$ABC$ üçgeninin alanı kaç $br^2$'dir?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
54 kez görüntülendi

$V_a$, $V_b$, $V_c$ kenarortay uzunlukları olmak üzere; $V_a=18 \ br$, $V_b=24\ br$, $V_c=30\ br$'dir. $ABC$ üçgeninin alanı kaç $br^2$'dir?

27, Mart, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde sonelektrikbukucu (2,871 puan) tarafından  soruldu

$3$ bilinmeyenli $3$ denklem yazılıp tabi ki çözülebilir. Fakat zaman gerektiriyor ve işlem hatası yapma riski yüksek. Daha kolay bir yolu var mı?

bunun formülü vardı sanırım,kipata bakıp geliyorum :D

 Verilenler bir dik üçgenin kenarlari oluyor. Bunu kullanabilirsiniz...

1-)$4(va^2+vb^2+vc^2)=3(a^2+b^2+c^2)$ formülü var

vede 2 kenarortay birbirine dik olduğunda,örneğin va  vb vc kenarortayları olsun

va dikv b  den

2-)$vc^2=va^2+vb^2$

kenarlara göre $5c^2=a^2+b^2$

bide bu var

3-)$2Vc^2+c^2/2$=$a^2+b^2$


inşallah bilmiyosundur bunları :D

Maalesef biliyordum:) Bunun formülü var mı acaba? Çünkü bir soruda uzunlukları vermiş fakat aralarında herhangi bir Pisagor bağıntısı yok. Yine alanı sormuş.

o zaman direk bir formül yok :/ bişelerden bunlara ulaşılıyo :)

Bir şey buldum sanırım. İşlemleri bir yapayım bakalım 10 dakikaya yazarım :)

Resim atabilirsem genel çözümü yollayayım...

Hocam sanırım cebirden bir formül çıkıyor onu deniyorum şu anda :)

cebir kim,yiyiliyomu :)

Kenarortay uzunluklarıyla da u formülü kullanılabiliyor. En azından onun gibi bir şey :)

tabi en sonda u formülü gözüküyor,sonuçta tüm kenarları bulacaz :) bu aralar çok bilimselim ^_^

Bilimsellik göreceli bir şey sonuçta :) İspatıyla beraber yazıyorum cevaplara.

tamam beklıyorum :)

3 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

YeniBelge_1.pdf (0,6 MB)

Your browser does not have a PDF plugin installed.

Download the PDF: YeniBelge_1.pdf

27, Mart, 2016 eynesi (648 puan) tarafından  cevaplandı

Teşekkürler hocam.

Sorularimizi yazarak paylasmamiz gerekiyor.

Hocam geometrik şekillerle anlatıldığından bunda bir mahsur yok sanırım. Ama yine de pdf birazcık ahengi bozuyor. Pdf yerine fotoğraf olarak gönderilseydi daha şık dururdu :)

Fotograf olarak sadece sekli cizip yazi ile anlatmamiz daha iyi. Tabii ki de geometri icin resim isleri kolaylastiriyor. Fakat site ici yaziyi daha cok tutmak lazim.

Aynen bu noktada haklısınız şekil fotoğraflanıp çözüm yazıyla yazılabilir.

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu üç kenarortay uzunlukları arasında $V_c^2=V_a^2+V_b^2$ olduğunu görebiliriz. Bu bize $B$ köşesine ait kenarortayın $A$ köşesine ait kenarortaya dik olduğunu gösterir. Eğer kenarortayların kesim noktası $P$ ise $PAB$ dik üçgen olup $A(PAB)=\frac{A(ABC)}{3}$ olduğunu biliyoruz. $|PB|=\frac{2}{3}.24=16,|PA|=\frac{2}{3}.18=12$ dır. O halde $A(PAB)=\frac{12.16}{2}=96$ olup $A(ABC)=3.96=288$ $br^2$ olacaktır.

27, Mart, 2016 Mehmet Toktaş (18,358 puan) tarafından  cevaplandı

Sağolun hocam.

Önemli değil. Başarılar...

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$2V_a^2=b^2+c^2-\frac{a^2}{2} \rightarrow a^2=2b^2+2c^2-4V_a^2$,

$2V_b^2=a^2+c^2-\frac{b^2}{2} \rightarrow b^2=2a^2+2c^2-4V_b^2$,

$2V_c^2=a^2+b^2-\frac{c^2}{2} \rightarrow c^2=2a^2+2b^2-4V_c^2$ denklemlerinde düzenleme yaparsak;

$9a^2=8V_b^2+8V_c^2-4V_a^2$,

$9b^2=8V_a^2+8V_c^2-4V_b^2$,

$9c^2=8V_a^2+8V_b^2-4V_c^2$ denklemlerini elde ederiz. Kenar uzunlukları bilinen üçgenin alanı $S=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}.\frac{a+b-c}{2}.\frac{a-b+c}{2}.\frac{-a+b+c}{2}}=\sqrt{\frac{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}{16}}$ olduğundan son denklemleri yerine koyarsak $S=\sqrt{\frac{144(2(V_a^2V_b^2+V_a^2V_c^2+V_b^2V_c^2)-(V_a^4+V_b^4+V_c^4)}{16.81}}$

$=\frac{1}{3}\sqrt{(V_a+V_b+V_c).(V_a+V_b-V_c).(V_a-V_b+V_c).(-V_a+V_b+V_c)}$ eşitliğini elde ederiz.

$V_a=18 \ br$, $V_b=24 \ br$, $V_c=30 \ br$ olduğuna göre denklemde yerine koyarsak $S=288 \ br^2$ buluruz.

27, Mart, 2016 sonelektrikbukucu (2,871 puan) tarafından  cevaplandı

Birkaç basit(!) cebirsel işlemin ardından yukarıdaki eşitlik çıkıyor. İnanmayan deneyebilir :) Fakat baştaki teoremin ispatını bilmiyorum, onu da bu başlık altında tartışalım :)

...