi
\draw[thick, red, -] (0,4) -- (-3,-1);
% Nokta M ve etiketi
\fill (M) circle (2pt) node[right] {$(0,r)$};
% Nokta (c,d) ve etiketi (içi boş noktaya dönüştürmek istersen \draw (P) circle (2pt); yaz)
\draw (P) circle (3pt) node[above right] {$(0,2r)$};
\fill[white, draw=black] (P) circle (3pt);
% Koordinat eksenleri
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x'''$};
\draw[->] (0,-1) -- (0,5) node[above] {$y'''$};
% Koordinat eksenleri
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x'''$};
\draw[->] (0,-1) -- (0,5) node[above] {$y'''$};
% Yeni merkez ve çember üzerindeki nokta
\coordinate (M) at (0,2);              % Yeni merkez: M(0,2)
\coordinate (P) at (0,4);              % Çember üzerindeki nokta: (0,2r)
\def\r{2}                              % r elle verildi
\node[below left] at (0,0) {$0$};
% Yarıçap oku
\draw[blue, thick] (M) -- (P) node[midway, right] {$r$};
% Çember
\draw[black, thick] (M) circle[radius={\r}];
% Kırmızı çizgi: (0,4) noktasından başlayıp (-3,-1)'e giden
\draw[thick, red] (0,4) -- (-3,-1);
% Nokta M ve etiketi
\fill (M) circle (2pt) node[right] {$(0,r)$};
% Nokta (0,4) = (0,2r) ve etiketi
\draw (P) circle (3pt) node[above right] {$(0,2r)$};
\fill[white, draw=black] (P) circle (3pt);
% X eksenini kestiği nokta: yaklaşık (-1.2, 0)
\coordinate (A) at (-2.4, 0);
\fill (A) circle (2pt) node[below right] {$f(a,b)$};
% X eksenini kestiği nokta: yaklaşık (-1.2, 0)
\coordinate (A) at (-1.77, 1.05);
\fill (A) circle (2pt) node[right] {$(a,b)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Cevaplandı: $r$ pozitif bir irrasyonel sayı ve $0
Tue, 10 Jun 2025 20:16:22 +0000

$r>0$ irrasyonel, $0<a<b$ olsun. $m\in\mathbb{N}^+,\ \frac1m<\min\{a,b-a\}$ olacak şekilde seçelim.
    Çekmece-çorap (Güvercin yuvası) ilkesinden, ($\{z\}=z-\lfloor z\rfloor $ olmak üzere) $\{xr\},\{yr\}\in\left[\frac {i-1}m,\frac im\right]$ olacak şekilde bir $i\in\{1,2,\ldots,m\}$ ve farklı $x,y\in\mathbb{N}^+$ vardır. $x>y$ varsayabiliriz.

(Burada biraz Ekleme ve Düzeltme yaptım)

$\{xr\}>\{yr\}$ ise
    $r\notin\mathbb{Q}$ olduğundan $0<(x-y)r-s=ur-v<\frac1m\quad (s=\lfloor xr\rfloor-\lfloor yr\rfloor\geq0)$ olur.

$\{xr\}<\{yr\}$ ise
       $r\notin\mathbb{Q}$ olduğundan $-\frac1m<(x-y)r-s<0\ (s=\lfloor xr\rfloor-\lfloor yr\rfloor>0)$ olur.
   (Arşimet özelliğinden) bir $t\in\mathbb{N}^+$ için $-1<t((x-y)r-s)<-1+\frac1m $ olur. Bu durumda da
   $0<ts(x-y)r-(ts-1)=ur-v<\frac1m$ olur.

    $0<ur-v<a $ ve $0<ur-v<b-a $ olduğundan, (Arşimet özelliğinden)

bir $w\in\mathbb{N},\ (w\geq2)$ için $a<w(ur-v)=nr-k<b$ olur.

Cevaplandı: $2^n$, verilen herhangi bir ($0$ ile başlamayan) rakam dizisi ile başlayacak şekilde, bir $n$ doğal sayısının varlığını gösteriniz.

Sat, 07 Jun 2025 07:51:19 +0000

   Verilen sayıya $m\in\mathbb{N}^+$ diyelim.
   $2^n$ nin $m$ ile başlaması, bir $k\in\mathbb{N}$ için, $ m\,10^k\leq2^n<(m+1)10^{k}$ olması demektir.
   $10$ tabanında logaritma kullanırsak, bu eşitsizlik,
   $\log m\leq n\log2-k<\log(m+1)$ olması demektir.
   Burada, ($\log2>0$ ve irrasyonel olduğu için) $n\log2-k\in (\log m,\log(m+1))$ olacak şeklide en az bir çift $n,k\in\mathbb{N}$ vardır.

