Newton-Rapson için başlangıç adımını seçmek için kullanılan formülün anlamı

3 beğenilme 0 beğenilmeme
179 kez görüntülendi

http://matkafasi.com/63000/newton-rahpson-icin-deneme-ve-anlami-nedir?show=63000#q63000

o zamanlar gençtim , daha cahildim.


Orada da bahsettiğim gibi    $\sqrt2$ ye yaklaşırken bir başlangıç değeri seçiyoruz ama bu başlangıç değeri her reel sayı olabilir mi? yanlış bir başlangıç değeri(yanlıştan kasıt ne bilmiyorum) seçersek 1,41.... gibi birşey bulcağımıza  daha farklı mı buluyoruz sonucu?


$\underline{Soru 1}$;

Başlangıç değerinin tam olarak anlamı nedir ? Bu newton rapson yakınsaması tam olarak ne demektir? Tam olarak nasıl kavrayabilirim


$\underline{Soru 2}$;

$\left|\dfrac{f(x).f''(x)}{(f'(x))^2}\right|  <  1$
Bu denklemin anlamı nedir?

---------------------------------------------------------------------------------------------
Tomas Kalkülüs(George B.Thomas ) 11.basım sayfa 302

Metinden aynen alıntı yapıyorum ;

Newton Yönteminin Yakınsaklığı

Pratikte, Newton yöntemi genellikle etkileyici bir hızla yakınsar, fakat bu garantili olmadığından

yakınsamanın gerçekten bulunduğunu test etmeniz gerekir. Bunu yapmanın

bir yolu fonksiyonu çizerek $x_0$ için uygun bir başlama değeri bulmaktır. $|f(x_n)|$’e değer

vererek fonksiyonun bir sıfırına yaklaşıp yaklaşmadığınızı test edebilir, $|x_n-x_{n+1}|$ ’i

hesaplayarak yöntemin yakınsayıp yakınsamadığını kontrol edebilirsiniz.

Ancak, teori biraz yardım sağlar. İleri analizin bir teoremi bir r kökü civarında bir

aralıktaki her   $x$   için


$\left|\dfrac{f(x).f''(x)}{(f'(x))^2}\right|  <  1$

ise, yöntemin bu aralıktaki herhangi bir $x_0$ başlama değeri için r’ye yakınsayacağını söyler.

ƒ’nin grafiği, x-eksenini kestiği noktanın yakınlarında çok yatay değilse bu koşulun

sağlandığına dikkat edin.  [[bu nedemektir?]]

r ve $x_0$ r ile arasında, $ƒ(x_0)$ 0 iken ƒ’nin grafiği yukarıya konkav, $ƒ(x_0)$ 0 iken

ƒ’nin grafiği aşağıya konkav ise Newton yöntemi daima yakınsar.Çoğu

durumda, r köküne yakınsamanın hızı


$\underbrace{|x_{n+1}-r|}_{hata_.e_{n+1}}\leq \dfrac{max|f''|}{2min|f'|}|x_n-r|^2=sabit.|x_n-r|^2$


ileri analiz formülü ile ifade edilir. Burada maks ve min, r’yi içeren aralıktaki maksimum

ve minimum değerleri göstermektedir. Formül, $n + 1$. adımdaki hatanın, bir sabit kere n.

adımdaki hatanın karesinden büyük olmadığını söyler. Sabit, 1 den küçük veya eşit ise ve

$|x_n-r| <10^{-3}$       ise $|x_{n + 1} – r |<10^{-6}$ ’dır. Formül bir adımda üç ondalık basamak doğruluktan

altı ondalık basamağa ilerler ve her başarılı adımda, doğruluk basamak sayısı ikiye

katlanmaya devam eder.

19, Nisan, 2016 Serbest kategorisinde Anil (7,729 puan) tarafından  soruldu
5, Ocak, 2017 Anil tarafından yeniden kategorilendirildi

emeğe saygı             

Soru1'e cevap olarak: Başlangıç değeri olarak $x_0=-1$ ile başlarsanız $-\sqrt2$ değerine yakınsayan bir dizi elde edersiniz. Yani kötü bir başlangıç yapmış oluyoruz. Eğrinin, seçilen  bir başlangıç noktasındaki teğetini çiziyoruz ve bu teğetin x eksenini kestiği nokta yakınsama dizisinin ikinci terimini vermesini umuyoruz öyle değil mi? Fakat teğetin eğimi sıfıra yakın iken, teğet doğrusu x eksenini kökten çok uzak alakasız bir yerde keser. Dolayısıyla böyle başlangıç noktalarında Newton-Raphson yöntemi işe yaramayacaktır.


2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Soruyu hortlatmak için cevap yazmış gibi yapayım. Merak ettim.

10, Kasım, 2016 Cagan Ozdemir (677 puan) tarafından  cevaplandı
25, Kasım, 2018 Anil tarafından yeniden gösterildi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu soruyu "$25$" puan karşılığında ödüllü soru ilan ediyorum .

5, Ocak, 2017 Anil (7,729 puan) tarafından  cevaplandı
...