Simetrik grubu kullanarak sayma

1 beğenilme 0 beğenilmeme
174 kez görüntülendi

$k$ pozitif tamsayısı için $p(k)$ sayısı $S_k$ içinde sabit noktası olmayan permütasyonların sayısı olsun. Bu durumda $$\sum_{a=0}^n\binom{n}{a}p(n-a)=n!$$eşitliğinin sağlandığını gösterin.


İpucu: $g\in S_n$ için $a(g)$, $g$'nin sabit bıraktığı noktalar sayısı olsun.

23, Kasım, 2016 Akademik Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,246 puan) tarafından  soruldu
23, Kasım, 2016 Safak Ozden tarafından düzenlendi

Safak Ozden hocam $p(0)=p(1)=0$, değil mi?

Sıfır elemanlı bir küme üzerindeki permütasyonların sayısı sıfır. O halde p(0)=0 olmalı. Diğeri de tanımdan çıkıyor. Evet haklısın yani.

Bence  $p(0)=1$ olmalı.(Sanırım ispatta birim permütasyona karşı gelecek)

(Ek 1: http://matkafasi.com/4/%240-%24-neden-1e-esit den $0!=1$ )

Ek 2: $p(0)=0$ olsa, eşitlik  $n=1$ için yanlış olur.

İpucu: $g\in S_n$ için $g$ nin $a$ tane sabit noktası varsa, $g$ yi $S_{n-a}$ nın  sabit noktası olmayan bir elemanı olarak düşünebiliriz.

Tümevarımda ilk adım nedir?

Tümevarıma gerek yok. Simetrik grubun elemanlarını ayıklayacaksın.

Şimdi fark ettim, Doğan hoca zaten nasıl ayıklayacağını da yazmış bir önceki notunda.
...