Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
18.6k kez görüntülendi

Üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonun simetri merkezinin, dönüm noktası olduğunu ispatlayınız.

Serbest kategorisinde (19.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 18.6k kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ olsun. Dönüm noktasının apsisini $f''(x)=6ax+2b=0 \Rightarrow x=-\frac{b}{3a}$ olarak bulduk. $f(x)$ fonksiyonunun simetri merkezi $M(-\frac{a}{3b},f(-\frac{a}{3b}))$ noktası olduğuna göre $f(x-\frac{a}{3b})+f(-x-\frac{a}{3b})=2f(-\frac{a}{3b})$ diyebiliriz. İşin asıl karmaşık kısmı burada çünkü biraz(!) işlemli.

$f(x-\frac{a}{3b})=a(x^3-3x^2\frac{a}{3b}+3x(\frac{a}{3b})^2-(\frac{a}{3b})^3)+b(x^2-2x\frac{a}{3b}+(\frac{a}{3b})^2)+c(x-\frac{a}{3b})+d \\ f(x-\frac{a}{3b})=-a(x^3+3x^2\frac{a}{3b}+3x(\frac{a}{3b})^2+(\frac{a}{3b})^3)+b(x^2+2x\frac{a}{3b}+(\frac{a}{3b})^2)-c(x+\frac{a}{3b})+d \\ f(x-\frac{a}{3b})+f(-x-\frac{a}{3b})=\frac{4b^2}{9a^2}-\frac{2cb}{3a}+2d$

bulduk, son bulduğumuz bir kenarda dursun, lazım olacak. Şimdi gelelim eşitliğin karşı tarafına.

$2f(-\frac{a}{3b})=a(-\frac{a}{3b})^3+b(-\frac{a}{3b})^2+c(-\frac{a}{3b})+d$

$ =\frac{4b^2}{9a^2}-\frac{2cb}{3a}+2d$ bulduk, en başta "$f(x)$ fonksiyonunun simetri merkezi $M(-\frac{a}{3b},f(-\frac{a}{3b}))$ noktası olduğuna göre $f(x-\frac{a}{3b})+f(-x-\frac{a}{3b})=2f(-\frac{a}{3b})$ diyebiliriz." demiştik ve bunun da sağlandığını gördük. O halde gönül rahatlığıyla "Üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonunun simetri merkezi dönüm noktasıdır." diyebiliriz.

(2.9k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Emeğine sağlık sayın @Moriartied. Çok teşekkür ederim.  Acaba $f$ fonksiyonunun tanım kümesindeki her $x$ için $f(x-\frac{a}{3b})=f(-x-\frac{a}{3b})$ olduğunu göstermek yeterli olmaz mıydı?

Olabilir, ama ikisi de zahmetli hocam. Kolay yolu varsa siz de yazabilir misiniz?

simetri merkezı nedır tanımını yaparmısın soruya çok müteşekkir kalırım ,tebrikler güzel çozum

Hayır ben sadece düşüncenizi öğrenmek istedim. Elbette biraz işlem yapmak gerekiyor. Sizi istemeden yorduğum için affınızı diliyorum.

Estağfirullah hocam soruyla uğraşırken gayet eğlendim, güzel bir soru teşekkürler :) Şu an ben tanımı yapamadım, Mehmet hoca ikimizin de anlayacağı bir tanım yapar umarım.

Üçüncü dereceden bir $f$ polinom fonksiyonun simetri merkezi $(a,b)$ noktası ise,her $(x_1,y_1)\in f$ için $(2a-x_1,2b-y_1)\in f$  olmasıdır. Yani grafiğin noktaları simetri merkezine göre simetriktir.

Ben epey apsisli ordinatli bir sey yazacaktim iyi ki size sormusum hocam sagolun.
20,200 soru
21,728 cevap
73,275 yorum
1,887,995 kullanıcı