Üslü fonksiyon türev ispat

0 beğenilme 0 beğenilmeme
116 kez görüntülendi

$\left[ f\left( x\right) \right] ^{9\left( x\right) }$ fonksiyonun türevini alırken klasik yöntem ln almak ama şu yöntemle de soruları yapıyoruz ispatı nasıl yapılır acaba?

Yöntem: $\left[ f\left( x\right) \right] ^{9\left( x\right) }$ biraz $x^{n}$ birazda $a^{x}$ formatına benziyor o halde iki formamda da türev alıp toplarsam yani ;

$x^{n}$ için: $g\left( x\right) \left[ f\left( x\right) \right] ^{9\left( x\right) -1}f^{'}\left( x\right) $

 $a^{x}$ için:$g^{'}\left( x\right) f\left( x\right) ^{9\left( x\right) }\ln \left( f\left( x\right) \right) f^{'}\left( x\right) $

Taraf tarafa toplarsak işlem tamam.Örneğin klasik olan $x^{x} $ fonksiyonunun türevini alalaım

önce $x^{n}$ için:$xx^{x-1} $

+

 $a^{x}$ için:$x^{x}\ln x $

=$x^{x}\cdot \left( \ln x+1\right)  $

bu şekilde ki $\left[ f\left( x\right) \right] ^{9\left( x\right) }$ bütün fonksiyonlarda geçerli bu peki bunu nasıl ispatlayabiliriz?

19, Şubat, 2016 Lisans Matematik kategorisinde FMath (236 puan) tarafından  soruldu
20, Şubat, 2016 wertten tarafından düzenlendi

Siz bence aşmışsınız:)) Ama bazı kuralları dikkate almazsak nasıl olur?

estağfurullah,ne gibi mesela ?

Benzetmeler ne kadar doğru? iki yanlış bir doğru eder mi? Fakat düşünmeye değer bir yaklaşım.

bana da bir arkadaşım anlatmıştı karşıma çıkan her soruda denedim her zaman doğru, fazla tesadüf gibi gelmedi bence mantıklı bi çıkarımı vardır diye düşünüyorum 

Olabilir.Ama bunun doğruluğunu ispatlamak gerekir. 

TÜREV NE OLUYOR?

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$f(x)$ ve $g(x)$ türevlenebilir fonksiyonlar olsunlar. ${f(x)}^{g(x)}$ in türevini bulmak istiyoruz. 

${f(x)}^{g(x)}= e^{g(x) \ln({f(x)})}$ ve $g(x) \ln({f(x)})= h(x)$ diyelim. Problem $e^{h(x)}$ in türevini bulmaya döndü.

$(e^{h(x)})'=h'(x)e^{h(x)}$

             $=[g(x) \ln({f(x)})]'({f(x)}^{g(x)})=[g'(x) \ln(f(x))+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}]({f(x)}^{g(x)})$    ..........$(*)$

Son denklemde ${f(x)}^{g(x)}$ i içeriye dağıtalım.

$\Rightarrow$ $(*)=g'(x) \ln(f(x)){f(x)}^{g(x)}+g(x)f'(x){f(x)}^{g(x)-1}$

Toplamdaki birinci kısmı ve ikinci kısmı incelersen senin  yaptığın taraf tarafa toplama yöntemine denk gelir.( Fakat $a^x$ için dediğin kısımda $f'(x)$ terimi olmayacak.)

20, Şubat, 2016 ece çelik (339 puan) tarafından  cevaplandı
20, Şubat, 2016 ece çelik tarafından düzenlendi
...