Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
303 kez görüntülendi

Merhaba, Posner'ın asal halkalarda türevler adlı makalesine çalışırken Lemma2 ve Lemma3'teki ispatlarının bazı geçişlerini anlayamadım. O yüzden size sormak istedim. Ayrıca makalede sorularım ile ilgili kısımları resim olarak yükleyip işaretledim.
1)Lemma2'de qatr=0 ve qaqaq=0 sonucuna nasıl ulaşabiliyoruz?
2)Lemma3'te dikdörtgen içine aldığım kısımla ilgili hiçbir şey anlamadım.
Not: Lemma3'te geçen Teorem1:R, karakteristiği 2'den farklı olacak şekilde bir asal halka, d1 ve d2 de R üzerinde iki türev olsun. d1d2 de R üzerinde bir türevse d1 ve d2'den en az biri sıfırdır.

Akademik Matematik kategorisinde (42 puan) tarafından  | 303 kez görüntülendi
Okudukça yazacağım.

Hiç sevmiyorum böyle okuyucuya düşman yazanları. Uzun uzun açıklaya açıklaya yazsa hepimiz anlayacağız rahatlıkla. Bunlara hakemler nasıl müsaade ediyor anlamıyorum.

Lemma'nın hipotezine göre her $a$ için $paqar = 0$ olmalı. Dolayısıyla, her $at$ için de $patqatr=0$ olmalı. Oradaki $qatr$ buradan geliyor.
1957'de basılmış gerçi, o zamanların hakemlerine çatayım.
$qaqaq$ kısmını çözemiyorum ben de.

$qaqar = 0$ olduğunu söyleyebilmek için $paqar=0$ olduğunu kullandı. Eğer $paqar =0$ ise ya $p$, ya $r$ ya da $qaqar = 0$ dedi.

$qaqaq=0$ olduğunu söylemek için $paqaq=0$ olduğunu kullanmak gerekiyor diye anlıyorum (similarly dediği için) ama bu neden doğru göremiyorum.
Kanıtı neden bu kadar uzattığını da anlayamadım Lemma 2 için.

Her $a$ için $paqar=0$ oluyorsa ya $p$, ya $r$ ya da $qaqar$ sıfır olmalı. Buraya kadar tamam. Buna Lemma 1.5 diyelim. Eğer $p$ ve $r$ sıfır değilse Lemma 1.5'u $qaqar$'a uygulayamaz mıyım?

Edit: anladım, uygulayamam.
Gerçekten dediğiniz gibi okuyucuya ızdırap çektirebiliyor. Ama şimdi anladım neden qatr=0 olduğunu. Çok teşekkür ederim.
Ben de biraz ara vermiştim. Tekrardan bakacağım, qaqaq kısmına ve Lemma3'e. Eğer ben de ilerleme kaydedebilirsem paylaşırım.
Bir şeyler denedim kendi kendime ama. Bir de size sorayım.
pa=0 ise p=0 ve ya r=0 ve ya qa=0 olduğunu bulmuştuk. Bu ise her a için geçerliydi.
o zamanp(aqaq)=0 olmalı.(aqaq R nin elemanı) Yani pa=0 ise paqaq=0 ise p=0 ve ya qaqaq=0 olur. O zaman pa=0 ise p=0 ve ya r=0 ve ya qaqaq=0 diyebiliriz diye düşündüm.
Siz ne düşünüyorsunuz acaba?
O zaman p(aqaq)=0 olmalı kısmını anlayamıyorum.

p(aqar)=0 olması hipotezden geliyor. Dolayısıyla qaqar=0 dediği kısma kadar anlayabiliyorum. Ama p(aqaq)=0 neden? Bunu görebilsem sana katılıyorum.
Evet orda ben de orayı tam anlamlandıramadım kafamda. pa=0 olmasını aslında bir nevi kullanıyoruz, sonrasında a yerine aqar yazıp hipotezimiz olan paqar=0 ise diye devam edebiliyoruz.
Ancak a yerine aqaq yazıp paqaq=0 ise diye devam edersek bu sefer kesinlikle pa=0 olmalı. Burası kafamı karıştırıyor benim de.
Şu anda elimde kağıt kalem yok, kafamdan yapmayı da beceremedim. Ama şunu yapmayı bir denesen:

* eğer pa=0 ise p=0 veya r=0 veya qa=0 olmalı yerine

** eğer ar=0 ise p=0 veya r=0 veya aq=0 olmalı.

Bu doğru mu bilmiyorum ama sanki benzer şeyleri yapsak doğru olacak gibi hissediyorum.

Eğer ** doğruysa (qaqa)r=0'dan yola çıkarak ve **'ı kullanarak qaqaq=0 elde edebiliyoruz.
Şimdi denedim. Dediğiniz gibi oluyor. ar=0 olursa paqbr=0 olmlı. O zaman paq=0 ve ya r=0 olmalı.
a yerine ta yazalım. tar=0 ise ptaq=0 ve ya r=0 olmalı. Her t için sağlandığından asal halka tanımından
p=0 ve ya aq=0 ve ya r=0 olmalı.
Yani ar=0 ise p=0 ve ya r=0 ve ya aq=0 olmalı.  a yerine qaq yazarsak istediğimiz sonuca ulaşıyoruz.
Çok teşekkür ederim.
Ancak birkaç bir şey denerken şöyle bir çıkarımd bulundum.
Buraya gelmeden önce paqar=0 ise p=0 ve ya r=0 ve ya qaqar=0 olduğunu bulmuştuk.
sonra p ve r nin sıfırdan farklı olduğunu kabul ediyoruz. Yani qaqar=0 eşitliği her a için sağlanmalı. o zaman asal halka tanımından qaq=0 ve ya r=0 her a için sağlanmalı. Fakat r nin sıfırdan farklı olduğunu kabul etmiştik. O zaman qaq=0 eşitliği her a için sağlanmalı. Tekrar asal halka tanımından q=0 olmalı diyebilir miyiz sizce?
Böyle bir şeyler denedim ancak bu sefer qaqaq=0 eşitliğine hiç girmedim.
Yaşasın!

