$\displaystyle P (k) =\sum_{i=0}^k Q(i)$ eşitliği üzerine

0 beğenilme 0 beğenilmeme
77 kez görüntülendi

$P:Z^+\to Z$ şeklinde tanımlı $n. $ dereceden bir polinom olsun. Her $P (k)$ polinomu için $\displaystyle P (k) =\sum_{i=0}^k Q(i) $ eşitliğini sağlayan bir $Q $ polinomu mevcut mudur? Mevcutsa $n $ herhangi bir sayı olacak şekilde her zaman $Q $ polinomunu kolayca çıkarabileceğimiz bir formülizasyon mevcut mudur? Bu formülizasyonu yaparsak bize nerelerde faydası olabilir tartışalım.

19, Eylül, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde sonelektrikbukucu (2,871 puan) tarafından  soruldu

Soruyu degistirebiliriz: $Q(k+1)=P(k+1)-P(k)$ olacak sekilde bir $Q$ polinomu bulabilir miyiz?

Değiştirmeyelim öyle çok kolay görünüyor :) Sağolun hocam yine de bunu bulmanın bize faydasını tartışabiliriz.

Sence bir faydasi var mi?

Çok emin olmamakla birlikte kombitorik toplamlarda kolaylık sağlayabilir. Tabi işleri çıkmaza sürükleme olasılığı da göz ardı edilecek kadar küçük değil.

Sercan'in dedigi gibi,

$$Q(k) = P(k) - P(k-1) = \frac{P(k) - P(k-1)}{k - (k-1)}$$

ozdesligi var. Dolayisiyla $Q$'yu $P$'nin turevi gibi dusunebilirsin bir anlamda.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Böyle bir $Q(x)$ vardır $\Leftrightarrow$ $P(-1)=0$

İspatı çok kolay:

$Q(x)=P(x)-P(x-1)$ tek olası polinom. Ama istenen eşitliğin $k=0$ için sağlanması $P(-1)=0$ olmasına bağlı.

20, Eylül, 2016 DoganDonmez (3,576 puan) tarafından  cevaplandı
20, Eylül, 2016 DoganDonmez tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Ben de yukaridaki yorumumu cevaba donusturup biraz daha acayim:

Hem Sercan, hem de Dogan Donmez tarafindan gozlemlendigi gibi $Q(x) = P(x) - P(x-1)$ olmak zorunda. Yukaridaki yorumda da belirttigim gibi, eger bu esitligin sag tarafini $1$ ile bolersek, elimizde ayrik bir turev varmis gibi dusunebiliriz:

$$Q(x) = P(x) - P(x-1) = \frac{P(x) - P(x-1)}{x - (x-1)}$$

Yalniz, Dogan Donmez'in dedigi gibi indisler sorun cikartabilir. O yuzden, senin sorunu biraz degistirelim. Oyle bir degistirelim ki istedigimiz $Q$
$$Q(x) = P(x+1) - P(x)$$ ozelligini saglasin. Cok zor degil bu, indislerle biraz oynayinca olur. Bir de asagida yazacagim formullerin daha guzel olmasi icin $P$'yi $P: Z^{\geq 0} \to Z$ olarak alalim.

Bu $Q$, sadece $P$'ye bagli ve biricik oldugu icin ve turev olarak yorumlayabilecegimiz icin $Q = dP$ yazalim.

Simdi bunu ilk once biraz daha genellestirip, sonra tekrar polinom durumuna donelim.

Aslinda yukarida polinom dedigimiz sey bir tam sayi dizisinden baska bir sey degil: $(a_n)$ dizisini $a_n = P(n)$ kuraliyla tanimla. Kendimizi polinomlarla verilen tam sayi dizilerine kisitlamak yerine butun tam sayi dizilerini dusunelim. $a = (a_0, a_2, \ldots, \ldots )$ bir dizi olsun. $da$ dizisini $da_n = a_{n+1} - a_n$ kuraliyla olusturalim. Elde ettigimiz bu yeni $da$ dizisi de bir tam sayi dizisidir. Dolayisiyla elimizde 

$$d: \{\text{tam sayi dizileri}\} \to \{\text{tam sayi dizileri}\}$$

seklinde bir operator var. Istersek bu operatoru birden fazla kez de uygulayabiliriz. $d^k a$ dedigimiz zaman, $k$ kere uygulamis oldugumuzu belirtelim.

Teorem (Newton, 1687): Her tam sayi dizisi $(a_n)$ icin

$$a_n = \sum_{k= 0}^n \binom{n}{k} (d^ka)_0$$

Senin, notasyonunla

$$P(n) =\sum_{k= 0}^n \binom{n}{k} (d^k P)(0) $$

Devam edecek.

20, Eylül, 2016 Ozgur (2,145 puan) tarafından  cevaplandı
...