$\star\star$ Eğrilerin yay uzunluğu hakkında $\star\star$ $\sqrt{(f(b)-f(a))^2+(b-a)^2}\leq \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2}.dx$

0 beğenilme 0 beğenilmeme
69 kez görüntülendi

 

"$f$" fonksiyonu;


$f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$  olarak tanımlı olsun  

ve $[a,b]$ aralığında sürekli bir fonksiyon olsun.                             (olsun dedi ve oldu)

aşağıda yazılan eşitsizliği ispatlayınız(gösteriniz).


$\sqrt{(f(b)-f(a))^2+(b-a)^2}\leq \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2}.dx$



geometrik olarak çok basit , geometrik olmadan nasıl ispatlarız?


Ek Bilgi;


Eğri uzunluğu hesabı için aşşagıdaki linkteki çözüme bakabilirsiniz.

http://matkafasi.com/17526/egri-uzunlugu?show=17526#q17526

21, Nisan, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,732 puan) tarafından  soruldu
21, Nisan, 2016 Anil tarafından düzenlendi

Geometrik olarak; iki nokta arasındaki en kısa uzunluk, bu iki noktayı birleştiren doğru parçasıdır. İki nokta arasındaki doğru parçasının uzunluğu da bu iki nokta arasındaki her eğrinin uzunluğundan küçük ya da  eşittir.

anladım hocam zaten soruyu yazarken geometrık olarak dusundum fakat cebırsel olarak nasıl ıspatlarız? benim bir cevabım var ama biraz zaman gecmesını beklıyorum

hocam soldaki ifadeyi düzenlersek bir şeyler çıkıyor ama devam ettiremedim yardımcı olur musunuz?


$\sqrt{(f(b)-f(a))^2+(b-a)^2}$  hertarafı b-a nın karesine bölersek ve çarparsak


$\sqrt{(f(b)-f(a))^2+(b-a)^2}=(b-a)\sqrt{\left(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)^2+1}=(b-a)\sqrt{[f'(x)]^2+1}$




Son esitlik neden turevine esit olmus?


Integrali riemann toplami olarak yazabiliriz.

Geometrisini anlatayim. Bir noktadan digerine direkt gitmek yerine zikzakli gitmek. Hangisi daha buyuk olur.$$\Delta x\sqrt{\frac{\left[\left(f(x+\Delta x)-f(x)\right)^2+\Delta x^2\right]}{\Delta x^2}}=\sqrt{\left[\left(f(x+\Delta x)-f(x)\right)^2+\Delta x^2\right]}$$ zikzak olusturur.

anaaa evet lımıt yokkı nasıl türev dedim.

Yorumda ufak bir hata vardi, duzenledim. Tekrar bakabilirsin. 

$min$ $ f.(b-a)=min$ $f \displaystyle\sum^{n}_{k=1}\triangle x_k$ gibi mi?

...