(Bu önermenin doğruluğununu, şu soruda göstereceğiz.). Bu $n$ için, $2^n,\ m$ ile başlar.

a,b,c elemanıdır Z,c<0 olsun. a
Sun, 25 May 2025 07:47:28 +0000
a,b,c elemanıdır Z,c<0 olsun. a<b ise bc<ac olduğunu gösteriniz

Cevaplandı: Polinomun Terim Sayısı Kavramı Üzerine

Tue, 20 May 2025 11:36:50 +0000
Lokman hocam şöyle diyebiliriz:

Monomial tanımını verip her polinom monomiallerin sonlu toplamı şeklinde ifade edilir deyip polinomda kaç tane monomial varsa polinomun terim sayısı da odur diyebiliriz.

Buna polinom kavramı, monomial kavramından önce veriliyor/tanımlanıyor gerekçesiyle veya başka bir gerekçeyle cebirci bir arkadaş itiraz edebilir. Bu kavramların hangisinin önce verildiğini/tanımlandığını ben de bilmiyorum. Ama muhtemelen monomial kavramı polinom kavramından önce geliyordur. En sağlıklı bilgiyi cebir alanında uzmanlaşmış bir hocamızdan alabiliriz diye düşünüyorum.

Buna göre de sıfır polinomunun terim sayısı sıfır olacaktır.

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\arctan\left(\frac{1}{n^2+3n+3}\right)}{\arctan\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)}=1$ olduğunu gösteriniz.

Thu, 08 May 2025 15:15:08 +0000
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\arctan\left(\frac{1}{n^2+3n+3}\right)}{\arctan\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)}=1$ olduğunu gösteriniz.

Stolz-Cesaro teoremini nedir? Bize ne söyler?

Thu, 08 May 2025 08:58:38 +0000
Stolz-Cesaro teoremini nedir? Bize ne söyler?

Cevaplandı: $(\arctan n)_n$ dizisi bir büzen dizi midir?

Thu, 08 May 2025 08:54:34 +0000
$(\arctan n)_n$ dizisinin bir büzen dizi olduğunu varsayalım. Bu durumda $$(\exists c\in (0,1))(\forall n\in\mathbb{N})(|x_{n+2}-x_{n+1}|\leq c\cdot |x_{n+1}-x_n|)$$ önermesi doğrudur yani öyle bir $c\in (0,1)$ vardır ki her $n\in\mathbb{N}$ için $$\left|\arctan(n+2)-\arctan(n+1)\right|\leq c\cdot |\arctan(n+1)-\arctan n|$$ yani $$\left|\arctan\left(\frac{1}{1+(n+1)(n+2)}\right)\right|\leq c\cdot \left|\arctan\left(\frac{1}{1+n(n+1)}\right)\right|$$ yani $$\frac{\arctan\left(\frac{1}{n^2+3n+3}\right)}{\arctan\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)}\leq c$$ koşulu sağlanır. Bu koşul her $n\in\mathbb{N}$ için sağlandığından $$1=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\arctan\left(\frac{1}{n^2+3n+3}\right)}{\arctan\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)}\leq \lim\limits_{n\to \infty}c=c$$ olmalıdır. Bu ise $c\in (0,1)$ ile çelişir. Demek   ki $(\arctan n)_n$ dizisi bir büzen dizi değilmiş.

