Boolean cebri nedir?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
390 kez görüntülendi


20, Nisan, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Handan (1,510 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Tanım: Boş olmayan bir küme üzerinde aşağıdaki özelliklere sahip işlemler tanımlanırsa ortaya çıkan yapıya bir Boole Cebiri denir.

$X\neq \emptyset \,\ \text{herhangi bir küme ve} \,\  \curlyvee, \curlywedge : X^2\longrightarrow X$ olmak üzere

$$(X,\curlyvee, \curlywedge, ') \,\ \text{Boole Cebiri}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall x\in X)(x\curlyvee x=x)(x\curlywedge x=x)$$

$$(\forall x,y\in X)(x\curlyvee y=y\curlyvee x)(x\curlywedge y=y\curlywedge x)$$

$$(\forall x,y,z\in X)((x\curlyvee y)\curlyvee z=x\curlyvee (y\curlyvee z))((x\curlywedge y)\curlywedge z=x\curlywedge (y\curlywedge z))$$

$$(\forall x,y\in X)((x\curlywedge y)\curlyvee x=x)((x\curlyvee y)\curlywedge x=x)$$

$$(\forall x,y,z\in X)(x\curlywedge (y\curlyvee z)=(x\curlywedge y)\curlyvee (x \curlywedge z))(x\curlyvee (y\curlywedge z)=(x\curlyvee y)\curlywedge (x \curlyvee z))$$

$$(\exists 0,1\in X)(\forall x\in X)(0\curlyvee x=x)(0\curlywedge x=0)(1\curlyvee x=1)(1\curlywedge x=x)$$

$$(\forall x\in X)(\exists x'\in X)(x\curlywedge x'=0)(x\curlyvee x'=1)$$

Örneğin bir $E$ kümesinin $2^E$ altkümeler ailesi, kesişim, birleşim ve tümleme işlemleriyle bir Boole cebiridir yani $(2^E,\cup,\cap,\backslash)$ cebirsel yapısı bir Boole cebiridir.


21, Nisan, 2015 murad.ozkoc (8,818 puan) tarafından  cevaplandı
Teşekkür ediyorum cevabınız için. Peki örnekte verdiğiniz $E$ kümesinin $2^{E}$ altkümeler ailesi nedir? yani bu ailenin elemanları nelerdir?

$2^E=\mathcal{P}(E)=\{A\mid A\subset E\}$

Kuvvet kümesi. tamam.
Başka bildiğiniz örnek var mı?

$P$ önermeler ailesi "veya", "ve" ve "olumsuzluk" işlemleriyle bir Boole cebiridir yani $(P,\vee,\wedge,')$ cebirsel yapısı bir Boole cebiridir.

Bir tane daha yazıyordum ama elektrik kesintisinden dolayı yazdıklarımın hepsi gitti.

Bu ise bizim şansımız mı diyelim! 
...