$A=\{A\}$ olacak sekilde bir $A$ kumesi olabilir mi?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
156 kez görüntülendi

$A=\{A\}$ olacak sekilde bir $A$ kumesi olabilir mi? Bu sarti saglayan bir $A$ kumesi ornegi verebilir miyiz? Bu tarz kumeler varsa eger hepsini bulabilir miyiz?

 ya da daha genel bir sekilde kendisinin elemani olan bir kume icin neler diyebiliriz?

3, Nisan, 2015 Serbest kategorisinde Sercan (23,218 puan) tarafından  soruldu

Kendisini eleman olarak kabul eden kuvvet kümelerini alabiliriz. Yine de sorunuza cevap olmaz. 

Kendi kendisinin elemani olmayan kumelerin toplulugu daha da heyecanli degil mi?

5 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Sorunuza bir cevap alabilmek için sağlanamanız gereken çok önemli bir bilgi var. Hangi kümeler kuramında böyle bir küme olabilir mi?

ZFC (ya da ZF) kümeler kuramındaki temellendirme beliti gereği, Şafak Özden'in belirttiği gibi, böyle bir küme olamaz. Ama mesela Aczel'in anti-temellendirme beliti vardır. "Non-wellfounded" kümeler kuramı yapmak isterseniz böyle bir küme olabilir. Tabii belirtmek lazım ki böyle kümeler kuramları, eğer kümeler kuramı çalışmıyorsanız, matematikçilerin ilgisini çok çeken şeyler değil. Kümeler kuramı deyince çoğunlukla ZFC anlaşılır. O yüzden sorunuzun cevabı hayır, böyle bir küme yoktur.

3, Nisan, 2015 Burak (1,254 puan) tarafından  cevaplandı
4, Nisan, 2015 Sercan tarafından seçilmiş
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Yanılmıyorsam Russel paradoksu da bu sorudan yola çıkılarak ortaya çıkıyordu, bunu gidermek için  bir aksiyomatik sistem geliştirilmiş olması lazım.

3, Nisan, 2015 Cagan Ozdemir (672 puan) tarafından  cevaplandı

Gödel'e bakılabilir, Ancak onda ki formel mantık dili oldukça ağır... ama yinede araştırmaya değer

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Böyle bir kümenin varlığı Zermelo-Fraenkel kümeler kuramı aksiyomlarınca engellenmiştir. Yani böyle bir küme olamaz.

İçine bakmadım ama burada kesin vardır: https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/skk.pdf

3, Nisan, 2015 Safak Ozden (3,393 puan) tarafından  cevaplandı
0 beğenilme 0 beğenilmeme

MErhabalar, ben sorunuzun cevabını şöyle verim.

Öncelikle, $2^X$ ile $X$ in kuvvet kümesi $P(X)$ i göstereceğim. 

Cantor Teoremi: $X$ boş olmayan bir küme ve $f: X\rightarrow 2^X$ olsun. Bu durumda $f$ örten değildir.

(Cantor Teoremi'nin sonucu: Her $X$ kümesinin kardinalitesi $2^X$'inkinden küçüktür)

Şimdi sizin sorunuza gelelim: ZF aksiyomları yeterli değil (bence, ama öyle tahmin ediyorum ki belki Axiom of replacement kullanılarak da ispat edilebilir). ZFC'yi kabul edelim (ZF+ Seçme aksiyomu). Varsayalım ki $A=\{A\}$ şeklinde bir küme var.

$g:2^A-\{\emptyset\}\rightarrow A$ seçme fonksiyonu olsun. Bu fonksiyon, varsayımımızdan dolayı $A$ yı $A$' ya götürür. (Tek elemanlı kümeden tek elemanlı kümeye fonksiyon) Dolayısıyla tersinirdir.

$f=g^{-1}: A\rightarrow 2^A$ fonksiyonu birer bir ve örtendir ki bu durum Cantor teoremi ile çelişir.

3, Nisan, 2015 Cenk Turgay (189 puan) tarafından  cevaplandı
Son cumleyi anlayamadim. Orten olan $g^{-1} : A \to 2^{A} - \{0\} $ fonksiyonu degil mi? 

Haklısınız hata var cevapta 

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Axiom of regularity (Sanırım Türkçesi Düzenlilik Aksiyomu): $x$ boş küme değilse $x$'de bir $y$ elemanı vardır, öyle ki $y\cap x=\emptyset$.

Bu aksiyomu $x=\{A\}$ ya uygularsak $y=A$ olması gerektiğini görüyoruz (Çünkü $x$ tek elemanlı). Bu da $A\cap\{A\}=\emptyset$ i veriyor.

(Kaynak: http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity#Regularity_and_the_rest_of_ZF.28C.29_axioms)

3, Nisan, 2015 Cenk Turgay (189 puan) tarafından  cevaplandı
...