Cevaplandı: $$\int\frac{x^2+x}{(e^x+x+1)^2}dx=?$$

Thu, 08 May 2025 07:40:25 +0000
$$\begin{array}{rcl} I & = & \int\frac{x^2+x}{(e^x+x+1)^2}dx \\ \\ & = & \int\frac{(e^x+x+1)x-xe^x}{(e^x+x+1)^2}dx \\ \\ & = & \int(\frac{(e^x+x+1)x}{(e^x+x+1)^2} - \frac{xe^x}{(e^x+x+1)^2})dx \\ \\ & = & \int(\frac{x}{(e^x+x+1)} - \frac{xe^x}{(e^x+x+1)^2})dx\end{array}$$ Bu satırdan sonra integralin içindeki bu iki terimin paydalarını $e^x$ parantezine alıp düzenleyelim.
$$\begin{array}{rcl} I & = & \int\frac{xe^{-x}}{(1+xe^{-x}+e^{-x})} - \frac{xe^{x}e^{-2x}}{(1+xe^{-x}+e^{-x})^2}dx \\ \\ & = & \int\frac{xe^{-x}}{(1+xe^{-x}+e^{-x})} - \frac{xe^{-x}}{(1+xe^{-x}+e^{-x})^2}dx \\ \\ & = & \int xe^x(\frac{1}{(1+xe^{-x}+e^{-x})} - \frac{1}{(1+xe^{-x}+e^{-x})^2})dx\end{array}$$ Şimdi değişken değiştirme metodunu kullanarak $$u=1+xe^{-x}+e^{-x}$$ dersek $$du=(e^{-x}-xe^{-x}-e^{-x})dx$$ yani $$-du=xe^{-x}dx$$ olacaktır. Buradan da
$$\begin{array}{rcl} I & = & \int-(\frac{1}{u}-\frac{1}{u^2})du \\ \\ & = & -\int(\frac{1}{u}-\frac{1}{u^2})du \\ \\ & = & -(\ln{|u|}-(\frac{-1}{u}))+C \\ \\ & = & -\ln{|u|}-\frac{1}{u}+C\end{array}$$ elde edilir.
$$u=1+xe^{-x}+e^{-x}$$ yazarsak
$$I=-\ln{|1+xe^{-x}+e^{-x}|}-\frac{1}{1+xe^{-x}+e^{-x}}+C$$ aradığımız integrali bulmuş oluruz.

$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{n! e^n}{n^n}$ serisi yakınsak mıdır? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Wed, 07 May 2025 12:20:17 +0000
$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{n! e^n}{n^n}$ serisi yakınsak mıdır? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Cevaplandı: $A\subseteq \mathbb{R},$ $f:A\to \mathbb{R}$ fonksiyon ve $c\in A\cap D(A)$ olsun. $$\max_{x\in A} f(x)=f(c)\Rightarrow f'(c)=0$$ olduğunu gösteriniz.

Tue, 06 May 2025 04:29:48 +0000

$f'(c)\neq 0$ olduğunu varsayalım. Bu durumda ya $f'(c)>0$ ya da $f'(c)<0$'dır.

I. Durum: $f'(c)>0$ olsun.

$f'(c)>0\Rightarrow \lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}>0$

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (\exists \delta >0)(\forall x\in B^*(c,\delta))\left(\frac{f(x)-f(c)}{x-c}>0\right) \\ \\ x\in (c,c+\delta)\cap A\Rightarrow x-c>0\end{array}\right\}\Rightarrow $

$\Rightarrow (\forall x\in (c,c+\delta)\cap A)(f(x)-f(c)>0)$

$\Rightarrow (\forall x\in (c,c+\delta)\cap A)(f(x)>f(c))$

elde edilir. Bu ise $$\max_{x\in A}f(x)=f(c)$$ olması ile çelişir.

II. Durum da, I. Duruma benzer şekilde yapılır.

Cevaplandı: Her yakınsak dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.

Mon, 05 May 2025 04:57:24 +0000
$(x_n)_n$ dizisi yakınsak bir dizi olsun. Amacımız $$(\forall \epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(m,n \geq K \implies |x_n - x_m|<\epsilon)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermek.

$\epsilon > 0$ verilmiş olsun. $(x_n)_n$ dizisi yakınsak olduğundan öyle $x \in \mathbb{R}$ sayısı vardır ki $x_n \to x$ olur. $x_n \to x$ ise $$n\geq K \implies |x_n - x | < \frac{\epsilon}{2} $$ koşulu sağlanacak şekilde en az bir $K\in\mathbb{N}$ vardır.

Buradan da $$m,n \geq K \implies |x_n - x_m|\leq | x_n - x| + |x - x_m |< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$ elde edilir. Verilmiş bir $\epsilon>0$ için $$m,n \geq K \implies |x_n - x_m|<\epsilon$$ koşulu sağlanacak şekilde en az bir $K\in\mathbb{N}$ sayısının var olduğunu yani $$(\forall \epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(m,n \geq K \implies |x_n - x_m|<\epsilon)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermiş olduk. Bu ise $(x_n)_n$ dizisinin bir Cauchy dizisi olduğu anlamına gelir.

Cevaplandı: Yakınsak dizilerin sınırlı olduğunu gösteriniz.

