$Aut(G) \ntriangleleft S_G$

1 beğenilme 0 beğenilmeme
63 kez görüntülendi

$Aut(G):=\{\phi:G \longrightarrow G \ | \  \phi: $ otomorfizma $\}$

$S_G:=\{f:G \longrightarrow G \ | \  f: $ birebir,örten $\}$ 

Kümeleri tanımlanıyor. 

$Aut(G)$'nin $S_G$'nin normal altgrubu olmadığını gösteriniz.

22, Ekim, 2016 Lisans Matematik kategorisinde H.B.Ozcan (68 puan) tarafından  soruldu

Daha kolay bir yol vardır mutlaka ama şöyle bir şey yapabilirsin:

Her otomorfizma grubun birim elemanını (1) birim elemana götürmek zorunda. $f\in S_G$'yi $f(1) = a \neq 1$ olacak şekilde seç. Bu $a$ öyle bir eleman olsun ki $\phi(a) \neq a$ olacak bir otomorfizma bulabilesin. Eğer böyle bir $a \in G$ olduğunu gösterebilirsen $f^{-1}\phi f$ bir otomorfizma olmayacaktır.

 Cevap için teşekkür ederim öncelikle. Belki barizdir fakat:

$\phi(a) \neq a$ olacak şekilde bir $a$ elemanı ve $\phi$ otomorfizmasının varlığını tam göremiyorum. Varlığını kabul ettikten sonrasında kanıtı anladım. 

1ϕf
Her elemanı tersine götüren fonksiyon otomorfizma mı? Eğer her elemanın tersi kendisi değil ise bu otomorfizmayı alabilirsin. Eğer her elemanın tersi kendisi ise her elemanın derecesi 2 demektir. Böyle iki elemanın yerini değiştirmek bir otomorfizma verir mi?

Eğer böyle bir $\phi$ olmasaydı $Aut(G) = 1$ demektir ve bu durumda otomatik olarak normal olur. Eğer $Aut(G) \neq 1 $ ise, böyle bir $\phi $ ve $a$ var demektir. 

Bu arada bir önceki yorumda yazdığım her şeyi tersine götüren fonksiyon bir otomorfizma değil, eğer grup abelyen değil ise.

...