Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
144 kez görüntülendi
Öncelikle merhaba. Hocam bana bir araştırma sorusu sordu. Soru yukardaki gibi. Ancak sorunun cevabını çıkartamadım.
Öncelikle tüm altgrupları devirli fakat kendisi devirli olmayan bir gruptan yola çıkayım dedim. Aklıma ilk olarak S3 permütasyonlar grubu geldi. Tüm altgrupları devirli fakat kendisi devirli değil. Yine de tüm elemanlarının mertebesi sonlu olduğu için sorumun bir yanıtı olmadı. Ondan sonra  Zp∞ grubunu düşündüm. Onun da tüm altgruplarının devirli olduğunu fakat kendisinin devirli olmadığını gördüm. Fakat yine de her m/(p^s)+Z elemanı için p^s'in bu elemanın mertebesi olduğu izlenimi oluştu bende.
Lisans Matematik kategorisinde (42 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 144 kez görüntülendi
Sanırım bir örnek verebildim. 2x2'lik determinantı sıfırdan farklı reel matrislerin çarpma işlemi ile oluşturduğu grup için(genel lineer grup);
A11=0, A12=1, A21=1, A22=0 olacak şekilde bir A matrisini düşünürsek, o(A)=2 olur. Dolayısıyla A, T(G)'nin bir elemanıdır. Yani T(G), birim matristen farklıdır. Ancak genel lineer grupta mertebesi sonsuz olan herhangi bir eleman bulunup T(G)nin G'den farklı olduğu gösterilebilir.(Örneğin; B11=1, B12=1, B21=0, B22=1 olacak şekilde bir B matrisi)
T(G) nın bir alt grup olduğunu gösterebilir misin?
a ve b T(G)'nin elemanları olsun. O zaman a ve b nin mertebeleri sonludur. o(a)=m ve o(b)=n diyelim.
m.n.(a-b)=m(na-nb)=m(na)=n(ma)=0 olur. Dolayısıyla o(a-b) m.n'i böler. m ve n sonlu olduğu için o(a-b)'de sonludur. Dolayısıyla a-b T(G)nin bir elemanıdır.
Grubun, Abelyen (değişmeli) olduğunu belirtmeyi unutmuşsun.
Evet hocam haklısınız. Grup değişmeli idi. Yazmayı unutmuşum. Bir şey daha aklıma takılmaya başladı.
Mesela bir değişmeli G grubunda hem sonlu mertebeli hem mertebeleri sonlu olmayan elemanlar olsun. Sonlu mertebeli elemanların bir altgrup oluşturduğunu biliyoruz. Acaba mertebeleri sonlu olmayan elemanlar da bir altgrup oluşturur mu?
Son yorumda yazdıkların, sorduğun sorunun çözümünü (neredeyse) vermiyor mu?
Bir şeyler deniyorum kendi kendime ama anlamlandıramıyorum.
Mertebeleri sonlu olmayan elemanlar bir altgrup oluşturuyorsa o altgrubun ya sadece birimden oluşması ya da grubun kendisi olması kanısındayım. Ama bunu gösteremedim.
Mertebesi  sonlu olan, birim elemandan farklı bir eleman varsa, $T(G)=\{e\}$ ($e$, grubun birim elemanı) olabilir mi?

Mertebesi sonsuz olan en az bir eleman varsa $T(G)=G$ olabilir mi?
Tam anlayamadım hocam. Mertebesi sonlu olan, birim elemandan farklı en az bir eleman varsa T(G) o elemanı içermez mi? Yani T(G) birimden farklı olmaz mı?
@utkufidan,

sen böyle bir grup olMAdığına inanıyorsun sanırım.
Hayır. Sadece şunu söylüyorum. "Mertebesi sonlu olan, birim elemandan farklı bir eleman varsa T(G) birim elemana eşit olabilir mi?" yazmışsınız. Ben de T(G) G'nin sonlu mertebeli elemanlarından oluştuğu için, o kastettiğimiz elemanı içerir diyorum.
Ancak benim düşüncem şu. Mertebesi sonsuz olan elemanlardan oluşan alt küme bir altgrup oluşturuyorsa bu grup ya birim elemandan oluşur ya da G'nin kendisidir. Ama emin değilim.
"Mertebesi sonsuz olan elemanlardan oluşan alt küme bir altgrup oluşturuyorsa bu grup ya birim elemandan oluşur ya da G'nin kendisidir."

 da başka bir soru değil mi?

Direkt toplam (veya çarpım) nedir biliyor musun?
Birim elemanın mertebesi sonlu olduğuna göre, mertebesi sonsuz olan elemanlar alt grup oluşturabilir mi?
19,427 soru
21,159 cevap
70,938 yorum
25,688 kullanıcı