$(X,d)$ metrik uzay ve $a ,$ $X$ kümesinin belirli bir elemanı olmak üzere $$f(x)=d(x,a)$$ kuralı ile verilen $$f:X \rightarrow \mathbb{R}$$ fonksiyonu düzgün sürekli midir?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
81 kez görüntülendi
$(X,d)$ metrik uzay ve $a ,$ $X$ kümesinin belirli bir elemanı olmak üzere $$f(x)=d(x,a)$$ kuralı ile verilen $$f:X \rightarrow \mathbb{R}$$ fonksiyonu düzgün sürekli midir? 
22, Ekim, 2016 Lisans Matematik kategorisinde burcuayhan (194 puan) tarafından  soruldu
26, Eylül, 26 murad.ozkoc tarafından düzenlendi
Fonksiyonun kuralı $$f(x)=d(x,a)$$ olduğuna göre $f$ fonksiyonunun hedef kümesi $\mathbb{R}$ olmalı. 
<p> Evet hocam haklısınız düzelttim hemen
</p>

Cevabı yoruma dönüştürmelisin.

Ayrıca $$f(x)=d(x,a)$$ bir fonksiyon değil, $$f$$ fonksiyonunun kuralıdır. Bu bir. İkincisi $a$'nın ne olduğu belli değil. Yani soru şöyle sorulmalı. $(X,d)$ metrik uzay ve $a$, $X$ kümesinin belirli bir elemanı olmak üzere $f(x)=d(x,a)$ kuralı ile verilen $f:X\to\mathbb{R}$ fonksiyonu düzgün sürekli midir? 

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$$|f(x)-f(a)|=|d(x,a)-d(y,a)|\leq d(x,y)$$

olduğundan her $\epsilon>0$ sayısı için $\delta$ sayısını $0<\delta\leq\epsilon$ olarak seçmek yeterli olacaktır. 

Her $\epsilon>0$ sayısı için $\delta$ sayısı $0<\delta\leq\epsilon$ olarak seçilirse her $x,y\in X$ için

$$d(x,y)<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon$$ koşulu sağlanır. Yani 

$$(\forall\epsilon >0)(\exists\delta >0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(d(x,y)<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$ önermesi doğru yani $f$ fonksiyonu düzgün sürekli olur.

26, Eylül, 26 murad.ozkoc (8,693 puan) tarafından  cevaplandı
29, Eylül, 29 murad.ozkoc tarafından düzenlendi
Düzgün Süreklilik-VI
...