$\Delta=-1$ olduğunu ispatlayınız.

Question

$ax^2+bx+c=y$ parabolüne orijinden çizilen teğetler birbirine dik olduğuna göre $b^2-4ac=\Delta=-1$ olduğunu ispatlayınız.

Comments

reel kök olduğunda parabole hiçbirşekilde teğet çizemiyoruz bu bir başlangıç :)

---

Cizemiyoruz derken orijinden cizilenler icin konusuyoruz degil mi yanlis anlama olmasin :)

---

çözerken çok keyif aldım, umarım okurken sende keyif alırsın:)

Answer 1

şimdi ilk olarak delta=-1 oldugundan reel köklerimiz yoktur yani kompleks köklerde bu eşitliği göstericem,

peki, böyle bir parabol grafiği için orjinden geçen 2tane teğet olmalıdır bunu geometrik olarak anlayabiliriz.

Ve dolayısıyla 2farklı noktada teğet olmaktadırlar

$n\neq k$ barizdir


$(ax^2+bx+c)'=2ax+b$


$\underline{k_.için}$

$2ak+b=\dfrac{ak^2+bk+c}{k}$ olur düzenlersek

$ak^2=c$ gelir

$\underline{n_.için}$

$2an+b=\dfrac{an^2+bn+c}{n}$

$an^2=c$ gelir

Bunlar cepte kalsın ben çözdüm biliyorum lazım olcak.


2noktadaki teğetler dik ise

$(2ak+b)(2an+b)=4a^2kn+2abk+2abn+b^2=-1$ olur

$ak^2=c$

$an^2=c$

eşitlersek

$k=\pm n$

$k\neq n$ den dolayı

$k=-n$ bulunur

$ak^2=c$

$an^2=c$

taraf tarafa çarparsak

$a^2n^2k^2=c^2$ kök alalım

$akn=\pm c$

şimdi bu da burda kalsın güzel bir işaret oyunu yapcaz



$(2ak+b)(2an+b)=4a^2kn+2abk+2abn+b^2=-1$ burada dikkat edilirse

$2abk=-2abn$ oldugundan


$4a^2kn+b^2=-1$

$\boxed{4a.(akn)+b^2=-1}$ yazarsak 

$akn=\pm c$ burada

işaret olarak

a ne olursa olsun yukarıdaki kutunun içinde yerine yazdığımızda (akn) yerine birdaha a ile çarpacagımızdan anın işareti etkilemiyor

k ve n ters işaret oldugundan

$akn=-c$ oldugu kesinleşir

$\boxed{4a.(akn)+b^2=-1}$ düzenlersek

$\boxed{\boxed{\boxed{-4a.c+b^2=-1}}}$ ispatlanır $\Box$

Comments

Denklemi direkt olarak $ax^2-c=0$ dan kökler çarpımı olan $kn=\frac{-c}{a}$ olarak yazıp işlemleri daha da kısaltabilirdik. Teşekkürler. 

---

doğru ama böyle daha yorumlu falan oldu ya , daha karızmatık oluyor:)

---

$\Delta=1$ sorusuna karizmatik bir cevabım var az yorumlu ama tak diye çıkıyor :)

---

o soruda ben bile kısa cevap yazdıysam tabikide tak diye çıkar:)

Answer 2

$uv=-1$ olsun ve orijinden gecen dogrular da $y=ux$ ve $y=vx$ olsun. Bu durumda $s,t$ degerleri icin  $$as^2+bs+c=us \;\;\;\text{ ve }\;\;\; at^2+bt+c=vt$$ ve $$2as+b=u \;\;\;\text{ ve }\;\;\; 2at+b=v$$ olur. Bu da bize $$as^2=at^2=c$$ oldugunu verir. Bu durumda, isaretler ters olacak sekilde, $$s=\pm t=\pm \sqrt{c/a}$$ olur. (Burada $c/a > 0$ olmali). Bu da bize $$-1=uv=(2\sqrt{ac}+b)(-2\sqrt{ac}+b)=b^2-4ac$$ oldugunu verir. ($c/a>0$ esitsizligi bu kosul saglanirken saglandigindan ek olarak boyle bir kosula gerek yok).