$\mathbb Q(\sqrt a,\sqrt b)=\mathbb Q(\sqrt a+\sqrt b)$ ne zaman saglanir?

2 beğenilme 0 beğenilmeme
52 kez görüntülendi

Soru: $a,b$ tam kare icermeyen farkli pozitif tam sayilar olsun. Hangi sartlar altinda $$\mathbb Q(\sqrt a,\sqrt b)=\mathbb Q(\sqrt a+\sqrt b)$$ olur.

Ornekler: 
1) $\mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3)=\mathbb Q(\sqrt 2+\sqrt 3)$,
2) $\mathbb Q(\sqrt 5,\sqrt 7)=\mathbb Q(\sqrt 5+\sqrt 7)$.

4, Mayıs, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (23,218 puan) tarafından  soruldu

başındaki Q ların anlamı nedir, soru tam ne istiyor.

Rasyonal sayilar cismi.

Anahtar kelimeler: Cisimler, Cisim genislemeleri
Istenen: yukaridaki sartlardaki iki farkli cisim genislemesi ne zaman ayni olur.

$a$ ve $b$ tamsayıları için şartlar arıyoruz değil mi? Örneğin, her ikiside asal ise sağlanır gibi.

Evet.

Galiba her zaman dogru. $$(\sqrt a +\sqrt b)^3=(a+3b)\sqrt{a}+(b+3a)\sqrt{b}$$ olur. $$\left|\begin{matrix} 1&1 \\ a+3b & b+3a \end{matrix}\right|=2(a-b) \ne 0$$ oldugundan $$\sqrt{a},\sqrt{b} \in \mathbb Q(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$ olur.  Kare kok yerine kup kok vs alsak bu saglanmayabilir herhalde. 

...