Trigonometrik ifade olan $asinx+bcosx=A$ gibi ifadeler için $A_{max}$ 'ı bulmak

1 beğenilme 0 beğenilmeme
441 kez görüntülendi


27, Nisan, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,738 puan) tarafından  soruldu

Soru da vardi, cevap da.

bulamadım hocam yenıden yazıyım dedım, 2kere ıspatlamıştım ben.

3-4 ben ispatladim, Dogan hoca da ispatlamisti, Murad hoca da. 

Var oldugunu biliyorsan... Fakat turevle ispatlamis miydi ilmiyorum, daha elementer yolu oldugundan.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$asinx+bcosx=A$ ise


türev alalım 

$acosx-bsinx=A'$           $A'=0$ iken ekstremumları inceleyelim.


$acosx=bsinx$


$tanx=\dfrac{a}{b}$  olur


image

buradaki x değeri tüm ifadeyi maximum yapar,


$tanx=\dfrac{a}{b}$


$arctan\dfrac{a}{b}=x$ dir

hatta buna gerek kalmadan cosx ve sinx'i bu üçgen yardımı ile bulup ana ifadede yerine yazalım.


$sinx=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$


$cosx=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$asinx+bcosx=A$ ise


$\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{a^2+b^2}=A_{max}$

dolayısıyla


$-\sqrt{a^2+b^2}=A_{min}$                        (amin!!)

27, Nisan, 2016 Anil (7,738 puan) tarafından  cevaplandı

Çok teşekkür ederim 

rica ederim efendim

...