Boolean cebri nedir?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
817 kez görüntülendi


20, Nisan, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Handan (1,521 puan) tarafından  soruldu

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Tanım: $X$ herhangi bir küme; $``\curlyvee"$ ve $ ``\curlywedge",  X$ kümesi üzerinde iki işlem ve $0,1\in X$ olmak üzere

$BC_1) \ (\forall x\in X)(x\curlyvee x=x)(x\curlywedge x=x)$

$BC_2) \ (\forall x,y\in X)(x\curlyvee y=y\curlyvee x)(x\curlywedge y=y\curlywedge x)$

$BC_3) \ (\forall x,y,z\in X)((x\curlyvee y)\curlyvee z=x\curlyvee (y\curlyvee z))((x\curlywedge y)\curlywedge z=x\curlywedge (y\curlywedge z))$

$BC_4) \ (\forall x,y\in X)((x\curlywedge y)\curlyvee x=x)((x\curlyvee y)\curlywedge x=x)$

$BC_5) \ (\forall x,y,z\in X)(x\curlywedge (y\curlyvee z)=(x\curlywedge y)\curlyvee (x \curlywedge z))(x\curlyvee (y\curlywedge z)=(x\curlyvee y)\curlywedge (x \curlyvee z))$

$BC_6) \ (\forall x\in X)(0\curlyvee x=x)(0\curlywedge x=0)(1\curlyvee x=1)(1\curlywedge x=x)$

$BC_7) \ (\forall x\in X)(\exists x'\in X)(x\curlywedge x'=0)(x\curlyvee x'=1)$

koşullarını sağlayan $$(X,\curlyvee, \curlywedge, ',0,1)$$ altılısına Boole Cebri denir. Biçimsel olarak


$$(X,\curlyvee, \curlywedge, ',0,1) \,\ \text{Boole Cebiri}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall x\in X)(x\curlyvee x=x)(x\curlywedge x=x)$$

$$(\forall x,y\in X)(x\curlyvee y=y\curlyvee x)(x\curlywedge y=y\curlywedge x)$$

$$(\forall x,y,z\in X)((x\curlyvee y)\curlyvee z=x\curlyvee (y\curlyvee z))((x\curlywedge y)\curlywedge z=x\curlywedge (y\curlywedge z))$$

$$(\forall x,y\in X)((x\curlywedge y)\curlyvee x=x)((x\curlyvee y)\curlywedge x=x)$$

$$(\forall x,y,z\in X)(x\curlywedge (y\curlyvee z)=(x\curlywedge y)\curlyvee (x \curlywedge z))(x\curlyvee (y\curlywedge z)=(x\curlyvee y)\curlywedge (x \curlyvee z))$$

$$(\forall x\in X)(0\curlyvee x=x)(0\curlywedge x=0)(1\curlyvee x=1)(1\curlywedge x=x)$$

$$(\forall x\in X)(\exists x'\in X)(x\curlywedge x'=0)(x\curlyvee x'=1)$$


şeklinde ifade edilir. Örneğin bir $E$ kümesinin $2^E$ altkümeler ailesi, kesişim, birleşim ve tümleme işlemleriyle bir Boole cebiridir yani $$(2^E,\cup,\cap,\setminus,\emptyset,E)$$ cebirsel yapısı bir Boole cebiridir.

21, Nisan, 2015 murad.ozkoc (9,693 puan) tarafından  cevaplandı
16, Aralık, 2019 murad.ozkoc tarafından düzenlendi
Teşekkür ediyorum cevabınız için. Peki örnekte verdiğiniz $E$ kümesinin $2^{E}$ altkümeler ailesi nedir? yani bu ailenin elemanları nelerdir?

$2^E=\mathcal{P}(E)=\{A\mid A\subset E\}$

Kuvvet kümesi. tamam.
Başka bildiğiniz örnek var mı?

$P$ önermeler ailesi "veya", "ve" ve "olumsuzluk" işlemleriyle bir Boole cebiridir yani $(P,\vee,\wedge,')$ cebirsel yapısı bir Boole cebiridir.

