$x^4+y^4=z^2$ denkleminin tam sayi cozumleri

Question

$x^4+y^4=z^2$ denkleminin $xyz \ne 0$ olma sarti ile tam sayi cozumu olmayacagini gosteriniz.

Ipucu: Fermat'in son teoremi olarak adlandirilan teoremi kullanabilirsiniz.

Answer 1

Not: Çözüm geomania.org sitesinden Atakan Çiçek kullanıcısına aittir.

Varsayalım ki bu denklemin $\{(x_0,y_0,z_0)\}$ için pozitif tam sayı bir çözümü olsun. $(x_0,y_0)=d$ olsun.  O halde $d^2\mid z_0$ olacağından dolayı  $\{(\frac{x_0}{d},\frac{y_0}{d},\frac{z_0}{d^2})\}$ de bir çözüm olmalıdır.  Bu çözümdeki değişkenleri sırasıyla $a$, $b$ , $c$ olarak alırsak 

                                     

                                                                                   $S=\{c\in Z^+ : a^4+b^4=c^2$ ve $(a,b)=1$ olacak şekilde bir $a,b\in Z^+$ vardır $\}$ 

şeklinde soruyu düşünebiliriz.

 Yukarıdaki $S$  varsayımından dolayı $S\not = \oslash$ olması gerektiğinden dolayı iyi sıralanma ilkesi gereğince  $S$ nin en küçük elemanı olmalıdır.  $(a^2,b^2,c)=1$  $(a^2)^2+(b^2)^2=c^2$ şeklinde düşünürsek   $(s,t)=1$ ve $s\not \equiv t(mod2)$  için 

                                                                                              $$a^2=2st \text{    ,     } b^2=s^2-t^2 \text{   ,    }  c^2=s^2+t^2$$                                                                                                

olduğunu gösterelim. 

$ispat:$  

$Lemma:$ İspata girerken öncelikle $a$ çift olduğu için $b$ ve $c$ nin tek olduğunu gösterelim. 

$a^2+b^2=c^2$  denkleminde $a$ ile $b$ ifadelerinin  ikisinin de tek olması $c^2 \equiv 2(mod4)$ olmasına neden olur.

her ikisinin de çift olması  durumu ise $(a,b,c)=1$ kabulünden dolayı çelişir

burada bizim çift olan terimimiz $a$ olduğu için  $c+b$  ile $c-b$ de çift olmalıdır. 

$a=2r$, $b+c=2u$ , $b-c=2v$ olacak şekilde $r,u,v\ge 1$ tam sayıları vardır. 

$a^2=b^2-c^2$ olduğundan dolayı $4r^2=2u.2v$  yani $r^2=uv$ elde edilir.

 Şimdi $(u,v)=1$ olduğunu hızlıca gösterelim.  $d=(u,v)$  olsun.  $c-b=2u$ ve $c+b=2v$  olduğundan dolayı $c=u+v$ ve $b=u-v$ olmalıdır.  $d\mid c$  ve $d\mid b$ olmalıdır. fakat $(b,c)=1$ olduğu için $(u,v)=1$ olmalıdır. 

$(u,v)=1$ olduğundan dolayı $u$ ile $v$ ayrı ayrı birer tam kare olmalıdır. 

$u=s^2$ , $v=t^2$ , $s,t\ge 1$ tam sayıları bulunur. İfadeleri düzenlersek 

                                                                                              $$a^2=2st \text{    ,     } b^2=s^2-t^2 \text{   ,    }  c^2=s^2+t^2$$

olduğu ispatlanmış olur.

 $2.$ eşitlikten $b^2+t^2=s^2$ bulunur. $(s,t)=1$ olduğundan dolayı $(b,s,t)=1$ olmalıdır.   Pisagor üçlülerini  $Lemma$ mızdan dolayı $b$ tek olduğu için $t$ çift $s$  tek olmalıdır. 

$a^2=2st$ olduğundan dolayı $(\frac{a}{2})^2=s.\frac{t}{2}$ olur. $s=u^2$ ve $t=2v^2$ , $u,v\ge 1$ tam sayıları vardır.

$b^2+(2v^2)^2=(u^2)^2$ bulunur. $(s,t)=1$ olduğundan $(u,v)=1$ olacağı da açıktır. $s$ tek olduğundan $u$ tektir.

İspatını verdiğimiz ifadeyi tekrar kullanacak olursak 

                                                                                              $$2v^2=2ef \text{    ,     } b^2=e^2-f^2 \text{   ,    }  u^2=e^2+f^2$$

ve $(e,f)=1$ olacak şekilde $e,f\ge 1$ tam sayıları vardır. $v^2=ef$olduğu için $e=q^2$ , $f=r^2$ elde edilir. 

O halde $u^2=q^4+r^4$elde edilir. $(e,f)=1$ olduğu için $(q,r)=1$ de olmalıdır.  Fakat $u\le s\le a^2<c$ olduğundan dolayı yani $c>u$ olduğundan dolayı iyi sıralanma ilkesi ile yani $c$ nin en küçük olmasıyla çelişir.  O halde denklemin pozitif tam sayılarda çözümü yoktur.

 Çözüm tam sayılarda olsa idi  $x.y.z=0$ ifadesi sağlanmalıydı çünkü $x^4+y^4=z^2$ için çözümümüzü  $Z-\{0\}$ kümesine genelleyebilirdik o halde $x,y$ den biri çift olmalıdır ve  o  sayı da $0$ 'a eşit olmalıdır.  Bu nedenle $x.y=0$ elde edilebilirdi.

Çözüm: Atakan Çiçek