Question

Genel terimi $x_n=\ln n$ olan $\langle x_n\rangle$ gerçel sayı dizisinin sınırlı olmadığını gösteriniz.

Answer 1

S herhangi bir pozitif reel sayı olsun. n ve m birer doğal sayı olmak üzere n > S ve m > e^n ise ln(m) > ln(e^n) = n > S ve dizinin m. terimi böylelikle verilen sınırı geçer. Dizi sınırlı olamaz.

Answer 2

$\langle \ln n\rangle$ dizisinin sınırlı olduğunu varsayalım.

$$\langle \ln n\rangle \text{ sınırlı}\Rightarrow (\exists M>0)(\forall n\in\mathbb{N})(\ln n\leq M)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\exists M>0)(\forall n\in\mathbb{N})\left(n\leq e^M\right)$$

$$\Rightarrow$$

$$ e^M, \ \mathbb{N}\text{'nin üst sınırı}$$

Bu ise doğal sayılar kümesinin üstten sınırlı olmaması ile çelişir.