$n.n!$ mi büyüktür yoksa bu mu $\displaystyle\sum_{k=1}^n k!=1+2!+3!+....+n!$ ?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
256 kez görüntülendi


$n>0$  icin

$n.n!$ mi büyüktür  yoksa bu mu  $\displaystyle\sum_{k=1}^n k!=1+2!+3!+....+n!$   ?

22, Temmuz, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Anil (7,732 puan) tarafından  soruldu
23, Temmuz, 2016 Anil tarafından düzenlendi

bu n li soruları görünce.nedense hep 9'u üst sınır olarak alıyorum .s .s

Toplam $n-1$'e kadar $k\cdot k!$ olsaydi daha guzel olurdu gibi.

direk sadelesip n!-1 gelcekdir.Ve daha guzel olur kime gore ama 

Alttakini seri olarak yazip usttekini $s_{n+1}-s_n$ olarak yazip deniyorum iki saattir. Mehmet hoca gibi dusunmem epey zaman aldi demek ki bakis acisini degistirmek onemli :)
Daha güzel soru -ki aslında dün başka bir yerde bu soruya cevap verdi Sercan:

$n.n!$ yerine $2.n!$ koysak ne olur? O toplam mı büyüktür yoksa $2.n!$ mi?

bence $2.n!$ ^^

O zaman daha zor bir soru: $2.n!$ yerine sadece $n!$ yazsan ne olur? Anıl'ın yazdığı toplam mı daha büyük olur $n!$ mi?

onu anıla soralım

Anıl'dan önce sen cevaplayabilirsin bunu. Bir buçuk dakika düşün sadece.

yok bu beni baya aşar.

$n!$ mi büyük

$1! + 2! + 3! + ... + (n-1)! + n!$ mi?

Bu mu aşıyor seni? Bilerek "daha zor bir soru" dedim. Soruya bakıp bakmayacağını denemek için. Bakmadın. 

bende dalga geçtiğinizi düşünerek umursamadım :)

Dün karar verdim. Bundan sonra Anıl ve Kadir bana nasıl hitap ederse ben de onlara öyle hitap edicem. Kadir'e siz diye hitap ediyorum bundan sonra, Anıl'a da ağabey diyeceğim. Aylarca hoca demesin diye uğraştık, abi yaptı beni en sonunda. "Özgür" ve "sen" dememek için her yolu deniyor. 

yha deme öyle .d .d .d

Bir ara abla diyordu.

burda herkes abi abla kardeş

:) Çünkü ona "Neden benim erkek olduğumu varsaydın, Özgür unisex bir isim" demiştim. O aralar çok zorlandı.

konuşurken seviyeyi düşürelimmi yani özgür hocam.anlayamadık tam :S

Ozgur nasılsınız?

anıl çok yanlış bi cümle kurdun.sayın @ozgur ona hitap ederken siz,biz hocam Vb değilde.waoww baboo nassın.gibi terimleri kullanmamızı istiyor.ona göre düzeltelim lütfen.


-teşekkürler

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Tabii ki $n\in N$ ve $n>0$ için,

$$1!<n!\\2!<n!\\3!<n!\\ \vdots\\ (n-1)!<n!\\ n!=n!$$ eşitsizlikleri taraf tarafa toplanırsa 

$$\sum_{k=1}^n k!<n.n!$$ olur. 

22, Temmuz, 2016 Mehmet Toktaş (18,563 puan) tarafından  cevaplandı
23, Temmuz, 2016 Mehmet Toktaş tarafından düzenlendi

Yazmış olduğunuz ifadelerde $n$ nedir? Hangi değeri almaktadır? Boşluklar mevcut. Yapılan işlemler doğru değil.

Ancak tümevarım yöntemi ile göstermek mümkün.


benim hatam $n>0$  demeliydim

$n>0$  haliyle dogru oluyor bence.

$n=1$ için iki taraf eşit oluyor.

$n>1$ haklisiniz

Doğan hocam cevap kısmında yazılanlar dogru  mudur?

Handan, nerede hata olduğunu düşünüyorsun? Benim yazılanlarda gördüğüm şu: Diyelim sen ve ben ortaya sırayla bir miktar para koyuyoruz.

Sen 1! koyuyorsun, ben n! (Ben daha fazla koydum)

Sen 2! koyuyorsun, ben n! (Ben daha fazla koydum)

....

Sen (n-1)! koyuyorsun, ben n! (Ben daha fazla koydum)

Sen n! koyuyorsun, ben n! (Aynı koyduk)

Ben her turda senden fazla para koyduysam ortaya, totalde ben daha fazla koymuşumdur. Bunun neresi yanlış?

$n$ sabit değil ki! 

$2!<n!$, $3!<n!$ ... bu ifadeler dogru değil. Yani hangi $n$?

$n$'in doğal sayı olduğu sorunun bağlamına bakınca açık diil mi? Eşitsizliğin tam (strict) bir eşitsizlik olması için $n$'in $1$'den büyük olması gerekiyor, evet. Ama soru şunu soruyor:

"Ben sana bir $n$ veriyim. (Şimdi, şu an $n$'i sabitledik). Buradaki ifade mi daha büyük, şuradaki ifade mi daha büyük?"

Mehmet Toktaş da diyor ki: OK. Sen bana hangi $n$'i verirsen ver, $1!$den $(n-1)!$e kadar her "faktöriyel terim" (ne demekse, başka bir terim uyduramadım) $n!$'den küçüktür. Dolayısıyla, ....


Tamamdir Özgür. Her $n$ doğal sayısı icin,  $1!<2!<\ldots<(n-1)!<n!$. 

...