$f:(a,b]\to \mathbb R$ olan $f$ fonksiyonunun $a$ ve $b$ noktalarında limiti var mıdır_?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
534 kez görüntülendi

image

29, Mayıs, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Anil (7,725 puan) tarafından  soruldu

Tek yönlü düsünmek dogru olur mu? $a$ da sagdan limit $b$ de soldan limit var.

dediğin gibi $a$ da sağdan  $b$ de soldan limit var ama . Sağ sol demeden, tanım kümesinin sınırlarında olduğundan "a" ve "b" de limit var diyebilirmiyiz.Var desen de mantıklı yok desen de mantıklı ama hangisi doğru.

Haklisin ikisi de dogru geliyor

hatta şöyle,

limit tanımı diyorki, sağdan ve soldan limit varsa ve bunlar birbirine eşitse o noktada limit vardır diyor.

"a" için evet soldan limit yok ama normal olarak yok degıl, tanımsız oldugundan dolayı yok.

Veya sağ limit sol limite eşitse limit vardır.Bu önermede ise "a" için soldan limit tanımlı bıle degıl ki sağdakine eşit olsun.

Bence cok önemli bir konu bu, buna baglı olarak türevlenebilir noktalar ,uç noktalar vs. daha iyi kavranabilinir.

Ek olarak, limit epsilon,delta tanımına göre ,burada limit var deriz çünki, tanımlı olduğu $(a,b]$ aralığında bulunan $x$ler için $|a-x|<\delta$  ve $L$ fonksiyonun $a$ noktasındaki limiti ise $|f(x)-L|<\epsilon$   olacak şekilde , $\delta$  ve $\epsilon$ sayıları bulabiliyoruz bu da limitin varlığını dolayısıyla "$a$" için değil ama "$b$" için sürekliliği ve türevi gerektirebilir.(türevde tam emin değilim)

Bence turev de mantikli, ayni yaklasimla a da turevli degil b de ise soldan turevli diyebiliriz. Az once arastirdim da her kaynakta farkli bir yanit var gercekten.Yine de hocalarimiz aydinlatacaktir.Sercan hocam bekleniyorsunuz konuya :)


sercan hocama büyükelçilikten mektup gelmeden ,soruya bakmaz :))))))))

Grafigin gercekten de pruzsuz oldugunu ve anlatmak istedigi manayi anlattigini (bunlar da ne ise) dusunursek: $a,b$ noktasinda surekli ve $b$ noktasinda turevli olur.
 
$\mathbb R$ uzerindeki alisa geldigimiz topolojiyi $(a,b]$ araligina indirgiyoruz.

hocam attığım linkteki soruda bugda kaldık,onada bi el atarsınız :)

a da cidden süreklimi? hatta nasıl limiti oluyor bıraz daha acar mısınız sercan hocam?

Pardon, limiti var. Kafam gidik biraz. 

a - limit
b - limit, sureklilik, turev

indirgenmis topolojide calisacaz. Acik kumelerimiz artik $\mathbb R$'deki aciklar ile $(a,b]$ kesisimi.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Soruya eksiksiz bir açıklama yapmak biraz vakit alacak, umarım okuyanları fazla sıkmam.

Limit tanımı yaparken,

Limitin (varsa) tek (=biricik) olmasını garanti etmek için,

(limit alınacak olan) $a$ sayısı ile fonksiyonun tanım kümesi arasında bir koşul sağlanması istenir (gerekir).

Aksi halde HER sayını limit olduğu durumlarla karşı karşıya kalırız.

Bu koşul, lise (ve üniversite 1. sınıf düzeyinde) genellikle şöyle belirtilir (buna "limitin ön koşulu" diyebiliriz):

"$f,\ a$ sayısını içeren bir açık aralıkta, belki $a$ sayısı dışında, tanımlı olsun"

Fakat bu koşul gereğinden fazla kısıtlayıcıdır (Limitin, varsa, tek olması için yeterlidir ama gerekli değildir). Bu sorudaki durumda bu koşul uçlarda ($a$ ve $b$) sağlanmıyor. Sanırım tartışmanın kökeni bu. Lise ve üniversite ilk yıllarında, bu gibi durumlara (doğal olarak) pek değinilmez veya sorun (biraz zorunlu olarak) "geçiştirilir".

Bu "ön koşul", çoğu üniversitenin Matematik Bölümü 2. sınıfında veya sonra bu koşul (tam olması gerektiği kadar) hafifletilir.

Bu yeni "ön koşul" şudur (Murad Özkoç un pek çok kez limit probleminde belirttiği gibi):

$a$ sayısı $f$ fonksiyonunun tanım kümesinin bir limit (=yığılma) noktası olsun.

Bu önemli kavramın tanımı şöyle yapılır:

$a$ yı içeren HER açık aralıkta $f$ nin tanım kümesinde olan ve $a$ dan FARKLI en az bir sayı vardır. (Bu kavram yalnızca bir değişkenli fonksiyonlarda değil, topolojik uzaylar arasında tanımlı fonksiyonların hepsinde aynı öneme sahiptir)

(bu koşul limitin varsa tek olması için gerekli ve yeterlidir)

Yukarıda grafiği verilen fonksiyonda $a$ ve $b$ noktalarında, bu yeni koşul sağlanıyor ($a$ ve $b$ bu fonksiyonun tanım kümesinin yığılma noktalarıdır). Bu nedenle limit tanımı "uygulayabiliriz" yani, limit varsa tek olacaktır.

Grafiği verilen fonksiyon için, (limit "ön koşul" sorunu bu şekilde aşıldığında) aranan limitin varlığına ($a$ da, sol uçtaki boş noktanın ikinci koordinatı, $b$ de,sağ uçtaki, dolu noktanın ikinci koordinatı) herhalde herkes inanıyor.

30, Mayıs, 2016 DoganDonmez (3,576 puan) tarafından  cevaplandı
30, Mayıs, 2016 Anil tarafından seçilmiş

Hocam, googol kadar googol teşekkür ederim.
Saygıdeğer Murat hocamızın onermelerıyle baya oynadım anlamaya calıstım ama tam olarak boyle yorumlayamamıştım, yaptıgım hatalar da bundan dolayı imiş, aynı şekilde yığılma noktasını bu tarz nasıl anlayabiliriz?

Yığılma noktası için link:
http://matkafasi.com/35335/demektir-dizinin-noktasi-kumenin-yigilma-noktasi-kavramlari?show=35335#q35335


Soruya eksiksiz bir açıklama yapmak biraz vakit alacak, umarım okuyanları fazla sıkmam.

Keşke daha çok yazsanız da bizler de okusak :)

1 beğenilme 0 beğenilmeme
29, Mayıs, 2016 murad.ozkoc (8,870 puan) tarafından  cevaplandı

Çok teşekkürler hocam.

...