$e+\pi$ ve $e.\pi$ ne cins sayılardır? hâlâ transandantal sayılar diyebilir miyiz? Rasyonel olmadıklarını ispatlayabilir miyiz?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
292 kez görüntülendi

$e+\pi$    ve     $e.\pi$  ne cins sayılardır? hâlâ transandantal sayılar diyebilir miyiz? Rasyonel olmadıklarını ispatlayabilir miyiz?

24, Temmuz, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,670 puan) tarafından  soruldu
6 gün önce Sercan tarafından yeniden kategorilendirildi

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap
$e$ ve $\pi$ aşkın (transcendental) sayılardır, bunları kanıtlamak çok kolay değildir. Genel olarak bir sayının aşkın olduğunu kanıtlamak, bir sayı kümesinin cebirsel bir denklem sağlamadığını kanıtlamak zor iştir (Schanuel sanrısı).

Bu sorudaki sayıların rasyonel olup olmadıkları bilinmiyor. Fakat $e$ ve $\pi$ aşkın sayılar olduklarından $$(x-e)(x-\pi)=x^2-(e+\pi)x+e\pi$$ polinomunun bütün katsayıları rasyonel olamaz. Demek ki $e+\pi$ ve $e\pi$ sayılarından bir tanesi irrasyonel, ama hangisi bilmiyorum.
31, Temmuz, 2016 Salih Durhan (1,207 puan) tarafından  cevaplandı
31, Temmuz, 2016 Anil tarafından seçilmiş
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1, Aralık, 1 alpercay (937 puan) tarafından  cevaplandı

MD-2007-IV sayisinda (syf 35) soyle bir kanit var:" Rasyonel katsayili bir polinomu saglamayan sayilara askin sayilar denir. Madem ki $e$  ve   $\pi$ cebirsel degiller o zaman $e+\pi$   ve   $e.\pi$   sayilarinin her ikisi birden cebirsel olamazlar, yoksa hem $e$  hem de  $\pi$   $x^2-(e+\pi)x+e\pi=0$   denklemini saglardi ve her ikisi birden cebirsel olurdu. Tabii bu akil yurutme $e+\pi$  ya da  $e\pi$  sayilarindan hangisinin askin oldugunu soylemiyor". 

Simdi boyle bir kanit bu haliyle bu sayilardan en az birinin irrasyonel oldugunu soyler, cunku rasyonel katsayili bir polinomun koklerinin cebirsel oldugunu biliyoruz, fakat $e$  ile  $\pi$  cebirsel olmadigindan katsayilar rasyonel olamazlar yani irrasyoneller. Yani burada $e+\pi$   ve  $e\pi$  katsayilarini rasyonel varsayip celiskiye dustuk. O zaman once " Cebirsel katsayili olan bir polinomun kokleri de cebirseldir" onermesini soyleyip sonra ayni kaniti vermeliyiz. Yaniliyor muyum?

...