$a.f(x)=-b.f'(x)-c.f''(x)$ eşitliğini sağlayan fonksiyon

2 beğenilme 0 beğenilmeme
63 kez görüntülendi

LC devreleriyle ilgili bu sorumla ilgili olarak, biraz işlem yaptıktan sonra çıkan sonucu tartışalım.

image

Aslında grafikler yeterince açıklıyor ama, bir de ben değineyim. 

Tanımlarla başlayacak olursak $Q$ ve $i$, $t$ anında sırasıyla kapasitörün yükünü ve kapasitörün sağladığı akımı veren negatif olmayan reel sayılardan negatif olmayan reel sayılara tanımlı fonksiyonlar olsun. 

Devrenin çalışmasıyla devam edecek olursak kapasitörden çıkan akım bobinden geçiyor, bobin buna tepki olarak akım değişikliğine ters yönde öz indüksiyon akımı ile karşılık veriyor. Yani grafikte gösterdiğim gibi illa akım yönüne ters akım oluşacak diye bir kanun yok. Akım azalıyorken akımla aynı yönde öz indüksiyon akımı oluşur, akım artarken akıma ters yönde öz indüksiyon akımı oluşur. Oluşan akım öz indüksiyon Emk'sını oluşturur. Bu akım $\displaystyle \epsilon=-L\frac{\Delta i}{\Delta t}$ bağıntısıyla hesaplanıyor. Diğer gerilim formüllerine gelirsek kapasitör için $\frac{Q}{C}=V$ ve üzerinden akım geçen direnç için $i.R=V$ formüllerini verelim. Devrede voltmetrenin bağlı olduğu uçların gerilimleri aynı olacağından $\frac{Q(t)}{C}=i(t).R-L\frac{\Delta i}{\Delta t}$ denebilir. $Q'(t)=-i(t)$ olduğu grafikten okunuyor zaten, daha fazla elektrik bilgisiyle uğraşmayalım. Daha matematiksel ifadelere $Q(t)=f(x)$ diyelim. $\frac{1}{C}=a$, $R=b$, $L=c$ olsun. Düzenlersek $a.f(x)=-b.f'(x)-c.f''(x)$ olur. Böyle bir fonksiyon var mıdır?

1, Temmuz, 2016 Lisans Matematik kategorisinde sonelektrikbukucu (2,871 puan) tarafından  soruldu

Detayini okumadim. Fakat sabit katsayili differansiyel denklemi cozmek kolay: $cr^2+br+a=0$ ile alakali.

Hocam kuvvetle muhtemel grafik o sekilde yani polinom cikacagini sanmiyorum. Bakmak lazim yine de.
Epey kafa yormama ragmen hata yapmis da olabilirim isaretlerde. Bir ara beynim yangin alarmi verdi isaretlerde farkli bir sey bulursam yazarim.

$cy''+by'+a=0$ diferansiyel denklemini nasil cozecegini biliyor musun? Onunla alakali o $r$'li polinom.

Maalesef hocam, arasam ne olarak geçer öğreneyim? Ben yine de polinom çıkacağını sanmam. Polinom bölü polinom çıkar belki ama sadece polinom gelmemeli grafiğe bakarsak.

Okuyorum şu an. İşe yararsa sponsorluk sözleşmesindeki para iptal, almıyorum :)

Uykum var, hala zorluyorum. Formülün nereden geldiğini biliyor musunuz hocam? Bir de şu $c_1$, $c_2$ ne onları anlamadım ben.

Madem bunlara calisacaksin. Ilk olarak en bastan Differansiyel Denklemlere basla.. Ya da benim video eklememi bekle. Ben yerinde olsam beklemeden bi kitap alir, calismaya baslardim..

Thomas kurtarır mı? Elimde o var. Bir de başını atlasam sorun olur mu ya, genel olarak biliyorum oraları galiba.

Thomas'a bakmadim da. Ben sana bi ara kaynak yollayayim. Hatirlat. Hatta direkt Diprima'dan calis.

O zaman tam odaklanamamisim sanirim, simdi anladim. Gerci artik isime yaramayacak ama yine de coilgun mekanigi ile ilgili bilgiler sitede bulunsun diye hesaplarini yapmaya niyetliyim. Isime yaramayacak cunku coilgun projemi biraktim, zin karsi cikti cunku. Saka saka railgun yapacagim insallah o yuzden birakiyorum:) Coilgunda kivilcim yok sarmiyor beni railgun hem kivilcimli hem daha az maliyetli ve daha az ince iscilik gerektiriyor.

Şuraya bir cevapımsı bırakayım da, çünkü mantığıma yatmayan bir şeyler var. Onların düzeltilmesi lazım, sonra cevaba çeviririm.

