$p$ asal ve $p \equiv 1$ (mod $4$) ise $p$ iki kare toplamıdır.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
126 kez görüntülendi
19, Ocak, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Salih Durhan (1,259 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

      Thue Önsavı: $a$ bir tamsayı, $p$ bir asal sayı ve $(a,p)=1$ olmak üzere, 

$ax\equiv y \text{ mod } p$

denkleminin $0<\left| x_0\right| <\sqrt{p}$ ve $0<\left| y_0\right| <\sqrt{p}$ koşulunu sağlayan bir $(x_0,y_0)$ çözümü vardır.

      Gelelim sorunun çözümüne. $p\equiv 1$ (mod $4$) olduğunu varsayalım. Bu durumda $-1$, $p$ asalının kuadratik bir kalanı olmalı. Demek ki $a^2\equiv -1$ (mod $p$) koşulunu sağlayan bir $a$ tamsayısı var. Bu denklemden dolayı da  $(a,p)=1$.

      Bu durumda Thue Önsavı'na göre, 

$ax\equiv y$ (mod $p$) 

denkleminin $0<\left| x_0\right| <\sqrt{p}$ ve $0<\left| y_0\right| <\sqrt{p}$ koşulunu sağlayan bir $(x_0,y_0)$ çözümü vardır. Buradan,

$-{x_0}^2\equiv a^2{x_0}^2\equiv (ax_0)^2\equiv {y_0}^2$ (mod $p$)

ifadesi elde edilir ki bu da ${x_0}^2+{y_0}^2\equiv 0$ (mod $p$) yani bir $k$ tamsayısı için ${x_0}^2+{y_0}^2=kp$ olduğunu söyler. Ama aynı zamanda $0<\left| x_0\right| <\sqrt{p}$ ve $0<\left| y_0\right| <\sqrt{p}$ yani $0<{x_0}^2+{y_0}^2<2p$ olduğundan $k=1$ olur ki bu da ${x_0}^2+{y_0}^2=p$ demek.

20, Ocak, 2015 Enis (1,075 puan) tarafından  cevaplandı
20, Ocak, 2015 Enis tarafından düzenlendi
...