$\int _{2}^{a}\left( 4x-3\right) dx$ ifadesinin en küçük değerini alabilmesi için a kaç olmalıdır?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
30 kez görüntülendi
  • $\int _{2}^{a}\left( 4x-3\right) dx$ ifadesinin en küçük değerini alabilmesi için a kaç olmalıdır?

  ipucu verirseniz daha memnun kalırım
24, Mayıs, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Oktay Sönmez (45 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Geometrik olarak: (Dogru yerine paraboller icin bu daha kullanisli)
1) Dogru denklemini ciz.
2) $x=2$ icin $y=4x-3=5>0$ olur.
3) Bu durumda ilerledikce alan pozitif olur.
4) Geriye gelmek alanin isaretini degistireceginden $4x-3=0$ olana kadar alan negatif olur, daha da asagiya inersek pozitiflik gelir. 
5) Bu nedenle minimum icin $4a-3=0$ olmali.
6) Yani $a=3/4$ olmali.



Direkt cozum: 

$f(a)=\int_2^a(4x-3)dx=[2x^2-3x]_{x=2}^{x=a}=2(a-3/4)^2-25/8$ olur ve bu bir parabol ve tepe noktasi $(3/4,-25/8)$.


Turev ile:
$f(a)=\int_2^a(4x-3)dx$ dersek (Hesabin temel teoreminden) $\frac{df}{da}=4a-3$ olur. Bu da bize bu surekli fonksiyonun $a <3/4$ icin azaldigini ve $a>3/4$ icin arttigini verir. Yani kisacasi $a=3/4$ mutlak minimum olur.


_______________________________________
ipucu olarak da: $a,b \in \mathbb R$, $b \ge a$ olmak uzere $$\int_a^b(x^2-x-2)dx$$ integralini maksimum kilacak $a,b$ gercel sayilari nelerdir?

Bunun icin geometrik yontemi kullanmaya calis.

24, Mayıs, 2016 Sercan (23,218 puan) tarafından  cevaplandı
25, Mayıs, 2016 Oktay Sönmez tarafından seçilmiş
3 yöntemde kafama yattı, emeğine sağlık hocam
...