Süreklilik Üzerine-II

2 beğenilme 0 beğenilmeme
321 kez görüntülendi

$$f(x)=\lfloor x\rfloor$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun sürekli olduğunu süreklilik tanımından hareketle gösteriniz.

Not: $\lfloor \cdot\rfloor$: Tamdeğer fonksiyonu

10, Nisan, 2016 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (8,886 puan) tarafından  soruldu
17, Nisan, 17 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

sevgili murat hocam;

$\mathbb{X}$ bir küme olmak üzre

zaten $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{X}$ olmayan yani tanımlanma kümesi reel olmayan kümelerde süreklilik olmazki tanım noktalarında boşluklar oluşur buda sürekliliğe engeldir yani değeri incelemeğe gerek kalmadan tanım Reel değilde $\mathbb{R}$ \ $ \mathbb{Q}$ ise zaten baştan süreksizdir diyemez miyiz ? neyi yanlış düşünüyorum

tamam hatamı gördüm soruya odaklanıyorum şuanda kusura bakmayın:)

Süreklilik tanımını tekrar gözden geçirmeni tavsiye ederim. Bu bir. İkincisi $$f(x)=sgn  x$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun neden sürekli olduğunu anlamaya çalış.

hocam tanımsal değilde türkçe olarak verebilirim bu $f(x)=sgnx$  için $\forall x,(x\neq0)$ süreklidir

tam değer fonksiyonuda tam sayılar kümesinde tanımlıysa sürekli değildir çünki her tam sayı değeri -3,5 ,2 gibi bu noktalarda limit yoktur. Bundan yola çıkarak $f:\mathbb{R-Q}\longrightarrow\mathbb{R}$

herzaman süreklidir denilir.


öbür sorudaki sıkıntıda burdan kaynaklanıyor rasyonel sayılar tam sayıların üst kümesi olduğundan herzaman sürekli değildir yani süreksizdir diyebiliriz.

Tanım kümesi tamsayılar olan signum (işaret) fonksiyonu $0$ noktasında da süreklidir. Signum fonksiyonunun tanım kümesi gerçel sayılar kümesi olursa o zaman signum fonksiyonu $0$ noktasında sürekli olmayacaktır. Demek ki bir fonksiyonun sürekli olması ya da olmaması o fonksiyonun kuralına bağlı olduğu gibi fonksiyonun tanım kümesine de bağlıymış.

0 tamsayılardan biliyordum oyuzden öyle düşündüm yoksa tamamen tanıma ve değere önem veriyorum diğer sorunuzda ayrıntılı belirtmeye çalıştım sevgili hocam.

Hangi topolojileri kullaniyoruz. Belirtmeyince direkt cevaptaki gibi kisitlama olarak mi almaliyiz?

Evet. Tanım ve hedef (değer) kümeleri gerçel sayıların birer altkümesi olan fonksiyonların sürekliliğini ya da süreksizliğini incelerken aksi belirtilmedikçe tanım ve hedef kümeleri üzerindeki topolojileri, alışılmış topolojinin (gerçel sayılar kümesi üzerindeki Öklid topolojisinin) o kümelere indirgediği relatif topolojiyi alıyoruz.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$f:\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\to\mathbb{R}, f(x)=\lfloor x\rfloor$ ve $a\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ olsun.

$\epsilon>0$ olmak üzere $0<\delta\leq \min\{a-\lfloor a\rfloor,\lfloor a\rfloor+1-a\}$ seçilirse

$$x\in (a-\delta,a+\delta)\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\Rightarrow \Big{|}\lfloor x\rfloor-\lfloor a\rfloor\Big{|}<\epsilon$$ koşulu sağlanır yani 

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(x\in (a-\delta,a+\delta)\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\Rightarrow\Big{|}\lfloor x\rfloor-\lfloor a\rfloor\Big{|}<\epsilon)$$ önermesi doğru yani $$f:\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu $a$ noktasında sürekli olur. $a$ keyfi olduğundan $f$ fonksiyonu $$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$$ kümesi üzerinde süreklidir.

10, Nisan, 2016 murad.ozkoc (8,886 puan) tarafından  cevaplandı
11, Nisan, 2016 murad.ozkoc tarafından düzenlendi
...