$\pi^4-1$ sayısı $\mathbb{Q}(\pi^2)$ üzerinde cebirsel midir?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
69 kez görüntülendi

10, Mayıs, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Ece (67 puan) tarafından  soruldu
11, Mayıs, 2016 DoganDonmez tarafından düzenlendi

Lutfen notayonlarinizi aciklayiniz? Not defteri kosesi sorusu gibi soru. Yazmaktan kacinmaya gerek yok. Okunur, merak etmeyin.

$\pi$ nin $Q$ üzerinde cebirsel olduğunu biliyorum.$Q$ ya $\pi^2$ öğesi eklenerek elde edilen $Q$($\pi^2$) genişlemesinde $\pi$ nin tüm katlarının ve kuvvetlerinin olduğunu da biliyorum. Dolayısıyla verilen ifade cebirseldir diye düşünüyorum. Peki nasıl gösterebiliriz?

$\pi$ sayisi $\mathbb Q$ uzerinde cebirsel degil, askin bir sayi.

Sorun su mu simdi: $\pi^4-1$ sayisi $\mathbb Q(\pi^2)$ uzerinde cebirel mi?

Evet soru bu şekilde.

O zaman sorunuzu bu sekilde duzenleyebilir misiniz anlasilmasi icin.

$\mathbb{Q}$ notasyonunu \mathbb{Q} ile yapabilirsiniz.

Duzenlemeniz bittikten sonra cevaplarim soruyu.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Ilk olarak $\pi^2$ bu cismin elemani Bu nedenle $\pi^4-1=(\pi^2)^2-1$ de bu cismin elemani olur ve dogal olarak minimal polinomu $$x-(\pi^4-1)$$ olur. Bu da bize $\pi^4-1$ elemaninin $\mathbb Q(\pi^2)$ cismi uzerinde cebirsel oldugunu soyler.

10, Mayıs, 2016 Sercan (23,797 puan) tarafından  cevaplandı

Teşekkür ederim.

...