Sonsuz-Sonsuz Belirsizliği($\infty - \infty$) hakkında formül ve ispatı.$\lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt{ax^2+bx+c}=\lim_{x \rightarrow \infty}\left [ \sqrt a.(x+\frac{b}{2a}) \right]$

1 beğenilme 0 beğenilmeme
10,100 kez görüntülendi

$a>0$  ve

$\lim_{x \rightarrow \infty}\left [\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{kx^2+zx+s}\right]$ gibi

$\lim_{x \rightarrow \infty}\kappa(x)-\delta(x)$  varsa 

$\infty - \infty$ belirsizliğini ortadan kaldırmak için

$\lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt{ax^2+bx+c}=\lim_{x \rightarrow \infty}\left [ \sqrt a.(x+\frac{b}{2a}) \right]$

formulü kullanılır.

bu formülü ispatlayınız.

6, Mart, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Anıl (6,706 puan) tarafından  soruldu
2, Nisan, 2016 Anıl tarafından düzenlendi

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$a>0$ olsun.

$$\lim\limits_{x\to \infty}\sqrt{ax^2+bx+c}$$

$$=$$

$$\lim\limits_{x\to \infty}\sqrt{a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}\right)}$$

$$=$$

$$\lim\limits_{x\to \infty}\sqrt{a\left[\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}\right)+\left(\frac{4ac}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}\right)\right]}$$

$$=$$

$$\lim\limits_{x\to \infty}\sqrt{a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\left(\frac{4ac-b^2}{4a^2}\right)\right]}$$

$$=$$

$$\lim\limits_{x\to \infty}\sqrt{a}\left(x+\frac{b}{2a}\right)\sqrt{1+\frac{\left(\frac{4ac-b^2}{4a^2}\right)}{a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2}}$$

$$=$$

$$\lim\limits_{x\to \infty}\sqrt{a}\left(x+\frac{b}{2a}\right)\cdot\underset{1}{\underbrace{\lim\limits_{x\to \infty}\sqrt{1+\frac{\left(\frac{4ac-b^2}{4a^2}\right)}{a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2}}}}$$

$$=$$

$$\lim\limits_{x\to \infty}\sqrt{a}\left(x+\frac{b}{2a}\right).$$

7, Mart, 2016 murad.ozkoc (8,459 puan) tarafından  cevaplandı
3, Nisan, 2016 murad.ozkoc tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu soru yanlis ifade edilmis. Yani ifade edilmek istendigi gibi olmamis. 

Zaten sol taraf sonsuza gidiyor. Sag tarafa $x$ de yazabiliriz sadece. O da sonsuza gider.

Soru $f-g \to 0$ seklinde sorulmaliydi bence. Bu durumda $f=g+(f-g)$ olarak limitlerin icerisinde degisiklik yaptigimizda $f-g \to 0$  olacagindan limitli islemlerde bu donusum ile $f$'in yerine bi nevi $g$ yazmis oluruz.

2, Nisan, 2016 Sercan (22,720 puan) tarafından  cevaplandı

aynen dedıgınız gıbı bu notu eklemem gerek .

"Regularization" mi ne vardi, ben pek bilmiyorum ama bu tarz yerlerde kullaniliyor galiba. Mesela 1+2+3+...=-1/12 olmasi. Bu gercekte yanlis ama toplam gercekten varsa gibi belirli sartlar altinda kullanabiliyoruz bu esitligi. 

Burda da su denilmeli en azindan. Benin dedigim sekilde ispatlanip limit oldugu yerlerde bunlar arasinda degisiklik yapmamizin sonucu degistirmeyecegi gosterilmeli. 

Yoksa $x$ yazip sag tarafa, boyle bir degisiklik de yapabiliriz. Bu da hata getirir.

...