$\emptyset$ $\neq S \subseteq \mathbb{R} $ olmak üzere $$(\sup(S):=s^{*} \in S)(u \notin S)$$$$\Rightarrow$$$$\sup(S \cup \{u\})=\sup \{ s^{*}, u \}$$ olduğunu gösteriniz.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
69 kez görüntülendi


23, Ekim, 2016 Lisans Matematik kategorisinde burcuayhan (194 puan) tarafından  soruldu
26, Kasım, 2016 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

Neresinde takildiniz tam olarak?

sup yazar iki dolar işareti arasına alırsan görünüm $$sup$$ şeklinde olur. \sup yazar iki dolar işareti arasına alırsan görünüm $$\sup$$ olur. 

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Teşekkürler takıldığım bir nokta yok, ispatı şu şekilde yaptım.

$s^{*} \in S$ ve $u \notin S$ olsun.

$(s^{*} \in S)$$(u \notin S)$ $\Rightarrow$ $s^{*} \neq u$ $\Rightarrow$ $(u$ $<$ $s^{*})$  $\vee$ $(s^{*}$ $<$ $u)$ 

I. Durum: $u$ $<$ $s^{*}$ olsun.  

$u$ $<$ $s^{*}$ $\Rightarrow$  $\sup\{u,s^{*}\}=s^{*}$.

$u$ $<$ $s^{*}$ $\Rightarrow$ $u \notin S^{Ü}$

             $\Rightarrow$ $\sup\{S \cup \{u\} \}=\sup(S)=$$s^{*} $.

II. Durum: $s^{*}$ $<$ $u$ olsun.  

$s^{*}$ $<$ $u$ $\Rightarrow$  $sup\{u,s^{*}\}=u$.

$(u \notin S)$$(s^{*}$ $<$ $u)$ $\Rightarrow$ $u \in S^{Ü}$ 

                              $\Rightarrow$ $\sup\{S \cup \{u\} \}=$$u $.

Her iki durumda da eşitliği gösterdiğimizden

$\sup\{S \cup \{u\} \}=\sup\{u,s^{*}\}$ olur. 

(Burada $S^{Ü}$ gösteriminden kasıt $S$ kümesinin üst sınırlarının oluşturduğu kümedir.) 


23, Ekim, 2016 burcuayhan (194 puan) tarafından  cevaplandı

$u=s^*$ da olabilir.

Birinci durumdaki $\sup\{S\cup\{u\}\}=\sup(S)$ esitligi nasil geldi?

Hipotezden elimizde $s^{*} \in S$ ve $u \notin S$ olduğu var. $u=s^{*}$ olması hipoteze aykırı bir durum olmaz mı?

 I. durumda $u < s^{*}$ idi.

 $u < s^{*}=\sup(S)$ olduğundan $u, S$'nin üst sınırları kümesinde olamaz. Dolayısıyla $u$, $\{S \cup \{u\}\}$ kümesinin üst sınırları kümesine de ait değildir. Böylece $u$, bu kümenin supremumu olmaya aday değildir. O halde 

$\sup\{S \cup \{u\} \}=\sup(S) $ olur.   

Evet, o kismi gormemistim. Fakat genel olarak $s^*$'in var olmasi yeterli ve $u \in S$ olsa da esitlik saglanir. 

$u$'nun supremuma aday olmamasi neden eski supremumu degistirmesin? Zaten gostermeye calistigimiz da bu degil mi?

"$u<s^*$ ise her $x \in S\cup \{u\}$ icin $x \le s^*$ olur. Bu bize $\sup(S\cup\{u\}) \le s^*$ der ve $s^*\in S$ oldugundan $\sup(S\cup\{u\}) \ge s^*$ olur."

Seklinde gostermemiz gerekli bence.

...