$x=\sqrt [3]{11+\sqrt {337}}+\sqrt [3]{11-\sqrt {337}} $ olduğuna göre $x^3+18x $ kaçtır?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
109 kez görüntülendi

-UMO 2009

18, Ekim, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde sonelektrikbukucu (2,871 puan) tarafından  soruldu

Önce her  iki tarafın küpünü almayı deneyiniz.

Öyle de yapılabiliyormuş hocam :) Güzel soru olduğu için paylaşmak istemiştim çözümler 2 oldu :)

Diğer çözüm nasıl?

$k$'yı küp köklü terimlerin toplamı olarak (buna $a-b$ diyelim) yazdığımızı düşünürsek $a^2+b^2$ ile çarpmak. Biraz daha bekleyelim, iki çözümü de atmaya çalışacağım.

Nedense bu tür sorularda hep küp almaya gidiyor akıl. En güzeli her iki ifadeye m ve n demek. Çünkü m^3+n^3 çok güzel bir şey oluyor :)

3 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Önce Mehmet hocamın çözümüyle başlayalım...

$x=\sqrt[3]{\sqrt{337}+11}-\sqrt[3]{\sqrt{337}-11} \\ \Rightarrow x^3=\sqrt{337}+11-\sqrt{337}+11-3\sqrt[3]{\sqrt{337}+11}.\sqrt[3]{\sqrt{337}-11}(\underbrace{\sqrt[3]{\sqrt{337}+11}-\sqrt[3]{\sqrt{337}-11}}_x) \\ =22-3\sqrt[3]{337-121}.x=22-18x=x^3 \\ \Rightarrow x^3+18x=22$


19, Ekim, 2016 sonelektrikbukucu (2,871 puan) tarafından  cevaplandı
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu da benim çözüm...

$x=\sqrt[3]{\sqrt{337}+11}-\sqrt[3]{\sqrt{337}-11}\\ \Rightarrow x^2=\sqrt[3]{(\sqrt{337}+11)^2}-2\sqrt[3]{(\sqrt{337}+11).(\sqrt{337}-11)}+\sqrt[3]{(\sqrt{337}-11)^2} \\ x^2+12=\sqrt[3]{(\sqrt{337}+11)^2}+\sqrt[3]{(\sqrt{337}-11)^2} \\ x(x^2+12)=\sqrt{337}+11-\sqrt{337}+11+\sqrt[3]{(\sqrt{337}-11)^2(\sqrt{337}+11)}-\sqrt[3]{(\sqrt{337}+11)^2(\sqrt{337}-11)} \\ =22-\sqrt[3]{(\sqrt{337}+11)(\sqrt{337}-11)}(\underbrace{\sqrt[3]{\sqrt{337}+11}-\sqrt[3]{\sqrt{337}-11}}_x)=22-6x=x^3+12x \\ \Rightarrow x^3+18x=22$

19, Ekim, 2016 sonelektrikbukucu (2,871 puan) tarafından  cevaplandı
20, Ekim, 2016 sonelektrikbukucu tarafından düzenlendi

Sayın@ Moriartied, çok yorulmuşsun. Çok teşekkürler. Bir küçük işaret hatası var sanki. Soruda iki küp kök arasında $+$ verilmiş ama sen $-$ almışsın. Belki böyle de soru kurulabilirdi ama orijinaline sadık kalmak adına söyledim. Birde kare alınca ikinci terimdeki en dıştaki küp kök fazla olmuş gibi.

Hocam içeriyi de eksiledim içerisi pozitif olsun diye... Başka yerde de ben mi göremedim?

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu da benden

ifadelere sırasıyla m ve n denirse.

$m+n=x$

$m^3+n^3 = 22$

$mn = -6$

Buna göre

$m^3+n^3 = (m+n)^3-3mn(m+n)$

$22 = x^3+18x$

19, Ekim, 2016 Dogukan633 (772 puan) tarafından  cevaplandı

İlk çözüm ile aynı değil mi bu?

Hemen hemen hepsi birbiriyle aynı :)

...