Öncelikle $Q, i$ fonksiyonlarını tanımlamıştık, ama ettekraru ahsen velev kane yüzseksen demişler, bir kez daha tanımlayalım :) $Q$, $t$ anında kapasitörün depoladığı yükü, $i$ $t$ anında devreden geçen akımı veren fonksiyonlar olsun.

$\frac{\Delta Q}{\Delta t}=i$ formülünü verelim, lakin dikkat edilmesi gereken bir durum var. Bu $\Delta Q$ devrenin üzerinden geçen yük, bize gereken kapasitördeki yük değişimi olduğundan ifadenin başına mutlu bir $-$ işareti koyalım :)

$-\frac{\Delta Q}{\Delta t}=i$ olduğuna göre gönül rahatlığıyla $-Q'(t)=i(t)$ diyebiliriz. Şimdi, $-L\frac{\Delta i}{\Delta t}=\epsilon(t)$ formülünü ele alalım. Bunda da $-L.i'(t)=\epsilon (t)$ dersek yanlış olmaz. 

Hepsini birleştirelim ve bu sonuç burada dursun:

$L.Q''(t)=-L.i'(t)=\epsilon (t)$

Gelelim soruda da bahsettiğim gerilim denklemine. Özindüksiyon gerilimi ile akımın dirençle çarpımından gelen gerilim, kapasitörün gerilimine eşittir. Daha basit ifadelerle $\frac{Q(t)}{C}=i(t).R+\epsilon (t)$ diyebiliriz. 

$Q(t)=y$, $L=a$, $-R=b$, $\frac{-1}{C}=c$ dersek,

$ay''+by'+cy=0$ olur. Bu diferansiyel denklemin çözümünü yapalım. Denklemin karakteristik polünomunu yazalım

$a \gamma^2+b\gamma+c=0$

Bu denklemin kökleri $\gamma_1$ ve $\gamma_2$ olsun. Bu durumda diferansiyel denklemin çözümü reel iki kök için;

$y=c_1.e^{\gamma_1.x}+c_2.e^{\gamma_2.x}=c_1.e^{\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.x}+c_2.e^{\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.x}$'tir. Köklerin reel olduğu kesin, çünkü başlangıçta verdiğimiz değerlerden dolayı $(-a),b,c \in \mathbb{R}^-$ olduğundan $b^2-4ac>0$ olur.

Gelelim $c_1$ ve $c_2$'nin bulunmasına... Bu değerleri bulabilmemiz için, $y$ fonksiyonunun iki kesin değerine sahip olmalıyız. $y(0)=Q_0$ ($Q_0$ başlangıç yükü) ve $y'(0)=0$ olduğunu biliyoruz. 

$y=c_1.e^{\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.x}+c_2.e^{\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.x}$ olduğundan 

$y(0)=c_1+c_2=Q_0$

$y'=c_1.\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.e^{\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.x}+c_2.\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.e^{\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.x}$

$y'(0)=c_1.\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+c_2.\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=0$

Bu iki denklemi çözersek $c_1=Q_0.\frac{b+\sqrt{b^2-4ac}}{2\sqrt{b^2-4ac}}$, $c_2=Q_0.\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2\sqrt{b^2-4ac}}$ buluruz. Denklemde yerine yazarsak

$y'=Q_0.\frac{b+\sqrt{b^2-4ac}}{2\sqrt{b^2-4ac}}.\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.e^{\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.x} \\+Q_0.\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2\sqrt{b^2-4ac}}.\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.e^{\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.x}$ buluruz. Düzenlersek

$y'=Q_0.\frac{c}{\sqrt{b^2-4ac}}(e^{\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.x}-e^{\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.x})$ olur. 

$i(t)=-y'$, $L=a$, $-R=b$, $\frac{-1}{C}=c$ olduğundan

$i(t)=\frac{Q_0}{C.\sqrt{R^2+4\frac{L}{C}}}.(e^{\frac{R-\sqrt{R^2+4\frac{L}{C}}}{2L}}-e^{\frac{R+\sqrt{R^2+4\frac{L}{C}}}{2L}})$ bulunur.

Her ne kadar bu bir çözüm gibi görünse de aslında bir çözüm değil. Çünkü akım negatif çıkıyor. Hem de eğer zamanı sonsuza ıraksatırsak, akım da eksi sonsuza doğru alıp başını gidiyor, halbuki sıfıra yaklaşmalı ama asla kesmemeli.

Siz değerli hocalarımızdan öğrenmek istediğim çözümde nerede hata yaptığım. Cümleten kolay gelsin :)

...