Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
510 kez görüntülendi

$f$ fonksiyonu icin $$\Delta (f(x)):=f(x+1)-f(x)$$olarak tanimlansin. Derecesi $d$ olan ve bas katsayisi $1$ olan bir $P(x)$ polinomu icin $$\Delta^d(P(x))=d!$$ oldugunu gosteriniz.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (25.3k puan) tarafından  | 510 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$P$ polinomunu $a_n \ne 0$ olmak uzere $$P(x)=a_n x^n+\cdots+a_1x+a_0=\sum_{i=0}^na_ix^i$$ olarak yazalim. Bu durumda $$\Delta \left(\sum_{i=0}^na_ix^i\right)= \sum_{i=0}^na_i(x+1)^i-\sum_{i=0}^na_ix^i=\sum_{i=0}^na_i((x+1)^i-x^i)=\sum_{i=0}^na_i\Delta(x^i)$$olur. Bu sekilde $n$ kere $\Delta$ operatorunu uygularsak $$\Delta^n \left(\sum_{i=0}^na_ix^i\right)=\sum_{i=0}^na_i\Delta^n(x^i)$$ olur.

Sunu ispatlayalim: $k\ge 1$ tam sayisi icin $$\Delta^k(x^k)=k!$$ olur. Dolayisiyla $d>k$ icin $$\Delta^d(x^k)=0$$ olur. Bu da bize $$\Delta^n \left(\sum_{i=0}^na_ix^i\right)=\sum_{i=0}^na_i\Delta^n(x^i)=a_n\cdot n!$$ oldugunu verir ve $n=d$ ve $a_n=a_d=1$ durumunda da istenilen sonuc $$d!$$ olur.

Ispatlayalim kismini okuyucuya birakiyorum. Soru artik kolaylasmis oldu. Tumevarim deniyebilirsiniz. Ayrica bu operatorun turev ile iliskisini de gorebilirsiniz. 

(25.3k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

wow çok iyi duruyor ,buna iyi bir bakmak gerek

Son kisimi da ekleyebilirisin, akabinde.

eklıcem.             

20,200 soru
21,726 cevap
73,275 yorum
1,887,751 kullanıcı