Tam sayı katsayılı $n.$ dereceden bir polinomun $mod(m)$'de en fazla kaç tane kökü olabilir?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
130 kez görüntülendi

Burada $mod(m)$'de $1$'i ve $(m+1)$'i aynı eleman olarak görelim. Yani $mod(m)=\{1,2, . . . , (m-1)\}$. Üstlerine şapka da koymadım, gerek yok.


Tabii ki en fazla $m$ tane vardır. Ancak bundan daha gelişmiş, belki $n$ ve $m$ tarafından belirlenen bir kök sayısı bulabilir miyiz?

9, Kasım, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Cagan Ozdemir (677 puan) tarafından  soruldu

ben de soruyordum onerılenlerden bu çıktı, çözümü var mı sende Çağan?

Valla ben de tuhaf bir yerde görmüştüm, cevabı yoktu sanki. Ben de çözemedim

Hatırladım, geçen dönem number theory dersinde hoca sormuştu

cebır calısırken aklıma geldı benım sorum da şu,

$\mathbb{R,Q,N,Z}$ de n dereceden denklemın en fazla n kökü olabılırken moduler sıstemlerde neden bu degışıyor? mısal $x^2+x$ mod 6 da 4 kökü var

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

m bir asal sayi ise en az sıfır, en fazla m ve n 'nin minimumu kadar kök  vardir. 

m bileşik sayı ise, örneğin m = (p1^a1) * (p2^a2) * (p3^a3)

Polinomun mod p1'de k1 tane, mod p2'de k2 tane, ve mod p3'de k3 tane kökü olsun; toplam kök sayısı = k1*k2*k3 tür. 

k'lardan herhangi bir tanesi sıfır ise, tüm çarpım da sıfır olur. Dolayısı ile polinomun kökü de yoktur.

Burada p1,p2,p3 asal çarpanlar, a1, a2 ve a3 asal çarpanların üstsel kuvvetleridir. Kuvvetlerin 1 veya daha büyük değer almalarının kök sayısına hiçbir etkisi yokur.   




28, Aralık, 2018 ozgur.ozc (20 puan) tarafından  cevaplandı

Asal çarpanların kuvvetlerinin kök sayısına etkisi yoktur demişsiniz ama bu doğru değildir. Örneğin polinomun, mod 2 de kökü varken mod 16 da kökü olmayabilir. 

...