Sat, 26 Apr 2025 08:00:59 +0000
$(x_n)_n$ dizisi yakınsak olsun. $(x_n)_n$ dizisi yakınsak ise $x_n\to x$ olacak şekilde en az bir $x\in\mathbb{R}$ sayısı vardır.
$$x_n\to x$$ olduğuna göre $$(\forall \epsilon > 0)(\exists K \in \mathbb{N})(n\geq K \implies |x_n - x| < \epsilon)$$ önermesi doğrudur. Öte yandan
$$| x_n |=|x_n -x +x |\leq |x_n -x |+|x |$$ olduğundan verilmiş bir $\epsilon >0$ için $$n\geq K\implies | x_n |=|x_n -x +x |\leq |x_n -x |+|x |<\epsilon+|x|$$ olur. Bu ise $\epsilon +|x|$ sayısının $$\{x_K, x_{K+1},x_{K+2},\ldots \}$$ kümesi için hem bir alt sınır hem de bir üst sınır olduğu anlamına gelir. Yani söz konusu küme hem alttan hem de üstten sınırlı yani kısaca sınırlıdır. Şimdi $M$ gerçel sayısı
$$M:=\max \{| x_1 | ,| x_2 |,|x_3|, \ldots, |x_{K-1}|,\epsilon+|x|\}$$ olarak seçilirse her $n\in \mathbb{N}$ için $|x_n|\leq M$ koşulu sağlanır yani $$(\exists M>0)(\forall n\in\mathbb{N})(|x_n|\leq M)$$ önermesi doğru olur. Bu ise $(x_n)_n$ dizisinin sınırlı olduğu anlamına gelir.

Cevaplandı: Altın oran ve pi sayısı

Fri, 25 Apr 2025 11:18:43 +0000

$\pi<x<2\phi$ şartını sağlayan bir $x$ sayısı bulmaya çalışalım.

$2\phi=1+\sqrt 5\sim 3,23$ olduğu direkt hesapla görülebilir.

Lemma: Birim çembere teğet olan düzgün bir çokgenin alanı $$S_n=n\cdot tan(\dfrac {\pi}{n})$$ ile verilir.

Çemberin alanı onu çevreleyen çokgenin alanından açıkça küçük olacağından $\pi<S_n$ eşitsizliği barizdir. Ayrıca $n\to\infty$ iken $S_n\to\pi$ olur.

$n=6$ için denersek $x=S_6=2\sqrt 3>1+\sqrt 5$ olacağından istediğimiz eşitsizlik sağlanmaz.

$n=12$ için $x=S_{12}=12\tan 15=12(2-\sqrt 3)\sim3,215$ olup $\pi<x<2\phi$ eşitsizliği sağlanır. Dolayısıyla  $\pi<2\phi$ olmalıdır.

Cevaplandı: Fonksiyon ve Sıralama Bağıntısı İlişkisi

Fri, 25 Apr 2025 06:39:34 +0000
Tanım ve değer kümeleri bir sıralamaya izin veriyorsa, sıralamayı koruyan fonksiyonlarımız ve sıralamayı tersine çeviren fonksiyonlarımız vardır. Şu şekilde daha net ifade edebiliriz:

$(S,\preceq)$ sıralı bir küme olsun. Verilen bir $X$ kümesi ve $f:X\to S$ fonksiyonu için $X$ üzerinde bir sıralama $x_1\preceq x_2$ $\iff$ $f(x_1)\preceq f (x_2)$ şeklinde tanımlanabilir.

Cevaplandı: Euler'in Dörtgen Teoremi (Genelleştirilmiş Paralelkenar Kanunu) Kanıt

Fri, 18 Apr 2025 06:30:57 +0000

Çözüm: Lokman Gökçe

Euler'in kendi ispatını, çalışmasında kullandığı orijinal çizimiyle beraber sunacağız:

Teorem: $ABCD$ dörtgeninde $[AC]$, $[BD]$ köşegenlerinin orta noktaları sırasıyla $P$ ve $Q$ olsun. Bu durumda aşağıdaki bağıntı geçerlidir:

$$ |AB|^2 + |BC|^2 + |CD|^2 + |DA|^2 = |AC|^2 + |BD|^2 + 4|PQ|^2 .$$

İspat:  $ABCE$, $CDAF$ paralelkenarlarını çizelim. $P$, $[AC]$, $[BE]$, $[DF]$köşegenlerinin orta noktalarıdır. Böylece $PQ\parallel BF$, $|BF|=2|PQ|$ ve $PQ\parallel DE$, $|DE|=2|PQ|$ olur. Böylelikle $BDEF$ dörtgeni de bir paralelkenar olur. $CDAF$, $BDEF$, $ABCE$ dörtgenlerinde paralelkenar kanunu uygulanırsa,

$$
\begin{array}{rcl}
2(|CD|^2 + |DA|^2) & = & |DF|^2 + |AC|^2 \\
2(|AB|^2 + |BC|^2) & = & |AC|^2 + |BE|^2 \\
2(|BD|^2 + |DE|^2) & = & |DF|^2 + |BE|^2.
\end{array}
$$