Benim de kafam karıştı son söylediğin şeyde en başta ama yazarken farkettim hatamı. Asal halka tanımı şu: x ve z SABIT kalmak şartıyla her y için xyz=0 oluyorsa ya x=0 ya da z=0 olur. qaqar eşitliği her a için sağlanıyor ama burada qaq da her a ile birlikte değişiyor, sabit kalmıyor. Dolayısıyla, qaq=0 diyemeyiz.
Evet şimdi anladım. Bu kadar ufak noktaları kaçırınca kendi kendime çok sinir oluyorum gerçekten. Gerçi siz söylemeden önce ufak sayılmazdı, gösterdikten sonra ufacık gelmeye başlıyor insanın gözüne :) Ama doğru olduğunu sayenizde gösterdik ve şu an inanılmaz mutlu ediyor bu beni. Çok teşekkür ederim gerçekten.
Lemma3'e bakabildiniz mi peki?
Evet o ufak noktalar anca ne kadar ufak olduklarını görünce ufak oluyorlar, yoksa ufak değiller :)

Lemma 3'te o dikdörtgen çok büyük. Hiç mi bir şey anlamadın? Inner derivation ne demek biliyor musun?
Aslında halkalarda türevler konusu ile ilgili ilk defa çalışıyorum. O yüzden bilgim çok kısıtlı. Ancak inner derivation, bildiğim kadarıyla örneğin bir x elemanı için inner derivation(S diyelim) R'den R'ye bir türev, S(a)=ax-xa ile tanımlı(her a için) diye biliyorum. Ancak notasyonlar ve ingilizcem biraz zayıf olduğu için, pek anlamlandıramıyorum.
Mesela, her x için x'in inner derivation'unun karesi(ya da anladığım kadarıyla x'e göre inner derivation d olmak üzere d(d(x)) ) neden 0? Karakteristik 2 iken d(x) neden R'nin merkezinde?(Neden değişmeli?)
Arada köfte yapıyordum unuttum cevap yazmayı.

Ben genelde a'ya göre inner türev için $d_a, \delta_a$ ya da burada Türkçe konuşuyoruz $T_a$ kullanıyorum. Kuralı $T_a(x) = ax - xa$ ile veriliyor. (Duruma göre bazen $T_a(x) = xa - ax $ olarak da tanımlanabiliyor, bir eksi işareti farkla). Bu notasyonun güzel yanı neyin sabit neyin değişken olduğunu daha rahat görebilmeni sağlaması.

Şimdi şöyle güzel bir şey var: $$x \in \mathrm{ker}T_a \iff ax = xa$$ buradan da $$T_a \equiv 0 \iff a \in Z(R)$$ olduğu çıkıyor. (Karakteristik 2 olmadığını varsayıyorum).
Şimdi notasyon biraz salça olacak ama we find that ile başlayan cümleyi bu notasyon ile

"$d(x)$ and $T_{d(x)}(a)$ commute" diye devam ettirebilirim.

Sonra da bunu

$T_{d(x)}(a) \in \mathrm{ker} T_{d(x)}$ şeklinde yazabilirim, ya da $a \in \mathrm{ker} T_{d(x)}^2$ şeklinde yazabilirim. Bu her $a$ için doğru olduğu için de $T_{d(x)}^2\equiv 0$ olur.
Ben de biraz erken uyumuşum, kusuruma bakmayın cevap veremedim. Söyledikleriniz üzerine biraz uğraştım. Gerçekten çok teşekkür ederim. Mantığıma yatıyor artık yavaş yavaş. Birazdan tekrar başına geçeceğim makalenin. Anlamlandıramadığım yerler olursa tekrardan burdan dönüş sağlarım. Çok teşekkür ederim ilginize.
Peki d(x)'in merkezde olduğunu nasıl söyleyebiliyoruz? Anladığım kadarıyla d(x)'in merkezde olabilmesi için Td(x)'in 0 olması gerekiyor. Ancak biz T^2d(x)'in 0 olduğunu gösteriyoruz.
Özür dilerim. Sanırım şimdi anladım. Td(x) bir türev. T^2d(x)'te bir türev oluyor anladığım kadarıyla. Teorem 1 ise 2 türevin çarpımı da bir türev ise en az biri 0'dır diyor. Buna göre Td(x)'in 0 olması gerekiyor. Ancak eğer bu doğruysa şimdi T^2d(x)'in de R üzerinde bir türev olduğunu göstermem gerek :)
$T^2_{d(x)}= 0$ olduğunu gösterdik. Sıfır fonksiyonu bir türev. Bitti.
Evet, haklısınız. Dediğinizi uzunca bir süre T^2d(x)'in türev olduğunu gösteremedikten sonra farkedip not etmiştim dediğinizi. Makaleye çalışmaya dalmaktan cevap vermeyi unutmuşum. Çok teşekkür ederim tekrardan. Artık her şey daha anlamlı olmaya başladı benim için makalede :)
19,465 soru
21,188 cevap
71,108 yorum
27,051 kullanıcı