$\mathbb{R^n}$ üzerindeki standart skaler çarpma non-dejenere skaler çarpma mıdır?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
32 kez görüntülendi

$\mathbb{R^n}$ , $\mathbb R$ üzerine bir vektör uzayı olsun.

$(x_1,x_2,. . . , x_n),(y_1,y_2,. . . y_n) \in \mathbb{R^n}$ olsun.

$\mathbb{R^n}$' de bir skaler çarpma şöyle tanımlansın:

$<(x_1,x_2,. . . , x_n),(y_1,y_2,. . . y_n)>$ = $(x_1,x_2,. . . , x_n) \cdot (y_1,y_2,. . . y_n)$ = $x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n$

$Tanım$: Eğer bütün elemanlarla skaler çarpımı $0$ olan tek eleman $0$ ise bu skaler çarpmaya non-dejenere  diyelim.

$Soru$: Yukarıda tanımlanan skaler çarpma non-dejeneredir. Neden?

10, Kasım, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Cagan Ozdemir (620 puan) tarafından  soruldu

$(x_1, \ldots, x_n)$ vektörü bütün elemanlarla skaler çarpıma girdiğinde sıfır veriyorsa, standard baz elemanları ile skaler çarpıma girdiğinde de sıfır vermeli.

Pek tabii... Çok kolay olmuş.

Ayrıca çarpım Lorentz iç çarpım olarak tanımlansaydı dejenere bir iç çarpım olurdu.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

 Diyelim ki değil, o zaman bir $0 \neq (x_1,\dots,x_n) =x \in \mathbb{R^n}$ var öyle ki her $z \in \mathbb{R^n}$ için $<x,z>=0$. 
 $z_1 = (1,0,0,\dots,0) \in \mathbb{R^n}$ alalım.
$<x,z_1> = 0 \implies x_1 = 0'$. Benzer şekilde $k=2, \dots, n$ için $<z,x_k>$ çarpımlarına bakarsak $x_k = 0'$ elde ederiz.
$\implies x= 0$, çelişki.

Yazıda $0 \in  \mathbb{R^n}$ ve $0' \in  \mathbb{R}$, bizim sıfır.

10, Kasım, 2016 Kirmizi (468 puan) tarafından  cevaplandı
10, Kasım, 2016 Kirmizi tarafından düzenlendi

Eline sağlık @kirmizi hocam

...