$\left[\begin{matrix}1&2\\0&-1\\2 &3\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}1&2&3&4\\0&-1 &1 &7\end{matrix}\right]$ toplami neden tanimsiz?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
104 kez görüntülendi

$$\left[\begin{matrix}1&2\\0&-1\\2 &3\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}1&2&3&4\\0&-1 &1 &7\end{matrix}\right]$$ toplami neden tanimsiz? Bunu $x,y,z,t$ icin kat sayi matrisleri gorup genisletirsek $$\left[\begin{matrix}1&2\\0&-1\\2 &3\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}1&2&3&4\\0&-1 &1 &7\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&2&0&0\\0&-1&0&0\\2 &3&0&0\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}1&2&3&4\\0&-1 &1 &7\\0&0&0&0\end{matrix}\right]$$$$=\left[\begin{matrix}2&4&3&4\\0&-2&1 &7\\2&3&0&0\end{matrix}\right]$$ olarak tanimlanmasinda bir mahsur olur mu?

26, Haziran, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (22,566 puan) tarafından  soruldu

Evet aynı x,y, z,t katsayilari için makul bi yaklaşım ama aksi halde 2 matris icin varsayılan katsayı matrisleri ve bu matrisleri gercekleyen x,y,z,t ler aynı değişkenler değil ki..o yüzden genelleme doğru olmaz..

İki doğrusal denklem sisteminin denk olması ile ilgili fikrimiz olmadan bu yaklaşım makul olmayacağını dusunuyorum..

iki tane $n \times m$ matris icin de degiskenler farkli olabilir, ayni ise  bile (en azindan klon degisimi ile) siralamasi farkli olabilir.

Aynı tip iki matrisin toplamasinin makul olmasının sebebi doğrusal bağımliliklari değil mi ? Yani aynı Rank a sahip iki matrisi toplayabiliyoruz ?..

bence böyle birşey mümkün değil, çünki tüm referans kitaplarında kaynaklarında vs. $A_{[x,y]}.B_{[a,b]}$       çarpılması için   $y=a$  olması koşulu var(kabaca).

Eğer her matrisi bu şekil genişletebilseydik böyle bir koşul olmadan 0 ları koyardık.

Ek olarak matrisleri bu şekilde genişletirsek farklı yönlere de genişletiriz ve her matrisin determinantı değişir dolayısıyla, bu yol bence hoş değil.Ek olarak rank ve dogrusal bagımlılıkları tam şey edemedım ama elementer olarak bu tarz düşünebildim.

Carpma ayri. Elimde sadece $x$ ve $y$ degiskenine bagli $3$ adet denklem var. Bu denklemleri etkisiz olarak $0z+0t$ ile genisletebilirim. Ayrica $0x+0y+0z+0t=0$ esitligi de gecerli. Topladigimda mantikli bir sekilde yeni bir denklem esitlikleri elde ediyorum ve hepsi dogru.


Genisletme tek sekilde: Sol ve Asagi.. Buna uygun olmasa bile buna uygun olarak yapilabilir yani sadece sol ve asagi ek yeterli. Bu da bir/tek/biricik sekilde genisleme vereceginden iyi tanimli.

soruyu gene yanlış okudum :):) tek degışmeyen yorumum ,matrıs lerın determınantları degısecegınden tanımsız oldugu

Kare olmayan matrisin determinantı oluyor mu?

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Tanımsızdır, çünkü ilk matris $T:\Bbb{R}^{2}\rightarrow \Bbb{R}^{3}$ ve ikinci matris $S:\Bbb{R}^{4}\rightarrow \Bbb{R}^{2}$ tanımlı lineer dönüşümlere karşılık gelir. İki dönüşümün toplamı için tanım ve değer kümelerinin aynı olması gerekli.

21, Şubat, 21 Handan (1,484 puan) tarafından  cevaplandı

Fakat genisleterek  $T: \mathbb R^4 \to \mathbb R^3$ yapik. Burada tanimli.

