Ezber bozuyoruz-5- Kuvvet toplamlarını ispatlayalım $S(n)_{k}=1+n+n^2+n^3+n^4+......+n^{k-1}+n^k=\dfrac{1-n^{k+1}}{1-n}$

0 beğenilme 0 beğenilmeme
109 kez görüntülendi

$n\geq 1 \in\mathbb{N}$         $k\in \mathbb{N}$

   $S(n)_{k}=1+n+n^2+n^3+n^4+......+n^{k-1}+n^k=\dfrac{1-n^{k+1}}{1-n}$ bu eşitliği nerden geldiğini gösterelim.

2, Nisan, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anil B.C.T. (7,742 puan) tarafından  soruldu
28, Mart, 2018 alpercay tarafından yeniden etikenlendirildi

sifir ile degil de bir ile baslamali. Ayrica n=1 durumu disinda olmali.

ev bıraz karışık dalgınlıgıma gelmış düzeltiyorum.

nerden geldigini biliyormusunuz hocam.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$$T=1+x+x^2+\cdots+x^n$$ olsun. Bu durumda $$xT=x+x^2+\cdots+x^{n+1}$$ olur ve $$xT-T=x^{n+1}-1$$ olur. Eger $x\ne 1$ ixe $$T=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$$ olur. Eger $x=1$ ise zaten direkt $n+1$'ye esti olur. Ek olarak $$\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{n+1}-1}{x-1}=n+1.$$

2, Nisan, 2016 Sercan (24,012 puan) tarafından  cevaplandı
2, Nisan, 2016 Sercan tarafından düzenlendi

çok sentetik elementik güzel bir çözüm hocam .Bravo!

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$a,b \in Z^+$ ve $b=a-1$ olmak üzere,

$(1\underbrace  {00...000}_{n+1\ tane})_a=a^{n+1}$ ifadesinden $1$ çıkaralım.

$(\underbrace{bb...bbb}_{n+1\ tane})_a=b.a^n+b.a^{n-1}+...+b.a^2+b.a+b$ ifadesini $b$ ile bölelim.

$(\underbrace {11...111}_{n+1\ tane})_a=a^n+a^{n-1}+...+a^2+a+1$ ifadesini elde ederiz. O halde

$b(a^n+a^{n-1}+...+a^2+a+1)+1=a^{n+1}$ olmalıdır. Düzenleyip $b=a-1$ eşitliğini ifadede yerine koyarsak

$a^n+a^{n-1}+...+a^2+a+1=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}$ buluruz.

28, Temmuz, 2016 sonelektrikbukucu (2,876 puan) tarafından  cevaplandı
...