Bu eşitliklerden (taraf tarafa ilk ikisini toplayıp üçüncüsünü çıkararak) $|AB|^2 + |BC|^2 + |CD|^2 + |DA|^2 = |AC|^2 + |BD|^2 + |DE|^2$ elde edilir. $|DE|=2|PQ|$ olduğu hatırlanırsa aranan eşitliğe ulaşılır.

Not: Buradaki $PQ$ uzunluğu, dörtgenin paralelkenara ne kadar benzediğinin bir ölçüsüdür. $PQ$ uzunluğu $0$ a yaklaştıkça dörtgen paralelkenara daha çok benzer.

Cevaplandı: Şekildeki çemberin yarıçapını bulunuz

Tue, 15 Apr 2025 07:08:26 +0000

Buradaki özellik kullanılırsa $$7\cdot 3=(7+3)\cdot r$$ $$r=2,1$$

Matematik Kafası - Yeni soru ve cevaplar

$\mathbb{L}=[(\mathbb{L},\oplus),\odot, (\mathbb{R},+,\cdot),\|\cdot\|_{\mathbb{L}}]$ normlu lineer uzay olmak üzere $\psi(\lambda,x)=\lambda \odot x$ kuralı ile verilen $\psi:\mathbb{R}\times \mathbb{L}\longrightarrow \mathbb{L}$ fonksiyonunun düzgün sürekli olmadığını gösteriniz.

Cevaplandı: $\mathbb{L}=[(\mathbb{L},\oplus),\odot, (\mathbb{R},+,\cdot),\|\cdot\|_{\mathbb{L}}]$ normlu lineer uzay olmak üzere $\psi(\lambda,x)=\lambda \odot x$ kuralı ile verilen $\psi:\mathbb{R}\times \mathbb{L}\longrightarrow \mathbb{L}$ fonksiyonunun sürekli olduğunu gösteriniz.

Verilen dizinin Cauchy dizisi olduğunu gösterebiliyorum ancak yakınsamadığını gösteremiyorum. Yardımcı olabilir misiniz?

Cevaplandı: Gerçel katsayılı polinomlar uzayında aşağıdaki dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.

Cevaplandı: 20x20lik bir matrisin özdeğer ve özvektörlerini C programında yazarak nasıl bulabilirim?

Cevaplandı: Bu şekiller bir noktaya büzülür mü?

Oyle sürekli bir fonksiyon $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 $ bulun ki, her $x\in\mathbb{R}^3 - \{0\}$ icin, $\langle x|f(x) \rangle = 0$ ve $f(x) \neq 0$ olsun

Cevaplandı: Ramanujan' ın "En kolay eşitliği"

Cevaplandı: Çocukların yaşlarını bulunuz

$1/x$ fonksiyonu üzerinde tam sayılar toplamını bulunuz

$\dfrac {d{(f(x) \cdot g(x))}}{dx} = \dfrac{df(x)}{dx}\cdot \dfrac{dg(x)}{dx}$

Olasılık sorusu

Cevaplandı: Topoloji Elde Etme Yöntemleri-I

Satranç tahtasında at ile bir koordinattan diğerine kaç hamlede gittiğimizin sayısı bir metrik midir?

f : X →Y fonksiyonu, A1,A2 ⊆X ve B1,B2 ⊆Y olsun. Buna göre (a) A1 ⊆A2 ise f[A1] ⊆f[A2] olduğunu gösteriniz. (b) f−1[B1−B2] = f−1[B1]−f−1[B2] olduğunu kanıtlayınız.

Cevaplandı: $\forall n\in\mathbb{N}\ (n>2)$ için, her terimi bir doğal sayının (birden büyük bir doğal sayı) üssü olacak şekilde $n$ terimli aritmetik dizi var mıdır?

Cevaplandı: Topoloji Elde Etme Yöntemleri-IV

Cevaplandı: Harmonik serinin (ilki dışında) kısmi toplamlarının tamsayı olmadığını gösteriniz.

