Newton-Rapson için başlangıç adımını seçmek için kullanılan formülün anlamı

3 beğenilme 0 beğenilmeme
107 kez görüntülendi

http://matkafasi.com/63000/newton-rahpson-icin-deneme-ve-anlami-nedir?show=63000#q63000

o zamanlar gençtim , daha cahildim.


Orada da bahsettiğim gibi    $\sqrt2$ ye yaklaşırken bir başlangıç değeri seçiyoruz ama bu başlangıç değeri her reel sayı olabilir mi? yanlış bir başlangıç değeri(yanlıştan kasıt ne bilmiyorum) seçersek 1,41.... gibi birşey bulcağımıza  daha farklı mı buluyoruz sonucu?


$\underline{Soru 1}$;

Başlangıç değerinin tam olarak anlamı nedir ? Bu newton rapson yakınsaması tam olarak ne demektir? Tam olarak nasıl kavrayabilirim


$\underline{Soru 2}$;

$\left|\dfrac{f(x).f''(x)}{(f'(x))^2}\right|  <  1$
Bu denklemin anlamı nedir?

---------------------------------------------------------------------------------------------
Tomas Kalkülüs(George B.Thomas ) 11.basım sayfa 302

Metinden aynen alıntı yapıyorum ;

Newton Yönteminin Yakınsaklığı

Pratikte, Newton yöntemi genellikle etkileyici bir hızla yakınsar, fakat bu garantili olmadığından

yakınsamanın gerçekten bulunduğunu test etmeniz gerekir. Bunu yapmanın

bir yolu fonksiyonu çizerek $x_0$ için uygun bir başlama değeri bulmaktır. $|f(x_n)|$’e değer

vererek fonksiyonun bir sıfırına yaklaşıp yaklaşmadığınızı test edebilir, $|x_n-x_{n+1}|$ ’i

hesaplayarak yöntemin yakınsayıp yakınsamadığını kontrol edebilirsiniz.

Ancak, teori biraz yardım sağlar. İleri analizin bir teoremi bir r kökü civarında bir

aralıktaki her   $x$   için


$\left|\dfrac{f(x).f''(x)}{(f'(x))^2}\right|  <  1$

ise, yöntemin bu aralıktaki herhangi bir $x_0$ başlama değeri için r’ye yakınsayacağını söyler.

ƒ’nin grafiği, x-eksenini kestiği noktanın yakınlarında çok yatay değilse bu koşulun

sağlandığına dikkat edin.  [[bu nedemektir?]]

r ve $x_0$ r ile arasında, $ƒ(x_0)$ 0 iken ƒ’nin grafiği yukarıya konkav, $ƒ(x_0)$ 0 iken

ƒ’nin grafiği aşağıya konkav ise Newton yöntemi daima yakınsar.Çoğu

durumda, r köküne yakınsamanın hızı


$\underbrace{|x_{n+1}-r|}_{hata_.e_{n+1}}\leq \dfrac{max|f''|}{2min|f'|}|x_n-r|^2=sabit.|x_n-r|^2$


ileri analiz formülü ile ifade edilir. Burada maks ve min, r’yi içeren aralıktaki maksimum

ve minimum değerleri göstermektedir. Formül, $n + 1$. adımdaki hatanın, bir sabit kere n.

adımdaki hatanın karesinden büyük olmadığını söyler. Sabit, 1 den küçük veya eşit ise ve

$|x_n-r| <10^{-3}$       ise $|x_{n + 1} – r |<10^{-6}$ ’dır. Formül bir adımda üç ondalık basamak doğruluktan

altı ondalık basamağa ilerler ve her başarılı adımda, doğruluk basamak sayısı ikiye

katlanmaya devam eder.

19, Nisan, 2016 Ö-Akademik Matematik kategorisinde Anıl (6,694 puan) tarafından  soruldu
5, Ocak, 5 Anıl tarafından yeniden kategorilendirildi

emeğe saygı             

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu soruyu "$25$" puan karşılığında ödüllü soru ilan ediyorum .

5, Ocak, 5 Anıl (6,694 puan) tarafından  cevaplandı
...