Question

Eğer $\alpha$ ve $\beta$, $K$ cismi üzerine cebirselse $\alpha+\beta$ da $K$ üzerine cebirseldir.

Answer 1

En temiz kanıt alionur'un verdiği kanıttır. Fakat çoğu kez $K$ üzerinde cebirsel $\alpha$ ve $\beta$ gibi iki eleman, sırasıyla $p,q\in K\left[ x\right]$ gibi iki polinomun kökleri ise $\alpha +\beta$ nın sağladığı bir $g\in K\left[ x\right]$ polinomu bulmak önemli olabilir.

$pq$ polinomunun $K$ üzerinde parçanış cismi $L$ olsun.  $\alpha =\alpha _{1},...,\alpha _{n}\in L$,  $p$ polinomunun $L$ içindeki tüm kökleri ve $\beta =\beta _{1},...,\beta _{m}\in L$ , $q$ polinomunun $L$ içindeki tüm kökleri olsun.

$$g\left( x\right) =\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{m}\left( x-\alpha _{i}-\beta _{j}\right) \in K\left[ x\right]$$
istenen koşulları sağlar. Neden?
$$h\left( x\right) =\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{m}\left( x-\alpha _{i}\beta _{j}\right) \in K\left[ x\right]$$
koyacak olursak  $\alpha \beta$ elemanı $h\in K\left[ x\right]$ polinomunu sağlar.

Örnek : $\mathbb{Q}$ üzeride cebirsel olan $\sqrt{3}$ ve $\sqrt[3]{2}$ gerçel sayıları, sırasıyla $p=x^{2}-3,q=x^{3}-2\in \mathbb{Q} \left[ x\right]$ polinomlarını sağlıyorlar. $\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$
sayısının sağladığı bir polinom bulmak için $\omega = \frac{1}{2}\left( -1+i\sqrt{3}\right)$ olmak üzere

$$\begin{eqnarray*} g\left( x\right)  &=&\left( x-\sqrt[3]{2}-\sqrt{3}\right) \left( x-\omega \sqrt[3]{2}-\sqrt{3}\right) \left( x-\omega ^{2}\sqrt[3]{2}-\sqrt{3}\right) \\ &&\left( x-\sqrt[3]{2}+\sqrt{3}\right) \left( x-\omega \sqrt[3]{2}+\sqrt{3} \right) \left( x-\omega ^{2}\sqrt[3]{2}+\sqrt{3}\right) \end{eqnarray*}$$
koyalım.
$$\begin{eqnarray*} g\left( x\right)  &=&\left( \left( x-\sqrt{3}\right) ^{3}-2\right) \left( \left( x+\sqrt{3}\right) ^{3}-2\right)  \\ &=&x^{6}-9x^{4}-4x^{3}+27x^{2}-36x-23 \end{eqnarray*}$$

olur.

Örnek : $\mathbb{Q}$ üzeride cebirsel olan $\alpha =\sqrt{3}$ ve $\beta =\sqrt{2}$ gerçel sayıları, sırasıyla $\alpha \beta =\sqrt{ 6}$ dır.
$$h\left( x\right) =\left( x-\sqrt{3}\sqrt{2}\right) \left( x+\sqrt{3}\sqrt{2} \right) \left( x+\sqrt{3}\sqrt{2}\right) \left( x-\sqrt{3}\sqrt{2} \right)$$
koyalım. $h\left( x\right) =x^{4}-12x^{2}+36 = \left( x^{2}-6\right) ^{2}$ dir. Bu duruma $h$ nin $\alpha \beta =\sqrt{6}$ nın $\mathbb{Q}$ üzeride sağladığı minimal $x^{2}-6$ polinomu olmadığına dikkat etmek gerekir.

Answer 2

$K(\alpha)$ ve $K(\beta,\alpha)$ genişlemelerine bakalım. $\beta$, $K$ üzerinde cebirsel olduğundan $K(\alpha)$ üzerinde de cebirsel. Bu durumda $[K(\alpha,\beta):K(\alpha)]=n$ ve $[K(\alpha):K]=m$ dersek $[K(\alpha,\beta):K]=nm$, sonlu dolayısıyla cebirsel genişleme olur.

Comments

$\alpha=\beta$ olursa? $=nm$ değil, $\leq nm$ olmalı.

---

eşit olurlarsa n=1 olur.

---

Tesekkur ederim. Uzerinden sular akmis sorumun ama neden boyle bir soru sordugumu kestirir gibiyim, adam gibi okumamak.