Limitin var oldugunu kabul ederek buldugumuz limitin varligini verebilecek teoremler

2 beğenilme 0 beğenilmeme
63 kez görüntülendi

"$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$ limiti (L'hopital ve seri yontemleri disinda)" sorusunda soyle bir cevap yazdim:

________________________________________________________________________________
Limitinin var oldugunu kabul edeilm ve bu limit $L$ olsun.

$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2} = \lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{e^x+1+x}\right)\left(\dfrac{e^{2x}-(1+x)^2}{x^2}\right)$$$$= \lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{e^x+1+x}\right)\left(4\dfrac{e^{2x}-1-2x}{4x^2}-1\right)$$$$ = \lim\limits_{x\to 0}\left[4\left(\dfrac{1}{e^x+1+x}\right)\left(\dfrac{e^{2x}-1-2x}{4x^2}\right)-\dfrac{1}{2}\right]$$$$ = 2\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{e^x-1-x}{x^2}\right)-\dfrac{1}{2}$$ olur. Buradan $$L=2L-\frac12$$ gelir.
________________________________________________________________________________

Bu cevap sunu diyor eger limit var ise bu limit $1/2$ olmak zorunda. Fakat "Bir limitin var oldugunu kabul ederek bir limit degeri bulursak ..." sorusunda DoganDonmez limitin varligini kabul ederek buldugumuz limitin limit varligini garantilemeyecegini gosterdi.

Bu durumda benim cevabim en nihayetinde limitin $1/2$ oldugunu tam olarak vermiyor. Limitinin var oldugunu da gostermem gerekir. (Diger iki soruyu sorma amacim da tam olarak buydu).

Kullanmis oldugumuz $$\dfrac{e^x-1-x}{x^2}=4\left(\dfrac{1}{e^x+1+x}\right)\left(\dfrac{e^{2x}-1-2x}{4x^2}\right)-\dfrac{1}{2}$$ esitligiydi. Bunu bi sekilde duzenleyerek gercekten limitinin oldugunu gosterebilir miyiz?

mathstackexchange'de bu kabul ile cozulmus (fakat kabul ile cozuldugu belirtilmemis), begenilmis, hatta en iyi cevap secilmis bir cok cevap gordum. Bu durumda soyle bir sor sorma ihtiyaci hissettim:

Acaba bunlarin/bazilarinin garantiligini veren bir teorem mi vardir? varsa nelerdir?

10, Mart, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (22,394 puan) tarafından  soruldu
10, Mart, 2016 Sercan tarafından düzenlendi
<p>
     Sercan Hocam dünden beri bakıyorum çözümde 3. satırdan 4. satıra nasıl geçtiğinizi anlayamadım, açıklayabilir misiniz?
</p>
sanki 2 kare farkı gıbi duruyor alttakiyle sadeleşcekmiş gibi :D bende merak ettım cevabı alana kadar susmam .

Ben orada iki kare farkını göremiyorum...

yok zaten ama andırıyor göze hoş geliyor. kabul etmeni istiyor senden ama farklı bişey olmalı oylece sadeleşmez hem 2yede bolunmesı gerek 4 , 2olmuş ensonda

Anladım f(x) ile f(2x) fonksiyonlarının limitlerinden yararlanılmış, gerçekten çok hoş olmuş...

eger sercan hoca hata yapmadıysa  $\dfrac {1} {e^x+1+x}$.$\dfrac {e^{2x}-(1+x)^2} {x^2}$ = $e^x-1-x$ ama ne yaptıysam bu 2sını eştıleyemedım

$2x\to u$  donusumu. 

Ayni anda gelmis tum yorumlar...

Çok hoş olmuş, çok teşekkürler hocam.

Bu soru yapısına benzer olarak $(e^x-e^{-x}-2x)/x^3$ fonksiyonunun limitinin x sıfıra giderken çözümünü de yapsak çok hoş olur...

Ust kismi $(e^x-x-1)-(e^-x+x-1)$ olark yazabiliriz. $f(x)-f(-x)$ gibi.

Bir de bu cevabi yoruma cevirebilmen mumkun mu?

<p> Paydada küp olması isi zorlastiriyor, diğer sorudaki gibi e nin limit tanımını kullanaeak çözÜLebiliyOr ama sizin yönteminizi kullarak donusturemedim...
</p>
...