Radon-Nikodym türevi

0 beğenilme 0 beğenilmeme
189 kez görüntülendi

Biribirine nazaran mutlak sürekli iki ölçününü Radon-Nikodym türevinin efektif hesaplanmasının bariz olmayan örnekleri biliniyor mu?

19, Nisan, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Muhammed Uludag (206 puan) tarafından  soruldu

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Cevabım hileli olacak :) 

Eğer $X\subset \mathbb{R}$ bir non-constructible küme ise o zaman standart ölçünün (?measure) bu kümenin karakteristik ölçüsüne göre Rodon Nikodym türevini efektif olarak hesap etmek tanım gereği imkansızdır.

21, Mayıs, 2015 kaygun (123 puan) tarafından  cevaplandı
22, Mayıs, 2015 Muhammed Uludag tarafından seçilmiş

Hakikaten hileli.. "efektif olarak hesaplanması" değil   "efektif olarak hesaplanamaması" desek olurdu..

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$d\mu =f d\nu$ olsun. $I_{k,n} = [k2^{-n},(k+1)2^{-n})$ ve $$f_n(x) = \frac{\mu(I_{k,n})}{\nu(I_{k,n})}\hspace{3mm}\Longleftrightarrow\hspace{2mm} x\in I_{k,n}$$ tanımlayalım. $(f_n)$ dizisi $f$'ye $\nu$-h.h.h. yakınsar.

Eğer $\mu$ bir $X$ rassal değişkeninin, $\nu$ de bir $Y$  rassal değişkeninin olasılık yoğunluk ölçüleri ise, $$\mu(I_{k,n}) = \mathbb{E}(\chi_{I_{k,n}}(X))\hspace{3mm}ve\hspace{3mm} \nu(I_{k,n}) = \mathbb{E}(\chi_{I_{k,n}}(Y))$$ olur. Burada $\mathbb{E}(.)$ beklenen değer; $\chi_I$, $I$ kümesinin üzerinde 1, dışında 0 değeri alan fonksiyondur. $\mathbb{E}(\chi_{I_{k,n}}(X))$'i tahmin (estimate) etmenin en birinci yolu, $X$'in sonlu adette örnek yolunu (sample path) alıp, $\chi_{I_{k,n}}(X)$ 'ların ortalamasını hesaplamaktır: $X_1,\dots, X_m$ örnek yollar ise, $$\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \chi_{I_{k,n}}(X_i)$$ $\mu(I_{k,n})$'nin bir tahminidir (estimator). Benzer şekilde $\nu(I_{k,n})$'nin tahmini hesaplanıp, oranlarıyla $f$ için bir tahmin inşa edilebilir.


Linkteki makalede, yukarıda anlatılanın ilerisinde ve daha detaylı bilgi mevcuttur: https://projecteuclid.org/euclid.aos/1032894451 

21, Mart, 21 o2 (25 puan) tarafından  cevaplandı
21, Mart, 21 o2 tarafından düzenlendi
...