$\displaystyle \sum \limits_{m=k}^Nm\frac{ \left( \begin{matrix} m-1 \\ k-1 \end{matrix} \right) }{\left( \begin{matrix} N \\ k \end{matrix} \right)}=\frac{k(N+1)}{k+1}$ eşitliğini ispatlayınız.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
44 kez görüntülendi

Salih Durhan hocamızın MD'nin 103. sayısındaki "Alman Tank Problemi" isimli yazısından. Bu eşitliği anlamayı okura bırakmış ama ben işin içinden çıkamadım.

29, Haziran, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde sonelektrikbukucu (2,871 puan) tarafından  soruldu

$\binom Nk$ sabit degil mi? Disariya postalanabilir.

Onu postalayalı epey oldu zaten, ama yine de çıkmadı. Sanırım ekleme çıkartma yapıyoruz, sadece sezgisel ama.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

İfadeyi düzenlersek;

$\dfrac{1}{\dbinom{N}{k}}\displaystyle\sum_{m=k}^N m\dbinom{m-1}{k-1}=\dfrac{kN+k}{k+1}$

Ve biliyoruz ki;


$\dbinom{m}{k}=\dfrac{m(m-1)!}{k(k-1)!(m-k)!}=\dfrac{m}{k}\dbinom{m-1}{k-1}$

Hatta bunu genelleştirip;


$\dbinom{m}{r}=\dfrac{P(m,m-u)}{P(r,r-u)}\dbinom{m-u}{r-u}$  diyebiliriz, neyse;


$\dfrac{1}{\dbinom{N}{k}}\displaystyle\sum_{m=k}^N m\dbinom{m-1}{k-1}=\dfrac{1}{\dbinom{N}{k}}\displaystyle\sum_{m=k}^N k\dbinom{m}{k}=\dfrac{k(N+1)}{k+1}$

hertarafı $k$  ya bölelim ve eşitliğe bakalım;

$\displaystyle\sum_{m=k}^N \dbinom{m}{k}=\dbinom{N}{k}\dfrac{N+1}{k+1}=\dbinom{N+1}{k+1}$


http://matkafasi.com/100405/serinin-esitligi-ispatim-gosterilir-dbinom-displaystyle

buradaki soruda gösterdim ki; 


$\displaystyle\sum_{m=k}^N \dbinom{m}{k}=\dbinom{N+1}{k+1}$

İspatlanır.$\Box$

3, Aralık, 2016 Anil (7,670 puan) tarafından  cevaplandı
5, Aralık, 2016 sonelektrikbukucu tarafından seçilmiş

Sanırım ufak bi hata yapılmış k ile çarpılması gereken yerde bolmussunuz 


Çok teşekkürler,düzelttim, kagıtta cozup aktarınca hatalar olabılıyor :)

İncelemeye alındı sayın foton :)

...