$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac1{n^p}$ toplaminin $p > 1$ icin yakinsadiginin elementer ispatlari [kapalı]

2 beğenilme 0 beğenilmeme
49 kez görüntülendi

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac1{n^p}$ toplaminin $p > 1$ icin yakinsadiginin elementer ispatlari veriniz?

Yorumluk ek bir soru: Asagidaki ispat dogru mu?

Ilk olarak $$S_k=\sum\limits_{n=1}^{k} \frac1{n^p}$$ olarak tanimlayalim. Bu durmda  $$\begin{eqnarray}S_{2k+1}&=&\sum_{n=1}^{2k+1}\frac{1}{n^p}\\&=&1+\sum_{i=1}^k\left(\frac{1}{(2i)^p}+\frac{1}{(2i+1)^p}\right)\\&<&1+\sum_{i=1}^k\frac{2}{(2i)^p}\\&=&1+2^{1-p}S_k\\&<&1+2^{1-p}S_{2k+1}\end{eqnarray}$$ olur ve esitsizligi duzenlersek $$S_{2k+1}<\frac{1}{1-2^{1-p}}$$ elde ederiz. $S_k < S_{2k+1}$ oldugundan her $k> 1$ tam sayisi icin $$S_{k}<\frac{1}{1-2^{1-p}}$$ olur.


Pozitif terimli $\{S_k\}_{k\geq1}$ dizisi artan (bu cikarim basit) ve ustten sinirli oldugundan (bunu da yukarida gosterdik) monoton yakinsaklik teoremi geregi dizimiz yakinsar. Bu nedenle bu dizinin limiti olan $$\lim\limits_{k\to\infty}S_k=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac1{n^p}$$ yakinsar.

notu ile kapatıldı: Bu soru elementer cevaplari istiyor. Fakat Cagan'in vermis oldugu link bunu da kapsiyor. Elementer cevaplar da oraya eklenebilir.
17, Mart, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (23,218 puan) tarafından  soruldu
18, Mart, 2016 Sercan tarafından kapalı

Burada elementer olanlari soruluyor. Hafif farkli ama icerikteki cevabi o soruya ekleyeyim. Bu da oradaki cevaptan nuans olarak farkli.

...