$G$ bir grup, $a,b\in G$ için $a^{2}=e$ ve $ab^{4}a=b^{7}$ ise $b^{33}$ ne olur?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
112 kez görüntülendi


31, Mart, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Handan (1,511 puan) tarafından  soruldu

6 aydır bakıyorum henüz bulamadım. Bir öneriniz varsa paylaşırsanız sevinirim. Bu arada $b^{33}=e$ olacakmış. Ama nasıl?

Cevapladim hocam.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Oncelikle $a^2 = e$ oldugu icin $a = a^{-1}$ (Bu ozelligi tekrar tekrar kullanacagiz). Boylece $ab^4a = b^7$'yi kullanarak $ab^{4}a^{-1} = b^7$ ve $ab^7a^{-1} = b^4$ elde edilir.

$ab^{28}a^{-1}$'i iki farkli sekilde hesaplayalim.

$ab^{28}a^{-1} = (ab^{4}a^{-1})^7 = (b^7)^7 = b^{49}$.

$ab^{28}a^{-1} = (ab^{7}a^{-1})^4 = (b^4)^4 = b^{16}$.

$b^{49} = b^{16}$'dan $b^{33} = e$ elde edilir.


3, Nisan, 2015 vecihi (106 puan) tarafından  cevaplandı
3, Nisan, 2015 vecihi tarafından düzenlendi
Çok teşekkür ediyorum güzel çözümünüz için.

ilk kisim, yani sorunun asil sormak istedigi, dogru da, $b=e$ savini ispatlarken "$aba=b^{10}$ ise $ab^2a=b^{20}$" yerine $aba=b^{10}$ ise $ab^2a=b^{100}$" yazilmis.. yani ekstra bilgi alamiyoruz bundan dolayi. ya da ben bir seyi gozden kacirdim.

Genel olarak $aba^{-1} = b^{i}$ ise $a^nba^{-n} = ab^{i^n}a^{-1}$ olur. Tumevarimla ispatlayabilirsiniz.

$(a^b)^c=a^{bc}$

Haklisiniz cozumun geri kalan kismi yanlis oluyor. Yorumumu da duzelttim, cok tesekkurler.

$b$ icin daha fazlasini soylemenin mumkun olmadigini da fark ettim. Cunku verilen ozellikleri saglayan ve $b$'nin mertebesinin $33$ oldugu bir grup var. Bu grup ise direkt carpim olmayan bir $\mathbb{Z}/33 \rtimes \mathbb{Z}/2$ yari direkt carpimi olarak alinabilir.

...