İntegral eşitsizliği . $2\leq\displaystyle\int_0^1\dfrac{(1+a)^{1+a}}{a^a}\leq3$

0 beğenilme 0 beğenilmeme
34 kez görüntülendi

$2\leq\displaystyle\int_0^1\dfrac{(1+a)^{1+a}}{a^a}.da\leq3$

bu eşitsizliği ispatlayınız.

Eforum;  

$(1+a)^{1+a}=(1+a)(1+a)^a=(1+a)\left[a^a+\dbinom{a}{1}a^{a-1}+\dbinom{a}{2}a^{a-2}+\dbinom{a}{3}.a^{a-3}+.......+\dbinom{a}{a-2}.a^{2}+\dbinom{a}{a-1}.a+1\right]$


hertarafı $a^a$ ya böldüm



$\dfrac{(1+a)^{1+a}}{a^a}=(1+a)(1+a)^a=$

$(1+a)\left[\dfrac{a^a+\dbinom{a}{1}a^{a-1}+\dbinom{a}{2}a^{a-2}+\dbinom{a}{3}.a^{a-3}+.......+\dbinom{a}{a-2}.a^{2}+\dbinom{a}{a-1}.a+1}{a^a}\right]$






$\dfrac{(1+a)^{1+a}}{a^a}=$

$(1+a).\left[1+1+\dfrac{a^a-a^{a-1}}{2!.a^a}+\dfrac{a^{a}-3.a^{a-1}+2a^{a-2}}{3!.a^a}+\dfrac{a.a.(a-1)(a-2)(a-3)}{4!.a^a}+............+\dfrac{1}{a^a}\right]$


veya


$\dfrac{(1+a)^{1+a}}{a^a}=\dfrac{(1+a)}{a^a}(1+a)^a$  olur

genede biryerlere varamadım .

20, Nisan, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,732 puan) tarafından  soruldu

2den büyük oldugunu ispatladım ama 3 den küçük oldugunu nasıl ispatlıyacagım

$(1+x)^{1/x} \le 2$ ve  $\int_0^1(1+x)d x=3/2$

bu yazdıgınızı nasıl kullanıcam hıçbır fıkır gelmıyor şuan

$[0,1]$ araliginda artan oldugunu gosterirsen $(1+\frac1a)^a$'nin artan oldugunu goster. Bu da ust sinir olarak $(1+\frac11)^1=2$'yi verir.

neden [0,1] ve nasıl ust sınır 2 çıkıyor sızın dayanak noktanızı soylersenız yapabılırım, yanı bu fıkırlerı nasıl, nereden akıl edıyorsunuz?

Integral 0 ile 1 arasinda... $$\frac{(1+a)^{1+a}}{a^a}=(1+a)\left(1+\frac{1}{a}\right)^a$$

evet hocam , ben belirsiz yoldan çözüp sonra 0 ve 1 diye koyup çözmeye alıştığımdan oldu , çok teşekkürler . Bundan hareketle çözdük sayılır , ve baya basitmiş bu problem:)

hocam birde artanlığını ıspatlamak için değerler versem doğru olsa sonra 

k için doğruysa k+1 için dogru oldugunu ıspatlarsam artanlıgını ispatlamam için yeter ve gerek koşul mudur?

$k$ nedir? Tume varim ile ispat yaparsan sayilabilirlik lazim ama aralik sayilamaz. Hem bir aslangic noktasi icin de dogrulugunu gostermen gerekir, ki tumevarm basamagi ise yarasin.

türev le ispatlayacagız ozaman artanlığını

Evet.                         

...