Evet onu soruda gördüm. Ancak aklıma yatmayanlar: oluşturulan bu dönüşümler lineer olur mu? Bir alt uzay oluşturur mu? Oluşturursa ana uzayın içinde bir kopya mı oluşur? Ayrıca her matrisi böyle düşünerek karesel yapmak mümkün olur, ama bu hiç bir işimize yaramaz. Çünkü sütun/satırlar da $0$'lar vardır ve böyle matrislerin çarpımsal özellikleri yoktur. Yani; determinantı $0$ olur, tersi olmaz gibi.

Handan'ın cevabına biraz ekleme, biraz da belki düzeltme yapayım.

Evet. $m \times n$ matrisler kümesi ile $\mathbb{R}^n$'den $\mathbb{R}^m$'e giden lineer fonksiyonlar kümesi arasında birebir ve örten bir eşleme vardır. Hatta genel olarak $m \times n$ matrisler kümesi ile $n$ boyutlu herhangi bir vektöruzayından ($V$) $m$ boyutlu herhangi bir vektörüzayına ($W$) giden fonksiyonlar arasında birebir bir eşleme vardır. Ama bu eşleme biricik değildir! $V$ ve $W$ için seçtiğimiz her taban, değişik bir eşleme verir. $\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}$ ve $\beta = \{w_1, \ldots, w_m\}$ sırasıyla $V$ ve $W$ için birer taban olsunlar. Bir $f: V \to W$ lineer fonksiyonuna karşılık gelen matrisi aşağıdaki tabloya bakarak buluruz:
$$f(v_1) = a_{11}w_1  + \ldots +a_{m1}w_m\\ \vdots \quad \vdots \\ f(v_n)= a_{1n}w_1  + \ldots +a_{mn}w_m$$
$\alpha$ ve $\beta$'yı sabitlediğimizde $f$'e karşılık gelen biricik matris
$$[f]_{\alpha}^{\beta}=\begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix}$$
matrisidir ama eğer $\alpha$ ve $\beta$'yı değiştirirsek bu matris de değişir. 

Tabanları değiştirirsek matris de değişir dedik. Peki bu matrislerin arasında bir ilişki var mıdır? Evet. Aşağıda yazacağım formüle genelde taban değiştirme formülü denir ve mantığı çok basittir. Eğer $\gamma, \delta$ gibi iki başka taban seçersek $1_V : V \to V$ ve $1_W: W \to W$ birim fonksiyonlar olmak üzere $[f]_\alpha^\beta$ ile $[f]_\gamma^\delta$ arasındaki ilişki $$[f]_\gamma^\delta = [1_W]_\beta^\delta[f]_{\alpha}^\beta [1_V]_\gamma^\alpha$$ şeklindedir.

Lineer cebirde söylediğimiz hemen hemen her söz seçtiğimiz tabandan bağımsızdır, en azından iç çarpım uzaylarına gelene kadar. Örneğin hangi tabanı seçersek seçelim, bir fonksiyona o tabanda karşılık gelen matrisin rankı aynıdır. Eğer $m=n$ ise yani seçilen tabanlardan bağımsız olarak fonksiyonumuza karşılık gelen matrisin determinantı, izi, karakteristik polinomu falan hep aynıdır.

Senin sorunun cevabına gelene kadar bu kadar yazdım ama uykum geldi. Kısaca, yaptığın şeyin tabandan bağımsız olduğunu düşünmüyorum. Genişleterek $T: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ yaptık dediğin yerde $\mathbb{R}^2$'yi $\mathbb{R}^4$'e ve diğer $\mathbb{R}^2$'yi $\mathbb{R}^3$'e gömüyorsun. Ama burada bir seçim var. Bu gömmeleri seçiyorsun. Eğer başka bir gömme seçersen başka bir kare matris elde edeceksin, tamam, ama bu kare matrisler arasındaki ilişki ne? Ben sıkıntının kaynağının burada olduğunu düşünüyorum.

teşekkür ederim Özgür açıklamaların için. 

...