$\star\star\star\star$$\displaystyle\int\dfrac{sinx}{\sqrt{1-sinx}}dx=?$

0 beğenilme 0 beğenilmeme
93 kez görüntülendi

$\displaystyle\int\dfrac{sinx}{\sqrt{1-sinx}}dx$

28, Nisan, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,729 puan) tarafından  soruldu
28, Nisan, 2016 Anil tarafından düzenlendi

$1-\sin x=t^2$ dönüşümü işimizi görür.

ilginiz için teşekkürler ugraşıyorum şuan.

ama hocam türev alırsak çok karmaşık oluyor be çıkamadım işin içinden

$\displaystyle\int \dfrac{1-t^2}{t}dx$  buradakı dx işi bozuyor.



$sinx=sin^2a$ dönüşümü daha işe yarayabilir sanırım

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme

$$\sqrt{1-sinx}=\sqrt{1-2sin(x/2).cos(x/2)}=\sqrt{[sin(x/2)-cos(x/2)]^2}=|sin(x/2)-cos(x/2)|$$ dır.Tabii $x\neq\pi/2$ ve  $$sin(x/2)\geq cox(x/2)$$ olduğunu kabul etmeliyiz. O zaman verilen integral ;

$$\int\frac{2sin(x/2)cos(x/2)}{sin(x/2)-cos(x/2)}dx=\int\frac{2sin(x/2)cos(x/2)(sin(x/2)+cos(x/2))}{sin^2(x/2)-cos^2(x/2)}dx=$$ olur.$$- \int\frac{2sin^2(x/2)cos(x/2))}{cosx}dx- \int\frac{2sin(x/2)cos^2(x/2))}{cosx}dx=- \int tanx(sin(x/2)+cos(x/2))dx$$ olur. Burada $$tan(x/2)=t$$ dönüşümü uygularsak;$$=4\int\frac{tdt}{(1-t)(1+t^2)(\sqrt{1+t^2}}$$ olacaktır. Buradan sonras da sanıyorum $$t=sec\theta$4 dönüşümü uygulanmalıdır. 

Ama bunun çok daha kısa bir çözümü mutlaka vardır.Onu bekliyoruz.

28, Nisan, 2016 Mehmet Toktaş (18,615 puan) tarafından  cevaplandı

emeğinize sağlık hocam.

daha kısa yok gibi hocam. 

Bilmiyorum ama bir akademisyen hocamız belki daha kısa çözebilir.

2 beğenilme 0 beğenilmeme

$$1-\sin x=t^2\Rightarrow \sin x=1-t^2\Rightarrow \cos x=\sqrt{2t^2-t^4}$$

$$1-\sin x=t^2\Rightarrow-\cos x dx=2tdt\Rightarrow dx=\frac{2t}{\sqrt{t^4-2t^2}}dt$$

$$\int\frac{1-t^2}{t}\cdot\frac{2t}{\sqrt{t^4-2t^2}}dt=2\int\frac{1-t^2}{\sqrt{t^4-2t^2}}dt$$

$$=$$

$$2\int\frac{1}{\sqrt{t^4-2t^2}}dt-2\int\frac{t}{\sqrt{t^2-2t}}dt$$

$$=$$

$$2\int t^{-1}(t^2-2)^{-\frac{1}{2}}dt-2\int t(t^2-2t)^{-\frac{1}{2}}dt$$

Buradan sonra binom integrali.

29, Nisan, 2016 murad.ozkoc (9,026 puan) tarafından  cevaplandı
29, Nisan, 2016 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

hocam  üçgen çizince $cosx=\sqrt{2t^2-t^4}$ olmaz mı?

hatta $sin^2x+cos^2x=1$ den de gelıyor ki aynı şeyler zaten.

Haklısın foton. Gerekli düzenlemeyi yaptım.

...