Bir tane daha yazıyordum ama elektrik kesintisinden dolayı yazdıklarımın hepsi gitti.

Bu ise bizim şansımız mı diyelim! 

Bir örnek daha:

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $\text{Clop}(X,\tau):=\{A|(A, \tau\text{-açık})(A, \tau\text{-kapalı})\})$ olmak üzere $$(\text{Clop}(X,\tau),\cap,\cup,\setminus,\emptyset,X)$$ altılısı da bir Boolean Cebiridir.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Murad Özkoç'un, cevabının altına yazdığı yorumunda söylediği gibi bir topolojik uzayın kapaçık (hem kapalı hem açık) altkümeleri kesişim, birleşim, tümleme altında bir Boole cebiri veriyor. 

Kapaçık cebiri:  Yukarıdaki uzaya o uzayın kapaçık cebiri diyelim. $X$ topolojik uzayının kapaçık cebirini $KA(X)$ ile gösterelim.

Ben de aslında bütün Boole cebirlerinin bir topolojik uzayın kapaçık cebiri olduğunu göstereyim.

Başlamadan önce bir örnek daha: Iki elemanlı $\{0,1\}$ kümesi üzerinde $$ 0 \wedge 1 = 0 \wedge 1 = 1 \wedge 0 =0 \\ 1 \vee 1 = 1 \vee 0 = 0 \vee 1 =1 \\ 1 \wedge 1 = 1 \\ 0 \vee 0 = 0$$ işlemleri bir Boole cebiri tanımlar. Bu kurallar tanıdık mantık kuralları. $1$ yerine doğrunun D'si, $0$ yerine yanlışın Y'si, $\wedge$ yerine ve, ve $\vee$ yerine veya koyarak bunu görebiliriz.

Boole cebiri morfizması: Eğer iki Boole cebiri arasındaki bir fonksiyon Boole cebiri yapısını koruyorsa o fonksiyona Boole cebiri morfizması denir. Bir Boole cebiri $B$'den başka bir Boole cebiri $C$'ye giden bütün morfizmaların kümesini $\mathrm{Hom}(B,C)$ ile gösterelim. Eğer $C = \{0,1\}$ ise $\mathrm{Hom}(B, \{0,1\})$ kümesini kısaca $B^*$ ile gösterelim.

Stone Temsil Teoremi: $B$ bir Boole cebiri olsun. $B^*$ kümesi $\{0,1\}^B$ kümesinin bir altkümesi dolayısıyla bir topolojik uzay yapısı var. Stone Temsil Teoremi diyor ki: Boole cebiri olarak $$ B \cong KA(B^*)$$ denkliği vardır. Kanıtı zor değil: eğer gerekli ipuçları verilir ve kanıt parçalara ayrılırsa üst düzey bir lisans öğrencisi rahatlıkla kanıtlayabilir.

Stone uzayı: Eğer bir topolojik uzay tıkız (compact), tamamen bağlantısız (totally disconnected) ve Hausdorff ise o uzaya Stone uzayı diyelim. Örnek: Eğer $B$ bir Boole cebiri ise $B^*$ bir Stone uzayı olur.

Kategori Teori: Stone temsil teoreminde gördüğümüz gibi her Boole cebirine karşılık gelen bir Stone uzayı var. Ama bunun daha fazlası da var:

$$\begin{align*} \text{Boole cebirleri} &\to \text{Stone uzayları} \\ B &\mapsto B^*\end{align*}$$ 

gönderimi okları tersine çeviren bir kategorik denklik (dualite). 

Yani, "biraz" abartarak Handan'ın orijinal sorusunu Boole cebirleri Stone uzaylarıdır diye cevaplayabiliriz :)

19, Aralık, 2019 Ozgur (2,237 puan) tarafından  cevaplandı
25, Aralık, 2019 murad.ozkoc tarafından yeniden gösterildi
...