Çokgenin İç Açıları Formülü

1 beğenilme 0 beğenilmeme
19,311 kez görüntülendi

Bu formül nereden geliyor? Tümevarımla çok tatlı bir kanıtı var.

24, Mayıs, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Ozgur (2,162 puan) tarafından  soruldu
4, Aralık, 2018 alpercay tarafından düzenlendi

Tumevarim sonucu bana dokunur mu:)

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Düzgün çokgenler için düşünürsek, bir n-genin çevrel çemberini çizelim. Eşit kirişlerin eşit yayları kesiyor malum. O zaman her bir kiriş $\frac{360}{n}^o$'lik bir yayı keser. Herhangi bir köşeden $n-2$ kiriş görüldüğüne göre, herhangi bir köşedeki $\alpha$ açısı $\frac{360(n-2)}{2n}$ buluruz. $n$ tane kenar olduğuna göre çokgenin iç açılar toplamı $\frac{360(n-2)}{2n}.n=180(n-2)$ olduğu görülür.

25, Mayıs, 2016 sonelektrikbukucu (2,871 puan) tarafından  cevaplandı
Guzelmis. Ben bilmiyordum bunu. Tumevarimla dedigim yontem, duzgun olmayan cokgenler icin de calisiyor. Ve guzel bir tumevarim alistirmasi.
Aslinda daha iyi bir fikrim var. Herhangi bir koseden cizilen $n-3$ kosegen $n-2$ adet ucgen olusturur. Olusan tum ucgenlerin koseleri cokgen uzerinde olduguna gore ucgenlerin ic acilari toplami cokgenin ic acilari toplamini verecektir. Dolayisiyla n-genin ic acilari toplami $(n-2)180$ bulunur.
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bir $n$ genin her üçgenlemesinin $n-2$  üçgenden oluştuğunu göstermek istiyoruz. $n=3$  için böyle bir üçgenleme (yalnız bir üçgen) vardır. $n\gt 3$ olsun ve çokgenin bir üçgenlemesindeki üçgen sayısını $Ü(Ç)$ ile gösterelim. Şimdi çokgeni  $Ç_1$  ve  $Ç_2$  gibi iki alt çokgene ayıracak şekilde uygun bir köşegenini çizelim. O zaman tüme varım varsayımından $$Ü(Ç)=Ü(Ç_1)+Ü(Ç_2)=n_1-2+n_2-2=n_1+n_2-4$$  yazılabilir. $Ç_1$  ve  $Ç_2$   çokgenlerinin her biri kenar sayısını $1$  arttıracağından $$n_1+n_2=n+2$$  olur ve dolayısıyla $$Ü(Ç)=n-2$$  bulunur.

7, Şubat, 7 alpercay (1,425 puan) tarafından  cevaplandı
7, Şubat, 7 alpercay tarafından düzenlendi

Peki `iki alt çokgene ayıracak şekilde uygun bir köşegen' her zaman var mi? 

Doğrusal olmayan üç nokta ile üçgen oluşacağından her zaman olması lazım. Ancak kendi kendini kesen çokgenlerde durum farklı olabilir; örneğin çapraz dörtgende olduğu gibi.

...