Bir fonksiyonunun süreksiz oldugu bir aralıkta ,mutlak minimum veya mutlak maksimumundan bahsedilebilinirmi?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
54 kez görüntülendi


19, Nisan, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anıl (6,706 puan) tarafından  soruldu

Sifir civarinda $1/x$ fonksiyonunu ve $sgn(x)$ fonksiyonunu dusunebiliriz. Birinin yok, birinin var.


Tanimda "her $x \in ...$ icin $f(x)\le f(a)$ olmali" ifadesi var, sureklilik yok.

güzel cevap:) hocam iyi geceler karpuz problemine kesin bakın:)

"bahsetmek" ne demek?

"Mutlak maksimum ve mutlak minimum bulunabilinir mi?"  demek istedim.

Ama hocam bahsedilebilir mi ? sorusu da bence mantıklı. 


Bir $[a,b]$ kapalı aralıgında bir fonksiyon var evet o aralıkta en büyük değeri var ve en küçük değeri var ama biz türevden dolayı mutlak minimum ve mutlak maksimum aradığımızdan dolayı, sürekli olmadıgından bu mutlak mınımum  ve mutlak maksımumu söyleyebiliyor muyuz?

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Sercan ın yorumundaki örneklerde görüldüğü gibi bazan vardır, bazan da yoktur.

Süreksiz fonksiyonlarda cevap fonksiyona ve aralığa göre değişir.

Sürekli fonksiyonlar için ise (kapalı ve sınırlı aralıklarda) HER ZAMAN hem mutlak maksimum hem de mutlak minimum vardır.

Yani bir "belirsizlik" yoktur.

Bu teorem (sürekli fonksiyonlar için maksimum-minimum özelliği teoremi diyebiliriz) , yalnızca (sürekli) fonksiyonun değerlerinin bir alt sınır üst sınır olduğunu iddia etmekten fazlasını söyler:  bu sınırlara (aralığın bir noktasında) erişileceğini de belirtir.

Örneğin $f(x)=\begin{cases}x^2\quad |x|<1\\0\quad |x|\geq1\end{cases}$ nin $[-1,+1]$ aralığındaki davranışına bakalımr. Fonksiyonun değerleri sınırlı ama maksimum değere erişemez (minimuma erişir). 

Ayrıca aralığın (kapalı olmasına ek olarak)sınırlı olması da gereklidir: sürekli olmasına karşın $f(x)=\frac1{1+x^2}$ fonksiyonu örneğin $(0,+\infty)$ aralığında (değerleri alttan ve üstten sınırlı olmasına karşın) maksimum ve minimum değerlerine erişemez.

Sürekli fonksiyonların kapalı ve sınırlı aralıklada maksimum ve minmum değerlerine eriştiğini belirten teoremin  benzeri, topolojide, reel (=gerçel) değerli sürekli fonksiyonlar için TIKIZ (=kompakt) kümelerde doğru olur.

20, Nisan, 2016 DoganDonmez (3,382 puan) tarafından  cevaplandı
20, Nisan, 2016 Anıl tarafından seçilmiş

cevabınız ve ilginiz için teşekkürler sayın hocam,  inceliyorum.

...