$ \mathbb{Q} (\sqrt{2})\cong \mathbb{Q} (i\sqrt{2})?$

0 beğenilme 0 beğenilmeme
62 kez görüntülendi


30, Mart, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Okkes Dulgerci (1,425 puan) tarafından  soruldu
30, Mart, 2016 Okkes Dulgerci tarafından düzenlendi

Bunlar vektör uzayı olarak izomorftur (üreteci üretece taşırsanız) ancak cisim olarak izomorf olmazlar. İzomorf olduğunu kabul edip çelişkiye düşebilirsiniz. Katsayılar rasyonel gelmez.

Cevabiniz icin tesekkurler. Asagidaki iki cisim genislemelerinin yapilarinin boyle oldugunu biliyorum


$\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt2 |a,b \in\mathbb{Q}\}$

$\mathbb{Q}(i)=\{a+b i|a,b \in\mathbb{Q}\}$


Peki asagidakinin hangisi dogru?

$\mathbb{Q}(\sqrt{2}i)=\{a+b\sqrt2i|a,b \in\mathbb{Q}\}$

$\mathbb{Q}(\sqrt{2}i)=\{a+b\sqrt2+ci|a,b,c \in\mathbb{Q}\}$

Ustte yazdığınız dogru. Acil değilse birkaç gün sonra konuyu açıklasam olur mu?

$\Bbb{Q}(i\sqrt{2})$; rasyonel sayılar cismine $i\sqrt{2}$ eklenmesiyle elde edilen cisim. Bu elemanı  kök kabul eden rasyonel katsayılı indirgenmez monik polinom $p(x)=x^2+2$.(Eisenstein kriterinden indirgenmezliğini görebilirsin). $\Bbb{Q}[x]/<p(x)>=\{f(x)+<p(x)>\mid f(x)\in \Bbb{Q}[x]\}=\{\bar{a} + \bar{b}\bar{x}+<p(x)> \mid a, b\in \Bbb{Q}\}$ şeklindedir.(Bölüm algoritmasını uyguladığımızda; $f(x)=p(x)q(x)+r(x)$ ve $r(x)=0$ veya $der r(x)< der p(x)=2$).

Böylece $\Bbb{Q}(i\sqrt{2})=\{a+bi\sqrt{2} \mid a, b\in \Bbb{Q}\}$ şeklindedir.

...