Cevaplandı: $$\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{1}{\sin^2x}-\frac{1}{x^2}\right)=?$$

Cevaplandı: Şekildeki çemberin yarıçapını bulunuz

Cevaplandı: Beş farklı asal sayının toplamı 100 ve çarpımı ABCABC şeklindedir. Bu asal sayıları bulunuz.

Standart puanım 125 ortalama standart puan 84.54 en büyük standart puan 180 en düşük standart puan 50 ortalama ham puan 50.8 ham puan standart sapma puanı 29.9 100 üzerinden kaç puan almış oluyorum

Cevaplandı: $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ kuralı ile verilen $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ fonksiyonunun Lipschitz sürekli olduğunu gösteriniz.

$d(x,y)= \left|\frac1x - \frac1y\right|$ kuralı ile verilen $d: \mathbb N^2 \to \mathbb R$ metrik fonksiyon için $B\left(n, \frac1{n (n+1)}\right)=\{n\}$ olduğunu gösteriniz.

Denklik Bağıntısı

Cevaplandı: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n! e^n}{n^n}$ serisi yakınsak mıdır? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Sıklık oranı kullanarak yıllık stok yapmak istiyorum. Doğru veya değil yardımcı olabilir misiniz

Cevaplandı: $$\int_ 0 ^1\frac{dx}{\sin^6 x + \cos^6 x} = ?$$

Her pozitif $x$ gerçel ve her $n$ tamsayısı için $$e^x\ge \dfrac{x^n}{n!}$$ olduğunu gösteriniz.

Topologia uniferside bir ders

Yapay Zeka ve Türevleri ile ilgili kaynak önerisi.

$\alpha,\beta,\gamma, a,b,c\in\mathbb{R},$ $r>0$ ve $(\alpha-a)^2+(\beta-b)^2+(\gamma-c)^2=r^2$ olmak üzere $X=\{(x,y,z)~|~(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\}\setminus\{(\alpha,\beta,\gamma)\}$ kümesinden $\mathbb{R}^2$ kümesine birebir örten bir fonksiyon bulunuz.

Cevaplandı: $\alpha,\beta,a,b\in\mathbb{R},$ $r>0$ ve $(\alpha-a)^2+(\beta-b)^2=r^2$ olmak üzere $X=\{(x,y)|(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\}\setminus\{(\alpha,\beta)\}$ kümesinden $\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesine birebir örten bir fonksiyon bulunuz.

Cevaplandı: $2^n$, verilen herhangi bir ($0$ ile başlamayan) rakam dizisi ile başlayacak şekilde, bir $n$ doğal sayısının varlığını gösteriniz.

a,b,c elemanıdır Z,c<0 olsun. a Sun, 25 May 2025 07:47:28 +0000 a,b,c elemanıdır Z,c<0 olsun. a<b ise bc<ac olduğunu gösteriniz

Cevaplandı: Polinomun Terim Sayısı Kavramı Üzerine

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\arctan\left(\frac{1}{n^2+3n+3}\right)}{\arctan\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)}=1$ olduğunu gösteriniz.

Stolz-Cesaro teoremini nedir? Bize ne söyler?

Cevaplandı: $(\arctan n)_n$ dizisi bir büzen dizi midir?

Cevaplandı: $$\int\frac{x^2+x}{(e^x+x+1)^2}dx=?$$

$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{n! e^n}{n^n}$ serisi yakınsak mıdır? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Cevaplandı: $A\subseteq \mathbb{R},$ $f:A\to \mathbb{R}$ fonksiyon ve $c\in A\cap D(A)$ olsun. $$\max_{x\in A} f(x)=f(c)\Rightarrow f'(c)=0$$ olduğunu gösteriniz.

Cevaplandı: Her yakınsak dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.

Cevaplandı: Yakınsak dizilerin sınırlı olduğunu gösteriniz.

Cevaplandı: Altın oran ve pi sayısı

Cevaplandı: Fonksiyon ve Sıralama Bağıntısı İlişkisi

Cevaplandı: Euler'in Dörtgen Teoremi (Genelleştirilmiş Paralelkenar Kanunu) Kanıt

Cevaplandı: Şekildeki çemberin yarıçapını bulunuz

a,b,c elemanıdır Z,c<0 olsun. a
Sun, 25 May 2025 07:47:28 +0000
a,b,c elemanıdır Z,c<0 olsun. a<b ise bc<ac olduğunu gösteriniz