A={1,2,3,4,5,6,7,8}kümesinin ardışık olmayan alt kümelerinin sayısı kaçtır?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
520 kez görüntülendi


24, Eylül, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Ali münir aygün (36 puan) tarafından  soruldu

Ardışık olmayan alt küme ne demek?

{1,2} alt kümesi ardıșıktır

{1,4} ardıșık değildir



Burada ardışık olan kümeler mi? yoksa elemanlar mı?

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Her $n$ pozitif tam sayisi icin $$\{1,\cdots, n\}$$ kumesinin ardasik eleman icermeyen alt kumeleri sayisina $a_n$ diyelim. 

Bu durumda $$a_1=2 \;\;\; \text{ ve }\;\;\; a_2=3$$ olur.

______________________

$n\ge 2$ olsun.

Bu kumenin bir alt kumesi ya $n$'yi eleman olarak icerir ya da icermez. 

(Durum 1) Diyelim ki icermiyor. O zaman soru su olur: $$\{1,\cdots, n-1\}$$ kumesinin ardasik eleman icermeyen alt kumeleri sayisi kac olur. Bu da $a_{n-1}$ dedigimiz.

(Durum 2) Diyelim ki $n$'yi iceriyor. Bu durumda $n-1$ elemanini iceremez.  Bu durumda da $\{n\}$ ile $$\{1,\cdots, n-2\}$$ kumesinin ardasik eleman icermeyen alt kumelerini birlestirmis oluruz. Bu sayi da $a_{n-2}$ olur. 


Dolayisi ile $a_1=2$, $a_2=3$ ve $n\ge 2$ icin $$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$$ olmasi gerektigini elde ederiz. (Fibonacci dizisinin otelenmis hali. Hatta $a_0=1$ olarak da gorebiliriz).

Sorunun cevabi da $$2,3,5,8,13,21,34,\boxed{55}$$ olur.

28, Ocak, 28 Sercan (23,805 puan) tarafından  cevaplandı
5, Şubat, 5 Ali münir aygün tarafından seçilmiş
...